畢衛(wèi)濤, 唐 帆, 胡永煌, 佘振蘇,*

(1.北京大學(xué) 工學(xué)院 力學(xué)與工程科學(xué)系, 北京 100871; 2.湍流與復(fù)雜系統(tǒng)國家重點實驗室, 北京 100871)

0 引 言

邊界層從層流向湍流的轉(zhuǎn)捩問題是一個著名的科學(xué)與工程難題。在科學(xué)上，轉(zhuǎn)捩是流動從有序向無序轉(zhuǎn)化的過程，是一個典型的強非平衡物理過程。在這一過程中，有序和無序二面達到一定的平衡，這一平衡集中體現(xiàn)了系統(tǒng)的自組織。至今，對這一自組織原理的認識還很不夠。具體的科學(xué)問題包括：層流邊界層平均速度的布拉休斯剖面怎樣發(fā)展到充分發(fā)展湍流邊界層的剖面？湍動能(或湍流度)剖面是如何形成和發(fā)展的？背后的物理機制和動力學(xué)過程是怎樣的？控制轉(zhuǎn)捩發(fā)生的相似參數(shù)及其臨界數(shù)值是什么？等等。這些都還是尚未解決的問題。在航空航天工程上，氣動力和氣動熱對轉(zhuǎn)捩非常敏感，所以準確預(yù)測轉(zhuǎn)捩成為氣動設(shè)計的關(guān)鍵[1]。而要做到這一點卻非常困難，因為轉(zhuǎn)捩機制復(fù)雜，受到各種控制參數(shù)和環(huán)境因素的顯著影響[2-4]。目前人們對這種復(fù)雜性依然缺乏認識和系統(tǒng)化的描述，難以給出適用性和精準度都滿足要求的轉(zhuǎn)捩預(yù)測模型。

以往對轉(zhuǎn)捩的研究分別在科學(xué)與工程兩條線上幾乎平行地展開，交集很小，反映出對湍流基本原理認識的不足[5-6]。轉(zhuǎn)捩首先被認為是流動失穩(wěn)的結(jié)果[2]，于是長期以來成為線性穩(wěn)定性理論研究的核心課題。但受限于小擾動假設(shè)，以及理論上所設(shè)想的擾動形式過于簡單，基于穩(wěn)定性理論的研究與有效預(yù)測工程實際中的邊界層轉(zhuǎn)捩存在一定距離。非線性方法和其它穩(wěn)定性理論弱化了解析性，更多依賴經(jīng)驗數(shù)據(jù)和定性描述，雖然與真實的邊界層更加靠近，依然難以實現(xiàn)對轉(zhuǎn)捩的定量精準的理論預(yù)測，特別是無法預(yù)測轉(zhuǎn)捩中后期的演化。最近由于計算技術(shù)的飛速發(fā)展，人們通過直接數(shù)值模擬(DNS)來研究轉(zhuǎn)捩[7]。DNS以極大計算代價獲得與實際比較接近的流動細節(jié)，本質(zhì)上屬于數(shù)值實驗，因為它只能開展一例例實際工況的模擬而不具有超越實驗的預(yù)測功能。而如何從數(shù)據(jù)中提煉流動規(guī)律并將其轉(zhuǎn)化為具有預(yù)測功能的轉(zhuǎn)捩理論和轉(zhuǎn)捩模型，至今依然是未解難題[6]。此外，長期以來經(jīng)典流體力學(xué)研究所關(guān)注的特征流動結(jié)構(gòu)(相干結(jié)構(gòu))的思路，雖然在發(fā)現(xiàn)T-S波、流向渦、條帶結(jié)構(gòu)、發(fā)卡渦和發(fā)卡渦包、湍流斑等諸多典型轉(zhuǎn)捩流動結(jié)構(gòu)中有許多收獲[8-10]，也總結(jié)出了猝發(fā)、掃掠、渦斷裂和重聯(lián)等動力學(xué)過程，卻依然沒有能夠捕捉到工程上關(guān)心的轉(zhuǎn)捩特征量(如轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù))隨物理控制參數(shù)變化的普遍性規(guī)律，形成普適可靠的工程轉(zhuǎn)捩模型。因此，突破傳統(tǒng)穩(wěn)定性理論的框架、創(chuàng)新湍流流動結(jié)構(gòu)的概念成為突破轉(zhuǎn)捩難題基礎(chǔ)研究的關(guān)鍵。

