郭偉業(yè)

（五邑大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東江門529020）

設(shè)τ是抽象群G上的一個拓?fù)?稱(G，τ)是半拓?fù)淙?，如果對于群G上一個元在G中的左乘法運(yùn)算和右乘法運(yùn)算都是連續(xù)的；稱(G，τ)是仿拓?fù)淙?，如果群G上的乘法運(yùn)算是連續(xù)的；稱(G，τ)是拓?fù)淙?，如?G，τ)是仿拓?fù)淙呵胰篏上的逆運(yùn)算是連續(xù)的[1-2].

1953年，Katz[3]證明了：設(shè)G是T2拓?fù)淙?，則G拓?fù)渫瑯?gòu)于一族可度量化拓?fù)淙撼朔e空間的子群當(dāng)且僅當(dāng)G是ω—balanced.Guran[4]最早研究ω—narrow 拓?fù)淙翰⒃?981年得到結(jié)論：拓?fù)淙篏拓?fù)渫瑯?gòu)于一族滿足第二可數(shù)公理拓?fù)淙撼朔e空間的子群當(dāng)且僅當(dāng)G是ω—narrow.2007年，Sanchis 等[5]研究了仿拓?fù)淙褐型耆獿indel?f 和完全ω—narrow 的相關(guān)性質(zhì).2009年，Tkachenko 將文獻(xiàn)[3-4]的結(jié)果推廣到仿拓?fù)淙褐?，引入了Hausdorff數(shù)和正則數(shù)這兩個新的基數(shù)不變量，并進(jìn)一步給出了仿拓?fù)淙耗鼙硎境傻谝豢蓴?shù)仿拓?fù)淙夯虻诙蓴?shù)仿拓?fù)淙撼朔e空間子群的刻畫，分別得到文獻(xiàn)[8]中定理2.7、定理2.8、定理3.6、定理3.8.2015年，Sánchez[6]將Tkachenko[7]的結(jié)論推廣到T0和T1分離公理.自然地，我們能否將文獻(xiàn)[6-7]結(jié)論中的ω推廣到無限基數(shù)κ？本文在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上，研究了特征或權(quán)勢不大于κ的仿拓?fù)淙撼朔e空間子群的等價(jià)條件.

1 預(yù)備知識

為方便起見，文中的N(eG)均表示仿拓?fù)淙海ò胪負(fù)淙海〨中包含單位元eG的所有開鄰域的集族，ω表示可數(shù)基數(shù)，κ為無限基數(shù).

定義1[8]設(shè)(G，τ)是仿拓?fù)淙?，稱τ-1={U-1:U∈τ} 為G的共軛拓?fù)?記τ*=τ∨τ-1是拓?fù)淙篏上的上界拓?fù)洌瑒t稱G*=(G，τ*)是仿拓?fù)淙篏的共軛拓?fù)淙?

定義2[1]設(shè)G是仿拓?fù)淙?，如果對于任意U∈N(eG)，存在子集族γ?N(eG)滿足 |γ|≤κ，使得對于任意x∈G，存在V∈γ，滿足xVx-1?U，則稱γ從屬于U.如果對于任意U∈N(eG)，存在γ從屬于U，則稱G是κ—balanced.

定義3[1]設(shè)G是仿拓?fù)淙?，如果對于任意U∈N(eG)，存在一個子集C?G滿足 |C|≤κ，使得CU=G=UC，則稱G是κ—narrow.如果G的共軛拓?fù)淙篏*是κ—narrow，則稱G是完全κ—narrow.

如果定義2和定義3的κ取為ω，則分別稱仿拓?fù)淙篏是ω-balanced和完全ω—narrow.

定義4[5]設(shè)G是半拓?fù)淙?如果存在可數(shù)集族γ?N(eG)，使得對于任意x∈U，存在V∈γ，滿足xV?U，則稱半拓?fù)淙篏的子集U為ω—good集.

定義5[8]設(shè)P是某一給定的拓?fù)湫再|(zhì)，G是仿拓?fù)淙海绻麑τ谌我釻∈N(eG)，存在一個從G到具有性質(zhì)P的仿拓?fù)淙篐U的連續(xù)同態(tài)pU:G→HU，使得對于某一V∈N(eHU)，有p-U1(V)?U，則稱G是投射滿足P的.

