孫 陽，狄思思，李華峰

(南京航空航天大學(xué) 航空學(xué)院精密驅(qū)動與控制研究所，南京 210016)

0 引 言

超聲波電動機是一種微特電機[1]，它利用壓電陶瓷的逆壓電效應(yīng)產(chǎn)生超聲振動，利用定轉(zhuǎn)子之間的摩擦力，將電能轉(zhuǎn)換為機械能。與電磁電機相比，它具有低速大扭矩、斷電自鎖、不產(chǎn)生電磁干擾等特點，在某些領(lǐng)域有突出的作用。

超聲波電動機涉及材料、機械、電力電子等諸多學(xué)科領(lǐng)域，本身又是一個復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，目前還無法建立較為準(zhǔn)確的電機動靜態(tài)數(shù)學(xué)理論模型。其非線性因素主要有以下三點：

(1) 壓電陶瓷的遲滯非線性[2]：壓電陶瓷自身具有遲滯非線性，包括介電遲滯非線性、壓電遲滯非線性和彈性遲滯非線性，因此它振幅的大小并不只取決于激勵電壓的大小，而這對于速度控制是不利的。

(2) 定轉(zhuǎn)子的摩擦損耗[3]：由于超聲波電動機的動力傳遞需要通過摩擦力實現(xiàn)，因而摩擦界面的摩擦特性對超聲波電動機的性能有至關(guān)重要的影響。而隨著超聲波電動機工作時間的增加，磨損是必然的，這會影響接觸界面的粗糙度和接觸特性，從而造成超聲波電動機運行特性的變化。

(3) 定轉(zhuǎn)子摩擦帶來的溫度上升[4]：定轉(zhuǎn)子之間的摩擦?xí)a(chǎn)生大量的熱量，導(dǎo)致電機發(fā)熱嚴(yán)重。溫度上升一方面會使定子彈性模量改變，造成共振頻率下降；另一方面，溫度會影響壓電陶瓷的參數(shù)，壓電系數(shù)d31隨溫度升高而增大，因而使得定子振幅發(fā)生變化。

由于上述原因，基于電機模型來設(shè)計控制器面臨很多困難。因此，學(xué)者們研究了數(shù)種基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的控制算法，用于超聲波電動機的速度與位置控制，包括PID控制及其改進算法和各類神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制。文獻[5]把驅(qū)動信號的電壓幅值、頻率和相位差作為控制器輸出，采用傳統(tǒng)PID方法來控制電機的轉(zhuǎn)速和位置。為了增強電機的瞬態(tài)響應(yīng)并提高系統(tǒng)的耐用性，文獻[6]中研究者們設(shè)計了具有可變學(xué)習(xí)率的三層在線學(xué)習(xí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器。然而，這兩種控制算法都各有缺陷：PID的控制效果受控制參數(shù)影響較大，控制參數(shù)選取不當(dāng)，甚至能導(dǎo)致控制器發(fā)散，某種應(yīng)用場合下通常需要做大量實驗才能確定一組最佳參數(shù)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制雖然具有自適應(yīng)和自學(xué)習(xí)能力，但是控制器計算量較大，且需要通過大量數(shù)據(jù)訓(xùn)練才能適應(yīng)某種應(yīng)用場合，實用性不高。

本文將無模型自適應(yīng)控制(以下簡稱MFAC)用作超聲波電動機速度控制器，并且分別在存在期望速度變化和負(fù)載擾動的情況下與傳統(tǒng)的PID控制器進行比較。實驗結(jié)果表明：MFAC能較好地兼顧響應(yīng)速度和穩(wěn)定性，且具有出色的自適應(yīng)跟蹤能力和魯棒性。

1 MFAC理論

MFAC是基于以下離散單輸入單輸出(SISO)非線性系統(tǒng)發(fā)展而來的：

y(k+1)=f[y(k),…,y(k-ny),u(k),…,

u(k-nu)]

(1)

式中：u(k),y(k)∈R，分別表示k時刻系統(tǒng)的輸入和輸出；ny和nu分別表示輸入和輸出的階數(shù)；f(…)表示未知的非線性函數(shù)。自從1981年Stephen A Billings[7]首次將式(1)作為NARMAX模型來表示非線性自回歸滑動平均模型而提出以來，隨后的論文中已經(jīng)證明了它能夠表示廣泛的非線性系統(tǒng)。