受到應(yīng)用的驅(qū)動，人們發(fā)展了許多轉(zhuǎn)捩工程預(yù)測方法[2,11-12]，包括經(jīng)驗的轉(zhuǎn)捩關(guān)聯(lián)式、結(jié)合穩(wěn)定性理論和經(jīng)驗數(shù)據(jù)的eN方法[2]、低雷諾數(shù)湍流模型、層流脈動能模型，以及基于間歇因子輸運的轉(zhuǎn)捩模型[13-14]等。這些方法的普遍特征是存在過多的變化規(guī)律未知的經(jīng)驗參數(shù)。盡管這些參數(shù)可以通過實驗或計算數(shù)據(jù)來標定，但其普適性并沒有得到充分論證，尤其是無法確定在控制參數(shù)和環(huán)境因素變化時是否具有相似性，因此當向工程復(fù)雜邊界層推廣時，模型的可靠性便成為關(guān)鍵疑點。并且，由于模型方程的高度非線性，以及模型參數(shù)與邊界層的流動物理之間缺乏直接聯(lián)系，工程師難以基于對流動物理的理解來調(diào)節(jié)參數(shù)，也無法通過實驗對改進參數(shù)的驗證來增進對流動物理的理解。正因為缺乏基礎(chǔ)理論的指導(dǎo)，工程CFD計算強烈依賴個人經(jīng)驗，成為氣動設(shè)計中的一個突出問題。突破這一問題的根本途徑是“從根子上”認識邊界層湍流的本質(zhì)，在基礎(chǔ)理論指導(dǎo)下構(gòu)建工程轉(zhuǎn)捩模型，這樣才有望獲得參數(shù)物理含義清晰的可靠的轉(zhuǎn)捩模型。

本課題組近些年來發(fā)展的湍流邊界層的結(jié)構(gòu)系綜理論(Structural Ensemble Dynamics，SED)[15-19]提供了刻畫邊界層轉(zhuǎn)捩的新思路，為構(gòu)建新型工程轉(zhuǎn)捩模型提供了新視角[5-6,20-23]。首先，SED創(chuàng)新了流動結(jié)構(gòu)概念。它以結(jié)構(gòu)系綜的新概念來替代傳統(tǒng)的瞬時渦結(jié)構(gòu)，用來刻畫一個個包含相似性特征的、由湍流渦集合所填充的空間區(qū)域。SED提出的最重要的命題是：任何(復(fù)雜的)有統(tǒng)計定態(tài)的邊界層流動皆擁有少數(shù)幾個結(jié)構(gòu)系綜，每一個結(jié)構(gòu)系綜穩(wěn)定占據(jù)一定的流動區(qū)域，具有特定的湍流動量和動能的輸運性質(zhì)。其次，SED提出，結(jié)構(gòu)系綜必然受到來自環(huán)境(固壁)的(對稱性)約束。固壁對于邊界層流動的約束來自于拉伸對稱性，其結(jié)果是同一個結(jié)構(gòu)系綜所占據(jù)的區(qū)域內(nèi)，渦特征尺度隨空間坐標滿足冪次律(即拉伸對稱性成立)。進一步，渦特征尺度由雷諾應(yīng)力張量和平均剪切根據(jù)量綱原理唯一確定，被稱為應(yīng)力長函數(shù)。SED的一個重要發(fā)現(xiàn)是，相鄰結(jié)構(gòu)系綜之間應(yīng)力長函數(shù)滿足普適的冪次律躍遷形式，稱為廣義對稱性原理。這一原理使得理論上能解析地將空間不同的結(jié)構(gòu)系綜連接起來，實現(xiàn)能夠覆蓋湍流邊界層垂向全域的多層結(jié)構(gòu)的解析表述，從而形成描述湍流邊界層平均速度和湍動能全剖面的SED解析理論。每一個結(jié)構(gòu)系綜由其特征位置、特征標度指數(shù)等物理參數(shù)所刻畫，獲得這些參數(shù)值便實現(xiàn)了對邊界層的完整的物理數(shù)學(xué)描述。