定義6[8]設(shè)G是具有單位元eG的半拓?fù)淙海?/p>

1）如果G滿足T2分離公理，且對于任意U∈N(eG)，存在一個集族γ?N(eG)，使得 |γ|≤κ且∩V∈γVV-1?U，則稱該最小基數(shù)κ為G的Hausdorff數(shù)，記作Hs(G)；

2）如果G滿足正則分離公理，且對于任意U∈N(eG)，存在一個集族γ?N(eG)和V∈γ，使得 |γ|≤κ且∩W∈γVW-1?U，則稱該最小基數(shù)κ為G的正則數(shù)，記作Ir(G).

2 主要結(jié)論

命題1[1]設(shè)γ是抽象群G中單位元eG的一個集族，滿足下列條件：

1）對于任意U∈γ，存在V∈γ，使得V2?U；

2）對于任意U∈γ和任意x∈G，存在V∈γ，使得xV?U；

3）對于任意U∈γ和任意x∈G，存在V∈γ，使得xVx-1?U；

4）對于任意U，V∈γ，存在W∈γ，使得W?U?V.

則τ={U?G:任意a∈U，存在V∈γ，使得aV?U} 是群G上一個拓?fù)?，使?G，τ)構(gòu)成仿拓?fù)淙呵姚檬欠峦負(fù)淙篏中單位元eG的一個鄰域基.

首先我們討論T2仿拓?fù)淙呵度氲目坍?

命題2[8]設(shè)半拓?fù)淙篏滿足T2分離公理，H是G的子群，則Hs(H)≤Hs(G).

命題3設(shè)半拓?fù)淙篏滿足T2分離公理，則Hs(G)≤χ(G).

命題4[8]設(shè){Gi:i∈I} 是滿足T2分離公理的半拓?fù)淙鹤?，如果對于任意i∈I都有Hs(Gi)≤κ，則對于拓?fù)涑朔eG=∏i∈IGi有Hs(G)≤κ.

引理1[5]包含仿拓?fù)淙篏中單位元eG的所有ω—good集組成的集族構(gòu)成G中單位元eG的鄰域基.

引理2[8]設(shè)G是仿拓?fù)淙?，若子集族?N(e)滿足下列條件：

1）對于任意U∈，γ存在V∈γ，使得V2?U；

2）γ的有限交是封閉的；

3）對于任意U∈γ,γ從屬于U.則是G的一個閉的不變子群.

引理3設(shè)G是仿拓?fù)淙海?/p>

1）如果G滿足T2分離公理，則G是投射滿足T2分離公理且滿足特征（權(quán)勢）小于等于κ的仿拓?fù)淙寒?dāng)且僅當(dāng)G拓?fù)渫瑯?gòu)于一族滿足T2分離公理且滿足特征（權(quán)勢）小于等于κ仿拓?fù)淙鹤鍆Hα:α∈Α} 乘積空間的一個子群.

2）如果G滿足正則分離公理，則G是投射滿足正則分離公理且滿足特征（權(quán)勢）小于等于κ的仿拓?fù)淙寒?dāng)且僅當(dāng)G拓?fù)渫瑯?gòu)于一族滿足正則分離公理且滿足特征（權(quán)勢）小于等于κ仿拓?fù)淙鹤鍆Hα:α∈Α} 乘積空間的一個子群.

證明只證仿拓?fù)淙篏滿足T2分離公理的情況，G滿足正則分離公理的情況類似可證.

必要性固定G中單位元eG的一個開鄰域基B，使得 |B|≤κ.因?yàn)镚是投射滿足T2分離公理且滿足權(quán)勢小于等于κ的仿拓?fù)淙海詫τ谌我釻∈B，存在一個從G到滿足T2分離公理且滿足權(quán)勢小于等于κ的仿拓?fù)淙篐U的連續(xù)同態(tài)pU:G→HU，使得對于HU中單位元eHU的某一開鄰域V，有(V)?U.顯然∏U∈B HU是滿足T2分離公理且滿足權(quán)勢小于等于κ的仿拓?fù)淙?作對角乘積p= ∏U∈BPU:G→∏U∈B HU，則p是G到∏U∈B HU的一個嵌入，從而G拓?fù)渫瑯?gòu)于一族滿足T2分離公理且滿足權(quán)勢小于等于κ仿拓?fù)淙簕Hα:α∈Α} 乘積空間的一個子群.