對非線性系統(tǒng)式(1)，必然有一個名為偽偏導(dǎo)數(shù)(以下簡稱PDD)的時變參數(shù)Φc(k)，使得式(1)可轉(zhuǎn)化為如下數(shù)據(jù)模型：

Δy(k+1)=Φc(k)Δu(k)，?Δu(k)≠0

(2)

式中：Δy(k+1)=y(k+1)-y(k)，Δu(k)=u(k)-u(k-1)。

超聲波電動機的速度控制目標(biāo)是計算得到一個適當(dāng)?shù)念l率u，使得轉(zhuǎn)速誤差e(k)=y*(k)-y(k)隨著時間增長收斂至無窮小?？紤]如下輸入準(zhǔn)則函數(shù)：

J[u(k)]=|y*(k+1)-y(k+1)|2+

λ|u(k)-u(k-1)|2

(3)

式中：λ>0表示權(quán)重因子；y*(k+1)為系統(tǒng)的期望輸出。然后根據(jù)求極小值的方法，可以得到以下控制算法：

[y*(k+1)-y(k)]

(4)

式中：ρ∈(0,1]是步長因子，目的是使控制算法更具一般性。引入λ限制了控制輸入的變化并懲罰了輸入的變化，否則，當(dāng)誤差變化較大并發(fā)生過沖時，控制輸入將變化太大。此外，它可以幫助避免控制律中分母為零的奇異情況。當(dāng)λ小時，系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)，動態(tài)偏差較大。 隨著λ的增加，過調(diào)節(jié)和最大動態(tài)偏差開始減小，系統(tǒng)的穩(wěn)定性得到改善。但是增加到一定程度后，響應(yīng)時間將太長。

由于Φc(k)是系統(tǒng)未知的PPD，不能直接用于式(5)，因此，需要設(shè)計PPD估計準(zhǔn)則函數(shù)：

J[Φc(k)]=|y(k)-y(k-1)-

Φc(k)Δu(k-1)|2+μ|Φc(k)-

(5)

式中：μ>0是權(quán)重因子，然后根據(jù)求極小值的方法，可以得到以下PPD估計算法：

(6)

重置算法：

(7)

在實際使用時，需要先使用式(6)對PDD進行估算，并判斷是否需要使用式(7)進行重置，再將PDD估算值代入式(4)，最終獲得控制器的輸出u。

2 MFAC算法仿真分析

2.1 建立模型

為了能夠有效地進行仿真，需要對超聲波電動機建立模型以獲得輸入輸出數(shù)據(jù)，從而進行超聲波電動機速度控制仿真分析。

目前，超聲波電動機的物理模型主要是基于對超聲波電動機運行機理的分析，得到輸入信號與電機輸出特性間的關(guān)系，從而建立機電耦合模型[8]。而該物理模型具有一定的局限性，例如認(rèn)為壓電陶瓷是理想的線性元件，定轉(zhuǎn)子接觸面狀態(tài)恒定，無溫度場影響等。而前面說明了超聲波電動機是一種強非線性的控制對象，同時我們分析了造成超聲波電動機非線性的因素，而這些非線性因素目前還無法用物理公式精確表達。因此，想要對超聲波電動機建立高精度的物理模型不太可能。

因此，本文通過對超聲波電動機進行離線參數(shù)辨識的方法來獲得傳遞函數(shù)。整個辨識流程如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)辨識流程圖

系統(tǒng)辨識時，要選擇頻譜合適的電機輸入信號，要求不僅能包含辨識對象的帶寬，幅值也不能太大。因此，我們選擇偽隨機二進制序列(PRBS)來作為輸入電壓信號。

為了使辨識得到的模型穩(wěn)態(tài)增益具有較高的準(zhǔn)確性，PRBS序列中的最大脈沖持續(xù)時間要大于對象的上升時間tR。為了覆蓋某一PRBS所產(chǎn)生的全部頻譜，測試的時間長度L至少要和序列的長度一樣，即滿足以下條件：

(8)

本文設(shè)置采樣周期為2 ms，測試時間5 s，超聲波電動機開環(huán)性能顯示其上升時間一般為9～10個采樣周期。因此選擇PRBS7作為激勵信號，此時PRBS7的序列長度為256 ms，遠遠小于測試時間。