文獻[17-18]以大量的實驗和計算數(shù)據(jù)證明了SED對于槽道、圓管和邊界層湍流的精確刻畫。將結(jié)構(gòu)系綜概念延伸到描述具有顯著流向演化的邊界層轉(zhuǎn)捩流動，邏輯上非常簡單，因為在流向同樣存在以邊界層前緣為中心的拉伸對稱群，只需在流向引進層流區(qū)、過渡區(qū)和湍流區(qū)三大結(jié)構(gòu)系綜即可[22-23](與沿垂向的黏性底層、過渡區(qū)、對數(shù)區(qū)非常相似)。這一思路與穩(wěn)定性理論明顯不同，強調(diào)的是流動系統(tǒng)的全流域自組織性，物理上對應(yīng)于一系列不穩(wěn)定事件在強非線性作用下達到動態(tài)平衡時涌現(xiàn)的結(jié)構(gòu)系綜，具有只有在系綜層面上才會呈現(xiàn)的相似性。因此，采取這一視角來描述轉(zhuǎn)捩過程幾乎是不可避免的。傳統(tǒng)理論對轉(zhuǎn)捩的刻畫在邊界層流向的不同發(fā)展階段是由不同的理論和方法來處理的，從而削弱了系統(tǒng)層面的相似性，導(dǎo)致轉(zhuǎn)捩描述和轉(zhuǎn)捩預(yù)測問題長期沒有得到解決。所以，SED對轉(zhuǎn)捩過程的系統(tǒng)性刻畫開啟了轉(zhuǎn)捩研究的新模式。它的突出優(yōu)勢在于，針對不同的轉(zhuǎn)捩機制(自然轉(zhuǎn)捩或旁路轉(zhuǎn)捩)和不同的轉(zhuǎn)捩影響因素(來流湍流度、壓力梯度等)，結(jié)構(gòu)系綜是相當穩(wěn)定的，而且相似性特征非常明顯。這一點對于研究工程復(fù)雜轉(zhuǎn)捩尤為重要，譬如高超聲速轉(zhuǎn)捩涉及幾十個影響因素[3,24]，確定相似性是開展高超聲速轉(zhuǎn)捩預(yù)測的核心，而新型相似性規(guī)律將可能在結(jié)構(gòu)系綜的描述下誕生。

最近在SED理論指導(dǎo)下誕生了SED-SLT系列代數(shù)轉(zhuǎn)捩模型[22-23,25]。最初的SED-SLT1.0將邊界層轉(zhuǎn)捩僅劃分為兩個流向結(jié)構(gòu)系綜——層流系綜和湍流系綜。在定量描述上，將邊界層的兩個關(guān)鍵垂向多層結(jié)構(gòu)參數(shù)沿流向的演化過程寫成從層流系綜到湍流系綜的兩層結(jié)構(gòu)的變化形式。SED-SLT1.0已經(jīng)可以實現(xiàn)對邊界層轉(zhuǎn)捩的摩阻曲線的準確描述；應(yīng)用到翼型等航空標模的計算中，給出了阻力系數(shù)的精準預(yù)測，顯著超越了以往的模型[22-23]。一個令人鼓舞的發(fā)現(xiàn)是，在自由來流湍流(FST)影響的零壓力梯度不可壓縮光滑平板邊界層轉(zhuǎn)捩中，從層流系綜向湍流系綜躍遷的中心位置(轉(zhuǎn)捩中心，這是對轉(zhuǎn)捩位置的新刻畫)相對FST的湍流度呈現(xiàn)出兩層結(jié)構(gòu)的標度律[22]。該標度律區(qū)別了自然轉(zhuǎn)捩和FST誘發(fā)的旁路轉(zhuǎn)捩，描述了兩者的過渡過程，與其它轉(zhuǎn)捩經(jīng)驗關(guān)聯(lián)式相比,與實驗數(shù)據(jù)更加吻合。由于冪次律是相似性規(guī)律的呈現(xiàn)形式，這個發(fā)現(xiàn)證明了多層結(jié)構(gòu)物理參數(shù)的確能夠抓住轉(zhuǎn)捩隨流動控制參數(shù)和環(huán)境因素變化時的相似性，從而為SED-SL模型在更寬參數(shù)域內(nèi)保持有效性提供了理論依據(jù)。

