國樹東， 王 剛， 齊朝暉*， 張欣剛， 魏 妹

(1.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實驗室，大連 116024；2.大連理工大學(xué) 海洋科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，盤錦 124221); 3.青島理工大學(xué) 理學(xué)院，青島 266520)

1 引 言

月球探測是深空探測的基礎(chǔ)，對于提高人類對宇宙的認(rèn)識，推動科技和經(jīng)濟(jì)發(fā)展具有重要的意義[1，2]。目前，我國正在實施探月三期工程，目標(biāo)是采集深度約2 m并保持層序信息的月壤樣品[3，4]。

月壤樣品鉆取完成后，將采樣樣品收集于樣品袋內(nèi)，然后整形纏繞在回轉(zhuǎn)卷筒上等待回收[5-8]。由于樣品袋為柔性結(jié)構(gòu)，在整形過程中極易發(fā)生重疊和滑落等現(xiàn)象，為了確定順利纏繞的條件，需要對樣品袋纏繞過程進(jìn)行運(yùn)動學(xué)建模和受力分析。

由于技術(shù)保密等原因，可參考的資料相對較少。劉天喜等[9,10]采用離散元法對整形過程中樣品袋內(nèi)的月壤進(jìn)行了力學(xué)分析，為鉆取機(jī)構(gòu)設(shè)計提供了理論指導(dǎo)。但卻無法模擬樣品袋整形的整體運(yùn)動過程，無法計算整形機(jī)構(gòu)參數(shù)與各力學(xué)參量之間的關(guān)系。由于月壤顆粒數(shù)量龐大，還會出現(xiàn)計算量過大和計算時間較長等問題。

整形纏繞系統(tǒng)中，與卷筒接觸的樣品袋受到的是形狀約束。學(xué)者們對形狀約束問題做了大量研究，Hong等[11]為研究物體在一維介質(zhì)中的運(yùn)動提出了任意歐拉-拉格朗日絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)單元(ALE-ANCF)，解除了單元節(jié)點(diǎn)與物質(zhì)點(diǎn)的綁定，并在求解一些工程問題中得到了應(yīng)用。Fu等[12]提出了一種多尺度索輪系統(tǒng)建模方法，索與輪非接觸部分采用ALE單元建模，接觸部分作為約束該單元的邊界條件。齊朝暉等[13]提出了一種單元節(jié)點(diǎn)既不與空間坐標(biāo)固定也不與物質(zhì)坐標(biāo)固定的動態(tài)節(jié)點(diǎn)繩索單元，精細(xì)描述了滑輪繩索的運(yùn)動，簡化了分析過程。這些研究工作充分說明了采用單元節(jié)點(diǎn)與物質(zhì)點(diǎn)解除綁定的空間描述法解決帶形狀約束問題的必要性和可能性，對樣品袋纏繞過程的運(yùn)動學(xué)分析具有重要的指導(dǎo)意義。

本文基于空間描述法建立月壤樣品袋整形纏繞系統(tǒng)的運(yùn)動學(xué)模型，以期揭示系統(tǒng)部件物理量間的關(guān)系，得到影響整形的關(guān)鍵因素和樣品袋順利纏繞的卷筒驅(qū)動條件，對系統(tǒng)的設(shè)計提供理論參考。

2 整形纏繞系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)模型

2.1 整形纏繞系統(tǒng)

整形纏繞系統(tǒng)主要包括回轉(zhuǎn)卷筒驅(qū)動部分和導(dǎo)向套軸向進(jìn)給部分，如圖1所示。在卷筒驅(qū)動下，樣品袋前端的拉繩被纏繞在卷筒上，從而將樣品袋提升至卷筒端口處，然后通過導(dǎo)向套引導(dǎo)，使其沿卷筒軸向自上而下逐漸纏繞到卷筒上。

圖1 月壤樣品袋整形纏繞系統(tǒng)

整形纏繞分析過程是從樣品袋一端剛進(jìn)入卷筒開始直到全部纏繞在卷筒上結(jié)束，模型如圖2所示。系統(tǒng)中起支撐作用的結(jié)構(gòu)等效為樣品袋所受的支撐力和摩擦力。由于樣品袋彈性伸縮率較低，故整形過程中忽略其軸向伸長，并假設(shè)樣品袋截面保持不變。