充分性設(shè)p:G→∏a∈AHa是一個嵌入，pJ:∏a∈AHa→∏a∈J Ha是一個投射，其中J?Α是有限集族，顯然p和pJ是連續(xù)同態(tài)且是一一映射.對于任意U∈N(eG)，取Vα∈N(eHα)，其中α∈J，則V=∏a∈J Va是乘積空間HU＝∏a∈J Ha中單位元的一個開鄰域.因?yàn)榉峦負(fù)淙鹤鍆Hα:α∈Α} 滿足T2分離公理且滿足特征小于等于κ，所以仿拓?fù)淙骸莂∈AHa也滿足T2分離公理且滿足特征小于等于κ.仿拓?fù)淙篐U作為∏a∈AHa的子空間也遺傳同樣的性質(zhì).取pU=pJ°p，則pU是一個從G到滿足T2分離公理且滿足權(quán)勢小于等于κ的仿拓?fù)淙篐U的連續(xù)同態(tài).對于上述的V∈N(eHU)，則

故p-J1(∏a∈JVa)和p(G)是∏a∈A Ha中單位元的開鄰域.從而是∏a∈A Ha中單位元的開鄰域.所以是G中單位元的開鄰域.根據(jù)開集的定義，對于上述的U∈N(eG)，我們找到使得

由于仿拓?fù)淙菏驱R性空間，因此特征的情況是顯然的.

定理1設(shè)仿拓?fù)淙篏滿足T2分離公理，{Hi:i∈I} 是滿足特征小于等于κ且滿足T2分離公理的仿拓?fù)淙鹤澹瑒tG拓?fù)渫瑯?gòu)于拓?fù)涑朔e∏=∏i∈IHi的一個子群當(dāng)且僅當(dāng)G是κ—balanced且Hs(G)≤κ.

證明必要性假設(shè)G拓?fù)渫瑯?gòu)于拓?fù)涑朔e∏=∏i∈IHi的一個子群.因?yàn)棣爸械臉?biāo)準(zhǔn)開集除了有限個坐標(biāo)外，其余都取Hi，另外滿足特征小于等于κ且滿足T2分離公理的仿拓?fù)淙杭鍆Hi:i∈I} 是κ—balanced，因此Π 是κ—balanced.又因?yàn)棣省猙alanced 具有子群遺傳性，因此G也是κ—balanced.根據(jù)命題2 至命題4 可得Hs(G)≤Hs(Π)≤κ.

充分性設(shè)G是κ—balanced仿拓?fù)淙呵覞M足Hs(G)≤κ，根據(jù)引理3只需證特征小于等于κ的κ—balanced仿拓?fù)淙篏是投射滿足T2分離公理且滿足特征小于等于κ的，即證對于任意U0∈N(eG)，存在一個從G到滿足特征小于等于κ且滿足T2分離公理的仿拓?fù)淙篐U0的連續(xù)同態(tài)pU0:G→HU0，使得對于HU0中單位元eHU0的某一開鄰域V0，有

設(shè)N*(eG)是包含仿拓?fù)淙篏中單位元eG的所有ω—good 集組成的集族，由引理1 可知N*(eG)是G中單位元eG的鄰域基.下面通過歸納法構(gòu)造序列{γn:n∈ω} ?N*(eG).取U0*∈N*(eG)滿足U0*?U0和γ0={U0*}.設(shè)對某個n∈κ，定義集族γ0，γ1，…，γn，對于任意k≤n都滿足下列條件：