本文將介紹近期對SED-SLT1.0的進一步發(fā)展。我們更加細致地識別和確定了由FST誘發(fā)的邊界層強迫轉(zhuǎn)捩的各個流向結(jié)構(gòu)系綜，因此獲得了對轉(zhuǎn)捩中雷諾應(yīng)力和湍動能各個分量的精準刻畫。這一進展對于人們理解轉(zhuǎn)捩中湍流脈動量的生成與演化機制，以及構(gòu)建基于湍動能的轉(zhuǎn)捩模型都具有重要意義。由于結(jié)構(gòu)系綜的穩(wěn)定性，新確定的轉(zhuǎn)捩結(jié)構(gòu)系綜也為研究其他類型的邊界層轉(zhuǎn)捩奠定了基礎(chǔ)，本文通過將SED-SLT模型應(yīng)用于計算帶攻角的高超聲速尖錐轉(zhuǎn)捩流動初步證明了這一點。此外，為了方便讀者理解和掌握SED的研究方法，本文還特別介紹了從實驗和計算數(shù)據(jù)出發(fā)，構(gòu)建工程湍流模型的完整的研究步驟，以期為學(xué)界和業(yè)界發(fā)展和應(yīng)用SED理論，針對各種工程復(fù)雜流動開展湍流模型創(chuàng)新，提供較為系統(tǒng)的技術(shù)方案。

1 結(jié)構(gòu)系綜理論新思路

1.1 結(jié)構(gòu)系綜理論對轉(zhuǎn)捩邊界層的描述

結(jié)構(gòu)系綜是我們針對壁湍流研究所提出的一個重要概念。它從邊界層方程所滿足的拉伸對稱性出發(fā)，提出不同流動區(qū)域的湍流脈動自組織成不同的結(jié)構(gòu)系綜，其統(tǒng)計特性由應(yīng)力長的廣義拉伸對稱性所刻畫，即在結(jié)構(gòu)系綜內(nèi)應(yīng)力長隨空間坐標以冪次律變化，跨系綜則遵循普適的躍遷函數(shù)形式。這一概念成為構(gòu)建壁湍流平均場理論的基礎(chǔ)。

應(yīng)力長是對普朗特混合長的概念拓展，定義為：

(1)

其中ui(i=1,2,3)為脈動速度分量，U為平均流向速度，y為垂向坐標，||表示絕對值，〈〉表示系綜平均。在平板邊界層中存在四個非零的應(yīng)力長：l12稱剪切應(yīng)力長(即混合長)，用其封閉渦黏系數(shù)可以求解邊界層的平均速度分布；l11、l22、l33分別為流向、垂向和展向的動能長，它們與平均速度剪切一起決定了湍動能各個分量的分布。SED確定的湍流邊界層的應(yīng)力長剖面的表達式為：

(2)

其中加號表示以壁面尺度歸一化；Ψ(r)為外區(qū)剖面，是SED給出的新的尾流函數(shù)。對于剪切應(yīng)力長和三個動能長，Ψ(r)的形式是一致的：

(3)

其中r為邊界層外區(qū)坐標，r=1-y/δe，δe為外區(qū)拉伸對稱中心的位置。在充分發(fā)展湍流邊界層中δe約等于邊界層厚度δ99。Φij(y+)為內(nèi)區(qū)剖面，表達式分別為：

(4a)

(4b)

(4c)

(4d)

式(4)分別描述了四個應(yīng)力長在黏性底層的標度律，以及之上向緩沖層和對數(shù)區(qū)的兩次標度躍遷。標度躍遷滿足如下的普適函數(shù)形式(SED基函數(shù))：

(5)

(6a)

(6b)

式(6)中最關(guān)鍵也是工程上最關(guān)心的參數(shù)是轉(zhuǎn)捩中心位置xtran。與Menter的γ-Reθ四方程轉(zhuǎn)捩模型類似，為了使模型封閉，需要發(fā)展xtran所對應(yīng)的轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)Rextran的經(jīng)驗關(guān)聯(lián)式。對于FST誘發(fā)的平板邊界層轉(zhuǎn)捩，我們基于實驗和計算數(shù)據(jù)提出了Rextran隨湍流度Tu變化的如下式[22]：