為了便于分析，對樣品袋初始狀態(tài)作標(biāo)記，A為纏繞起點(diǎn)，AB為卷筒和導(dǎo)向套間無支撐約束段，BC和CD為受導(dǎo)向套約束的直線和圓弧段，DE為導(dǎo)向套和導(dǎo)軌間無約束過渡段，EF為受導(dǎo)軌約束傾斜段，F(xiàn)G為導(dǎo)軌末端圓弧段，GH為無約束豎直段。

2.2 整形纏繞系統(tǒng)運(yùn)動方程

以卷筒底面中心點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，如圖2所示。系統(tǒng)中標(biāo)記點(diǎn)弧長坐標(biāo)隨時間的變化規(guī)律均可由卷筒入繩點(diǎn)的描述變量表示，因此選取卷筒入繩點(diǎn)處樣品袋的弧長坐標(biāo)s0、縱向坐標(biāo)z0和樣品袋水平傾角θ0作為系統(tǒng)描述變量。

卷筒入繩點(diǎn)和導(dǎo)向套出口B的矢徑分別為

r0=z0ez,r1=z1ez+δex

(1,2)

式中z1為B點(diǎn)縱向坐標(biāo)，δ為AB間水平距離。

卷筒入繩點(diǎn)的空間速度為

(3)

樣品袋水平傾角滿足

tanθ0=δ-1(z0-z1)

(4)

卷筒入繩點(diǎn)的物質(zhì)速度為[13]

(5)

式中?r0/?s=cosθ0ex-sinθ0ez。

卷筒入繩點(diǎn)處卷筒上的物質(zhì)速度為

(6)

式中r為卷筒與樣品袋半徑之和，ω為卷筒角速度。

理想狀態(tài)下，樣品袋隨卷筒同步運(yùn)動，即卷筒入繩點(diǎn)物質(zhì)速度與卷筒上相應(yīng)點(diǎn)物質(zhì)速度相等，則

圖2 月壤樣品袋整形纏繞系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)模型

reshaping and winding system

(7)

由式(3，7)，可得

(8，9)

對式(4)求時間導(dǎo)數(shù)

(10)

導(dǎo)向套以速度vd勻速向下運(yùn)動，則有

z1=h-vdt

(11)

式中h為卷筒高度。

此時，卷筒入繩點(diǎn)縱向坐標(biāo)滿足方程

(12)

由于在初始時刻z0=h，方程(12)的解為

z0=h-vdt+vdδ(1-e-ω r t /δ)/ωr

(13)

因此，水平傾角滿足如下變化規(guī)律。

tanθ0= (ωr)-1vd(1-e- ω r t/δ)

(14)

由式(14)，樣品袋整形不久，傾角將穩(wěn)定在

(15)

導(dǎo)向套運(yùn)行速度計算公式為

(16)

式中d為樣品袋直徑。

由式(15,16)可知，導(dǎo)向套運(yùn)行速度需滿足

(17)

由式(8,14)得弧長坐標(biāo)變化率為

(18)

至此，得到整形纏繞系統(tǒng)卷筒入繩點(diǎn)處樣品袋的系統(tǒng)運(yùn)動方程。

2.3 樣品袋過渡段弧長求解

為了分析樣品袋運(yùn)動規(guī)律，需要得到整形過程中其末端的點(diǎn)所處的位置，因此要計算樣品袋待卷入卷筒的弧長。樣品袋圓弧段、傾斜段和豎直段弧長容易準(zhǔn)確計算，難點(diǎn)在于過渡段弧長的求解。

一般樣條插值或Hermite插值對小曲率曲線弧長的求解比較準(zhǔn)確，對大曲率的曲線則存在較大誤差，而樣品袋過渡段屬于大曲率曲線，為了得到更加準(zhǔn)確的弧長，采用累加弦長插值法[14]。

選取過渡段兩端點(diǎn)間弦長λ作為描述參數(shù)，端點(diǎn)處λ1= 0,λ2=‖r2-r1‖，端點(diǎn)切向量取單位向量[14]。

插值曲線為

(19)

形函數(shù)為

(20)

(21)

(22)

(23)