1）γk?N*(eG)且 |γk|≤κ；

2）γk?γk+1；

3）γk的有限交是封閉的；

4）對于任意U∈γk，存在V∈γk+1，使得V2?U；

5）對于任意U∈γk，γk+1從屬于U；

6）對于任意U∈γk和x∈U，存在V∈γk+1，使得xV?U；

假設(shè)條件2）以及4）-7）中的k+ 1 ≤n.因?yàn)镚是仿拓?fù)淙呵?|γn|≤κ，所以存在子集族λn，1?N*(eG)滿足|λn，1|≤κ，對于任意U∈γn，存在V∈λn，1，使得V2?U.由于G是κ—balanced，故存在子集族λn，2?N*(eG)滿足|λn，2|≤κ，對于任意U∈γn和x∈G，存在V∈λn，2，使得xVx-1?U.又因?yàn)镠s(G)≤κ，所以可以找到子集族λn，3?N*(eG)滿足|λn，3|≤κ，對于任意U∈γn，有根據(jù)N*(eG)的定義，存在子集族λn，4?N*(eG)滿足|λn，4|≤ω，對于任意U∈γn和x∈U，都能找到V∈λn，4，使得xV?U.令γ′n+1=是包含γ′n+1關(guān)于有限交封閉的最小集族，顯然|γn+1|≤κ.容易驗(yàn)證γ0，γ1，…，γn+1滿足上述條件1）-6），從而完成構(gòu)造.

8）對于任意Α，B∈μ，存在C∈μ，使得C?Α?B；

9）對于任意Α∈μ，存在B∈μ，使得B2?Α；

10）對于任意Α∈μ，μ從屬于Α；

11）對于任意Α∈μ和y∈Α，存在B∈μ，使得yB?Α；

12）對于任意異于HU0中單位元eHU0的一點(diǎn)x，存在Α∈μ，使得Α?xΑ= ?.

因?yàn)榧濡玫挠邢藿皇欠忾]的，因此條件8）成立.由γ和μ的定義，對條件4）和5）進(jìn)行歸納構(gòu)造可以得到條件8）和9）.下面驗(yàn)證條件10）.對于任意Α∈μ和y∈Α，根據(jù)μ的定義，存在U∈γ和x∈U，使得Α=pU(U)且y=pU(x).根據(jù)條件6）和γ的定義，對于上述的U∈γ和x∈U，存在V∈γ，使得xV?U.記B=pU(V)，則

即yB?Α.結(jié)合條件8）-12）和命題1可知

是HU0上的拓?fù)洌沟?HU0，τ)是仿拓?fù)淙呵姚淌荋U0上單位元eHU0的一個鄰域基.

下證條件12）.由于 |μ|≤κ，故仿拓?fù)淙篐U0滿足χ(HU0)≤κ.任取則存在x∈G，使得pU0(x)=y.因?yàn)樗源嬖赩∈γ，使得x?VV-1，即V?xV= ?.取W∈γ，使得W2?V，則對于O=pU0(W)∈μ，有O?yO= ?.否則，我們可以找到某a，b∈W，使得pU0(a)=ypU0(b)=pU0(xb)，即a=xb，從而a-1xb=eG∈N.再結(jié)合N?W和W2?V可得：

這與x?VV-1矛盾.從而條件12）得證.故仿拓?fù)淙?)HU0，τ滿足T2分離公理.

取U∈γ，使得U2?U0*，則V0=pU0(U)∈N(eHU0)且

因此仿拓?fù)淙篏是投射滿足T2分離公理且滿足特征小于等于κ.由引理3 可知G拓?fù)渫瑯?gòu)于Π 的一個子群H.

引理4[9]設(shè)仿拓?fù)淙篏滿足T2分離公理，則

1）若χ(G)≤κ，則G*是滿足特征小于等于κ且滿足T2分離公理的拓?fù)淙?

2）若w(G)≤κ，則G*是滿足權(quán)勢小于等于κ且滿足T2分離公理的拓?fù)淙?

引理5[9]設(shè)G是完全κ—narrow仿拓?fù)淙?，則G是κ—balanced仿拓?fù)淙?

引理6設(shè)完全κ—narrow仿拓?fù)淙篏是投射滿足T（2正則）分離公理且滿足特征小于等于κ的，則G是投射滿足T（2正則）分離公理且滿足權(quán)勢小于等于κ.

證明只證T2分離公理的情況，正則分離公理的情況類似可證.

任取U∈N(eG)，因?yàn)镚是投射滿足T2分離公理且滿足特征小于等于κ的，因此存在一個從G到滿足特征小于等于κ且滿足T2分離公理仿拓?fù)淙篐U的連續(xù)同態(tài)pU:G→HU，使得對于某一V∈N(eH)，有因?yàn)镚是完全κ—narrow仿拓?fù)淙?，由pU的連續(xù)性可知HU也是完全κ—narrow仿拓?fù)淙?，故HU的narrow 數(shù)nw(HU)≤κ.又因?yàn)棣?HU)≤κ，根據(jù)文獻(xiàn)[9]的推論2.14 可知w(HU)≤nw(HU)?χ(HU)≤κ.因此對于上述的U∈N(eG)，存在一個從G到滿足權(quán)勢小于等于κ且滿足T2分離公理仿拓?fù)淙篐U的連續(xù)同態(tài)pU:G→HU，使得對于某一V∈N(eH)，有p-

U1(V)?U.所以G是投射滿足T2分離公理且滿足權(quán)勢小于等于κ.