(7)

式(7)顯示Rextran隨Tu的增加呈現(xiàn)兩層結(jié)構(gòu)的廣義標度律：自然轉(zhuǎn)捩時(Tu?0.65%)Rextran為常值；強FST時(Tu?0.65%)時Rextran隨Tu的增加以-1.5次方的標度律減小。與以往的經(jīng)驗關(guān)聯(lián)式相比，式(7)不僅定量更加精準，還給出了轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)隨Tu的多層結(jié)構(gòu)相似律，這表明xtran是對轉(zhuǎn)捩位置更加物理的刻畫。

式(2)～式(7)構(gòu)成了求解轉(zhuǎn)捩邊界層全流域平均速度分布的SED-SLT1.0代數(shù)轉(zhuǎn)捩模型。肖夢娟和佘振蘇成功地將SED-SLT1.0用于平板、翼型等標模流動的計算，準確預(yù)測了邊界層轉(zhuǎn)捩的摩阻系數(shù)分布[22-23]，與經(jīng)典模型相比，將翼型阻力的計算誤差降低了約一個數(shù)量級[23]。

式(6)對轉(zhuǎn)捩過程的流向結(jié)構(gòu)系綜劃分是初步的，還不能準確描述摩阻系數(shù)和雷諾應(yīng)力分布的更加細節(jié)的變化，也就是說，在邊界層轉(zhuǎn)捩中還存在一些次導(dǎo)的結(jié)構(gòu)系綜。仔細識別和確定這些次導(dǎo)結(jié)構(gòu)系綜，形成對轉(zhuǎn)捩邊界層“逐級近似”的認識，對于構(gòu)建邊界層轉(zhuǎn)捩的理論框架、研究更復(fù)雜的工程轉(zhuǎn)捩邊界層具有重要意義。此外，轉(zhuǎn)捩最重要的特征是湍流脈動能的形成與發(fā)展，這些信息包含在三個動能長函數(shù)的多層結(jié)構(gòu)的演化之中，沒有被SED-SLT1.0模型所描述。針對湍動能分布開展理論描述，對于理解轉(zhuǎn)捩中湍流脈動量的生成與演化機制、構(gòu)建基于湍動能的轉(zhuǎn)捩模型和湍流模型都具有重要意義。本文將簡要介紹近期在這兩方面研究內(nèi)容上取得的進展，并將新的SED-SL模型用于一種典型的工程復(fù)雜邊界層轉(zhuǎn)捩流動——有攻角的高超聲速尖錐。

以上研究采用了同樣的研究方法，即從實驗和高精度計算數(shù)據(jù)中挖掘流動的結(jié)構(gòu)系綜，通過應(yīng)力長的廣義拉伸對稱性實現(xiàn)對結(jié)構(gòu)系綜的全流域解析描述和對復(fù)雜轉(zhuǎn)捩邊界層平均場的理論預(yù)測，進而構(gòu)建適用于該類型流動的新型SED-SL代數(shù)轉(zhuǎn)捩模型。下面我們來介紹這一SED的湍流研究方法。

1.2 研究復(fù)雜轉(zhuǎn)捩邊界層的SED方法

如前所述，我們認為湍流研究的一個重要課題是基于實驗和高質(zhì)量的計算數(shù)據(jù)確定實際流動中的結(jié)構(gòu)系綜，從而形成對復(fù)雜邊界層的統(tǒng)計特性的精準描述，在此基礎(chǔ)上產(chǎn)生可靠的工程計算模型。這里高質(zhì)量的計算數(shù)據(jù)包括DNS、高分辨率的LES，以及經(jīng)驗證確認可靠的RANS算例等。