圖2為PRBS7激勵信號。圖3(a)和圖3(b)分

圖2 PRBS7激勵信號

(a) 不帶負(fù)載

(b) 0.5 N·m負(fù)載

別是不帶負(fù)載和帶0.5 N·m負(fù)載下的系統(tǒng)輸出信號，圖3中僅顯示一個脈沖序列長度的系統(tǒng)輸入/輸出信號。隨后采用增廣最小二乘法(ELS)來辨識系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

(9)

式中：n為系統(tǒng)階數(shù)。

不帶負(fù)載下五階和六階系統(tǒng)參數(shù)辨識結(jié)果如下：

帶負(fù)載下五階和六階系統(tǒng)參數(shù)辨識結(jié)果如下：

將f=42 kHz作為系統(tǒng)輸入，分別代入不帶負(fù)載和帶負(fù)載情況下的五階和六階系統(tǒng)傳遞函數(shù)中，得到系統(tǒng)輸出曲線與實驗數(shù)據(jù)的對比圖,如圖4所示。從圖4中可以看出，兩種情況下五階和六階系統(tǒng)輸出曲線與實驗結(jié)果較為接近，因此選用六階模型作為仿真模型。

(a) 不帶負(fù)載

(b) 帶負(fù)載

2.2 仿真研究

給定MFAC一般性的算法參數(shù)如下：λ=ρ=μ=η=1。為了說明MFAC算法的有效性，分別用MFAC算法和PID算法對兩種六階模型進行速度控制。圖5(a)、圖5(b)分別是不帶負(fù)載時MFAC和PID(P=0.01,I=0.4,D=0)作用下超聲波電動機轉(zhuǎn)速圖和轉(zhuǎn)速誤差圖；圖6(a)、圖6(b)分別是帶0.5N·m負(fù)載時MFAC和PID(P=0.02,I=0.56,D=0)作用下超聲波電動機轉(zhuǎn)速圖和轉(zhuǎn)速誤差圖，其中期望速度為30 r/min。PID參數(shù)是多次整定后取最優(yōu)值。從圖5、圖6中可以看出，MFAC和PID都取得了令人滿意的效果，MFAC比PID的誤差略小，上升時間略快。

(a) 轉(zhuǎn)速

(b) 轉(zhuǎn)速誤差圖

(a) 轉(zhuǎn)速圖

(b) 轉(zhuǎn)速誤差圖

3 MFAC實驗驗證

為進一步驗證MFAC算法的控制效果，在搭建的超聲波電動機控制平臺上進行方波速度跟蹤、正弦波速度跟蹤和變負(fù)載跟蹤實驗，并與PID控制進行比較。其中，PID參數(shù)都為各自實驗條件下多次整定后的最優(yōu)值，MFAC的控制參數(shù)統(tǒng)一取為：λ=ρ=μ=η=1。圖7為超聲波電動機控制平臺，其中MCU用于讀取編碼器值，并與PC和FPGA通信，F(xiàn)PGA用于產(chǎn)生高分辨率(0.1 Hz)的SPWM信號，經(jīng)過推挽放大電路后驅(qū)動超聲波電動機。超聲波電動機為南京航達超控科技有限公司生產(chǎn)的TRUM60型超聲波電動機。

圖7 超聲波電動機控制平臺

圖8(a)展示了MFAC和PID作用下方波速度跟蹤曲線，PID參數(shù)：P=6.12，I=8.86，D=0。MFAC的誤差保持在4.22%以內(nèi)，上升時間為20 ms，而PID的誤差在5.46%以內(nèi)，上升時間為30 ms，從圖8(a)中也可以明顯看出,MFAC的跟蹤特性要優(yōu)于PID。圖8(b)展示了MFAC作用下輸出頻率和Φ的曲線，其中Φ已在式(2)中定義，表示改變頻率造成電機轉(zhuǎn)速變化的程度。隨著時間的增加，電機內(nèi)部由于定轉(zhuǎn)子之間的摩擦力作用及定子高頻振動產(chǎn)生的熱量大量堆積，溫度劇烈上升，從而使電機共振頻率下降，為了獲得相同的轉(zhuǎn)速，需要用更小的頻率去驅(qū)動電機。從圖8中也可以看出，0～1.25 s時，當(dāng)期望轉(zhuǎn)速為10 r/min時，電機驅(qū)動頻率離共振點較遠，溫度上升不高，此時電機性能穩(wěn)定，Φ幾乎不變。1.25～2.5 s時，當(dāng)期望速度突變至50 r/min時，驅(qū)動頻率迅速減小到41.55 kHz附近，離電機共振頻率較近，電機溫度上升造成共振頻率下降，而轉(zhuǎn)速對頻率的斜率越來越大，因此Φ逐漸增大。2.5～3.75 s時，期望轉(zhuǎn)速又突變至10 r/min，電機發(fā)熱量迅速減小，共振頻率不再明顯下降，轉(zhuǎn)速對頻率的斜率又恢復(fù)至穩(wěn)定值。因此,MFAC的參數(shù)Φ可以在一定程度上代表電機運行性能。