定理2設(shè)仿拓?fù)淙篏滿足T2分離公理，{Hi:i∈I} 是滿足權(quán)勢小于等于κ且滿足T2分離公理的仿拓?fù)淙鹤?，則G拓?fù)渫瑯?gòu)于拓?fù)涑朔e∏=∏i∈IHi的一個子群當(dāng)且僅當(dāng)G是完全κ—narrow且Hs(G)≤κ.

證明 必要性設(shè){Hi:i∈I} 是滿足特征小于等于κ且滿足T2分離公理的仿拓?fù)淙鹤?，G是∏=∏i∈I Hi的一個子群.由引理4 可知，對于任意i∈I，Hi*是滿足權(quán)勢小于等于κ且滿足T2分離公理的拓?fù)淙?因此Hi*是κ—narrow 拓?fù)淙?因?yàn)棣省猲arrow 拓?fù)淙旱耐負(fù)涑朔e以及子群都是κ—narrow 拓?fù)淙?，因此G*是κ—narrow拓?fù)淙?，從而G是完全κ—narrow仿拓?fù)淙?

充分性設(shè)G是完全κ—narrow仿拓?fù)淙?，由引?知G是κ—balanced仿拓?fù)淙?又因?yàn)镠s(G)≤κ，所以由定理1 得仿拓?fù)淙篏拓?fù)渫瑯?gòu)于一族滿足特征小于等于κ且滿足T2分離公理的仿拓?fù)淙鹤鍆Hi:i∈I}拓?fù)涑朔e∏=∏i∈I Hi的一個子群.由引理3 知G是投射滿足T2分離公理且滿足特征小于等于κ的仿拓?fù)淙?利用引理6 可得完全κ—narrow 仿拓?fù)淙篏是投射滿足T2分離公理且滿足權(quán)勢小于等于κ的仿拓?fù)淙?最后再次利用引理3 可得G拓?fù)渫瑯?gòu)于一族滿足權(quán)勢小于等于κ且滿足T2分離公理仿拓?fù)淙杭鍆Hi:i∈I} 的拓?fù)涑朔e的子群.

類似于T2仿拓?fù)淙呵度氲目坍嫞覀兛梢灶愃频氐玫秸齽t仿拓?fù)淙呵度氲目坍?

命題5[8]設(shè)半拓?fù)淙篏滿足正則分離公理，H是G的子群，則Ir(H)≤Ir(G).

命題6設(shè)半拓?fù)淙篏滿足正則分離公理，則Ir(G)≤χ(G).

命題7[8]設(shè){Gi:i∈I} 是滿足正則分離公理的半拓?fù)淙鹤?，如果對于任意i∈I都有Ir(Gi)≤κ，則對于拓?fù)涑朔eG= Πi∈IGi有Ir(G)≤κ.

將定理1和定理2中T2分離公理改為正則分離公理，得到定理3和定理4.讀者可以仿照定理1和定理2的證明方法自行證明.

定理3設(shè)仿拓?fù)淙篏滿足正則分離公理，{Hi:i∈I} 是滿足特征小于等于κ且滿足正則分離公理的仿拓?fù)淙鹤?，則G拓?fù)渫瑯?gòu)于拓?fù)涑朔eΠ = Πi∈IHi的一個子群當(dāng)且僅當(dāng)G是κ—balanced且Ir(G)≤κ.

定理4設(shè)仿拓?fù)淙篏滿足正則分離公理，{Hi:i∈I} 是滿足權(quán)勢小于等于κ且滿足正則分離公理的仿拓?fù)淙鹤?，則G拓?fù)渫瑯?gòu)于拓?fù)涑朔eΠ = Πi∈IHi的一個子群當(dāng)且僅當(dāng)G是κ—balanced且Ir(G)≤κ.