曲線對弦長的導(dǎo)數(shù)為

(24)

整理可得，過渡段曲線弧長為

(25)

式中xi和wi為高斯積分點(diǎn)和權(quán)量系數(shù)。

3 樣品袋順利纏繞受力分析

3.1 卷筒驅(qū)動條件

卷筒入繩點(diǎn)處樣品袋拉力可以描述為

TA=TAgs

(26)

式中g(shù)s和TA為入繩點(diǎn)處樣品袋切向矢量和拉力值。

卷筒入繩點(diǎn)處樣品袋受力如圖3所示。樣品袋與卷筒間的接觸力可以表示為

T=N1en+N2ez

(27)

式中en為卷筒外法向矢量。

樣品袋上一點(diǎn)的加速度為

a=-ω2ren

(28)

將卷筒入繩點(diǎn)視為一微元體，列平衡方程為

(29)

(30)

則樣品袋與卷筒間法向和徑向接觸力分別為

(31)

(32)

滿足樣品袋順利纏繞的卷筒驅(qū)動條件是，既要保證樣品袋與卷筒表面接觸，又要保證樣品袋不從卷筒上滑落，即N1> 0，μN(yùn)1>N2> 0。

圖3 受力分析

3.2 樣品袋受力分析

樣品袋標(biāo)記點(diǎn)的受力影響到卷筒入繩點(diǎn)處拉力和樣品袋整形纏繞，因此需要對其進(jìn)行分段受力分析，如圖4所示。

(1) 圓弧段受力分析

對圓弧段上一微元體，列平衡方程

(33)

式中es和en為微元體處切向和法向矢量，r1為圓弧半徑，fa為合外力，v為線速度。

CD和FG為圓弧段，以FG為例，整理可得

TF=ρv2+ (TG-ρv2)eμ (φ - φ0)+α1eμ (φ - φ0)-αt

(34)

(2) 過渡段受力分析

為了減少求解誤差，采用虛功率原理求解DE兩端的拉力[15]，虛功率方程為

(35)

式中s-1和s1為標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間[-1,1]起止弧長。

整理可得

(36)

當(dāng)樣品袋從導(dǎo)軌脫離后，樣品袋形狀近似不變，切向物質(zhì)加速度為0，可得

TD=TE+ρg· (rE-rD)

(37)

(3) 直線段受力分析

G點(diǎn)受力由豎直段樣品袋重力決定，則

TG=ρg(sH-sG)

(38)

圖4 月壤樣品袋標(biāo)記點(diǎn)受力分析

CD和EF為直線段，以EF段為例，整理可得

TE=TF+μT1cosγ+T1sinγ

(39)

式中T1=ρ(sF-sE)g，γ為導(dǎo)軌與水平面夾角。

AB距離極短，可視為直線，虛功率方程為

(40)

整理可得

TA=TB+ρg(sB-s0)sinθ0

(41)

式中ρ為樣品袋線密度，θ0為AB與水平軸的夾角。

4 數(shù)值算例

對整形纏繞系統(tǒng)進(jìn)行仿真，相關(guān)參數(shù)如下。月球重力加速度為1.633 m/s2，月壤密度為1580 kg/m3，樣品袋與卷筒、導(dǎo)向套和導(dǎo)軌間摩擦系數(shù)均為0.2，卷筒角速度為0.6 r/min，卷筒直徑為112.2 mm，卷筒高度為110 mm，樣品袋長度為2000 mm，樣品袋直徑為17 mm，導(dǎo)軌長度為1300 mm，導(dǎo)軌水平傾角為8.5°，導(dǎo)軌末端到卷筒入繩點(diǎn)間距為170 mm，導(dǎo)向套運(yùn)行速度為11.63 mm/min，導(dǎo)向套水平長度為100 mm，導(dǎo)向套末端到卷筒入繩點(diǎn)距離為50 mm。

4.1 工況1

按照默認(rèn)參數(shù)，樣品袋重疊(樣品袋不同圈發(fā)生重合疊加的現(xiàn)象)纏繞點(diǎn)計算結(jié)果如圖5所示?？梢钥闯?樣品袋重疊纏繞點(diǎn)僅出現(xiàn)在第一圈和第二圈的起始點(diǎn)處，其他位置纏繞情況良好。