(a) MFAC和PID作用下方波速度跟蹤曲線

(b) MFAC作用下輸出頻率曲線和Φ曲線

圖9(a)展示了MFAC和PID作用下正弦波速度跟蹤曲線，PID的參數(shù)：P=9.21，I=9.05，D=0，上升時間為35 ms；MFAC的上升時間為25 ms。從圖9(a)中可以看出，兩種控制算法對轉(zhuǎn)速在10 r/min以上均能有效控制，MFAC的誤差保持在4.84%以內(nèi)，PID的誤差保持在5.87%。而轉(zhuǎn)速在10 r/min以下時，均表現(xiàn)出誤差過大，這主要是因為超聲波電動機在低速運行時，由于驅(qū)動頻率離共振頻率較遠，此時無論是PID還是MFAC都較難以在短時間內(nèi)將驅(qū)動頻率收斂至合適值，因此低速時都表現(xiàn)出誤差過大和轉(zhuǎn)速跟蹤性能下降的情況。這一點在圖9(b)中也能得到驗證，當(dāng)在1.25～2.5 s內(nèi)，理論上Φ應(yīng)該呈現(xiàn)出先較快減小后較快增大的趨勢，而實驗中Φ卻一直較慢減小，表明并未跟蹤至極小值附近，因而呈現(xiàn)出低速時誤差過大和跟蹤性能下降的情況。

(a) MFAC和PID作用下正弦速度跟蹤曲線

(b) MFAC作用下輸出頻率和Φ曲線

圖10展示了MFAC和PID作用下變負(fù)載跟蹤曲線。負(fù)載如下：

PID的參數(shù)：P=10.43，I=8.25，D=0，上升時間為25 ms；MFAC上升時間為15 ms。在0～2.5 s和5～7.5 s時間段中， MFAC的誤差保持在4.97%以內(nèi)，PID的誤差保持在5.18%以內(nèi)。而在2.5～5 s和7.5～10 s時間段中，MFAC的誤差保持在5.43%以內(nèi)，PID的誤差保持在13.33%以內(nèi)。這主要是因為某一組PID參數(shù)很難適用于超聲波電動機運行的各種工作情況，實際工作情況變化較大時需用多組PID參數(shù)進行控制。而MFAC表現(xiàn)出較好的魯棒性能，一組參數(shù)就能在負(fù)載突變的情況下保持較高的穩(wěn)定性。

圖10 MFAC和PID作用下變負(fù)載速度跟蹤曲線

三組實驗數(shù)據(jù)表明：相比于PID控制，MFAC在參數(shù)整定上更加容易，又能保證較好的跟蹤性能，這在實際應(yīng)用中有較好的優(yōu)勢。

4 結(jié) 語

本文從超聲波電動機速度控制的角度出發(fā)，對MFAC進行詳細描述。超聲波電動機存在建模困難的問題，采用PRBS7對超聲波電動機進行在線參數(shù)辨識，獲得具有較高精度的模型。隨后利用該模型，分別用MFAC和PID進行仿真，表明MFAC的有效性。最后分別進行MFAC和PID在方波速度跟蹤、正弦波速度跟蹤和變負(fù)載跟蹤實驗。實驗結(jié)果說明，相較于PID控制，MFAC具有一定的魯棒性和自適應(yīng)性，說明該控制策略是一種行之有效的方法，且具有實際工程應(yīng)用價值。