樣品袋纏繞失效點(diǎn)(樣品袋與卷筒脫離接觸或滑落處)如圖6所示?？梢钥闯?，在纏繞到第五圈時，樣品袋拉力不足以使其纏繞在卷筒上，樣品袋從卷筒上脫離接觸和滑落，滑落失效起止角度為266.0°和331.6°，滑落失效長度為73.93 mm；接觸失效點(diǎn)位于最末端處。

卷筒阻力矩由卷筒轉(zhuǎn)動慣量和樣品袋拉力引起，如圖7所示?？梢钥闯?，阻力矩整體數(shù)值相對較小，最大值為207.2 N·mm；隨著樣品袋不斷纏繞呈現(xiàn)逐漸減小趨勢，在0.9750 min后變化趨緩，這是由于0.9750 min之前樣品袋豎直段處在逐漸提升狀態(tài)，卷筒所受阻力矩較大，下降較快，至 0.9750 min 時，樣品袋完全提升至導(dǎo)軌上，卷筒阻力矩隨后逐漸減小，下降速度較慢。

圖5 樣品袋重疊纏繞點(diǎn)

4.2 工況2

通過仿真發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)對導(dǎo)向套運(yùn)行速度比較敏感。調(diào)整導(dǎo)向套運(yùn)行速度為12.83 mm/min，樣品袋重疊纏繞點(diǎn)如圖8所示?？梢钥闯觯瑯悠反丿B纏繞點(diǎn)出現(xiàn)在第四圈和第五圈末端，重疊角度為86.70°，重疊長度為97.70 mm。

圖6 樣品袋纏繞失效點(diǎn)

圖7 卷筒所受阻力矩

圖8 樣品袋重疊纏繞點(diǎn)

樣品袋纏繞失效點(diǎn)如圖9所示?？梢钥闯?，樣品袋纏繞到第五圈時從卷筒上脫離接觸并滑落，滑落失效起止角度為265.7°和331.6°，滑落失效長度為74.26 mm；接觸失效點(diǎn)位于最末端處。

卷筒所受阻力矩和工況1變化趨勢一致，最大值為207.2 N · mm，在0.9767 min以后變化趨緩；當(dāng)繼續(xù)增大導(dǎo)向套運(yùn)行速度，樣品袋重疊長度增大，失效點(diǎn)增多，而卷筒所受阻力矩變化不大。

4.3 工況3

調(diào)整導(dǎo)向套運(yùn)行速度為10.43 mm/min，樣品袋重疊纏繞點(diǎn)如圖10所示?？梢钥闯觯瑯悠反丿B纏繞點(diǎn)出現(xiàn)在第一圈和第二圈前端，重疊角度為76.00°，重疊長度為85.65 mm。

樣品袋纏繞失效點(diǎn)如圖11所示?？梢钥闯?，樣品袋纏繞到第五圈時從卷筒上脫離接觸并滑落，滑落失效起止角度為266.0°和331.9°，滑落失效長度為74.26 mm；接觸失效點(diǎn)位于最末端處。

卷筒所受阻力矩和工況1變化趨勢一致，最大值為207.2 N·mm，在0.9717 min以后變化趨緩；當(dāng)繼續(xù)減小導(dǎo)向套運(yùn)行速度，樣品袋重疊長度增大，失效點(diǎn)增多，卷筒所受阻力矩變化不大。

圖9 樣品袋纏繞失效點(diǎn)

圖10 樣品袋重疊纏繞點(diǎn)

圖11 樣品袋纏繞失效點(diǎn)

5 結(jié) 論

(1) 導(dǎo)向套運(yùn)行速度是影響月壤樣品袋整形纏繞的關(guān)鍵因素，且需要與卷筒角速度匹配調(diào)整。當(dāng)卷筒角速度為0.6 r/min時，導(dǎo)向套運(yùn)行速度調(diào)整為11.63 mm/min，可以使樣品袋重疊點(diǎn)和失效范圍達(dá)到最小。

(2) 月壤樣品袋整形纏繞過程中，若樣品袋拉力不足，會導(dǎo)致樣品袋與卷筒脫離接觸或滑落，此時需要提供卷筒軸向托舉力等方法保證其正常纏繞。