DNS包含了所有的流動細節(jié)，但通常雷諾數(shù)不夠大，模型的幾何構(gòu)型相對簡單，工況數(shù)目極為有限。但是，由于結(jié)構(gòu)系綜抓住了邊界層流動的相似性，通常具有寬幅的雷諾性不變性，因此，對DNS數(shù)據(jù)開展SED分析，能夠提供許多工程邊界層流動的結(jié)構(gòu)系綜的定量信息，為構(gòu)建可靠的工程轉(zhuǎn)捩模型奠定基礎(chǔ)。在SED理論的發(fā)展過程中，我們建立了一套對DNS湍流大數(shù)據(jù)開展結(jié)構(gòu)系綜分析的方法，總結(jié)為序函數(shù)分析三部曲：(1)針對DNS數(shù)據(jù)開展應(yīng)力長函數(shù)的廣義拉伸不變性分析，確定結(jié)構(gòu)系綜及其個數(shù)；(2)具體測量實際流動的多層結(jié)構(gòu)參數(shù)，并驗證多層結(jié)構(gòu)表達式對平均場的預(yù)測精度；(3)針對流動條件的變化，確定多層結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化規(guī)律，實現(xiàn)具有預(yù)測性功能的工程模型，同時給出對實際邊界層流動的物理刻畫(與其他邊界層流動的定量區(qū)別)。SED在上述序函數(shù)分析的各個階段都發(fā)展了一系列具體的方法，包括定義序函數(shù)的準則、確定多層結(jié)構(gòu)參數(shù)的診斷函數(shù)和測量方法、構(gòu)建參數(shù)物理模型的理論構(gòu)思，等等，詳細內(nèi)容可參考陳曦、唐帆等人的博士論文[25-26]。

大量的工程復(fù)雜邊界層湍流(尤其是高超聲速飛行器流動)通常只能提供不完整的流場測量數(shù)據(jù)。在這種情況下，結(jié)構(gòu)系綜研究需要采取一種后驗的策略，即基于已有的經(jīng)驗，考慮從已有流動到新的流動中多層結(jié)構(gòu)物理的變化，人為地設(shè)置多層結(jié)構(gòu)的修正，將新的預(yù)測與有限的實驗或(可靠的)計算數(shù)據(jù)進行比較，來確定新參數(shù)的有效性。這種后驗方法的適用性更強，對面向工程實際問題的研究更有價值。下面介紹這種工程化的分析方法。

這種方法面向常規(guī)的實驗數(shù)據(jù)類型，比如流場空間幾個位置的平均速度剖面，或者壁面若干位置的壓強、溫度、摩阻或熱流分布，以及一系列工況下的升阻力和力矩等，都可以應(yīng)用該方法。這是因為流動的結(jié)構(gòu)系綜數(shù)目通常為少數(shù)幾個，且多層結(jié)構(gòu)隨空間有緩變的特征，多層結(jié)構(gòu)參數(shù)的總數(shù)是極為有限的，因此有一定空間分布的實驗數(shù)據(jù)會對多層結(jié)構(gòu)參數(shù)形成強約束，可以通過不斷優(yōu)化預(yù)測結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)的相似度實現(xiàn)對多層結(jié)構(gòu)參數(shù)的確定。

本文以FST誘發(fā)的平板邊界層強迫轉(zhuǎn)捩和有攻角的高超聲速尖錐轉(zhuǎn)捩兩種復(fù)雜邊界層轉(zhuǎn)捩流動為例來展示上述分析過程。

針對FST誘發(fā)的平板邊界層強迫轉(zhuǎn)捩，我們發(fā)現(xiàn)SED-SLT1.0還不能精準預(yù)測摩阻曲線的所有細致變化，原因是存在層流邊界層和湍流邊界層之外的其它次導(dǎo)的流向結(jié)構(gòu)系綜。這些次導(dǎo)系綜現(xiàn)在被辨識為轉(zhuǎn)捩過沖系綜、外區(qū)發(fā)展系綜和轉(zhuǎn)捩弛豫系綜(或有限雷諾數(shù)湍流系綜)等。新系綜的引入遵循了普適的對稱破缺法則，即在原流向兩層結(jié)構(gòu)模型中引入新的普適躍遷函數(shù)乘子，刻畫相應(yīng)結(jié)構(gòu)系綜的平均場效應(yīng)。新結(jié)構(gòu)系綜的存在性和參數(shù)的獨立性以能夠唯一精準刻畫實驗或計算曲線(包括但不限于摩阻曲線)為依據(jù)，以流動物理為支撐。包含轉(zhuǎn)捩過沖系綜的SED-SL模型稱為SED-SLT2.0，它實現(xiàn)了對轉(zhuǎn)捩過沖現(xiàn)象的描述。包含全部三個次導(dǎo)流向系綜的SED-SL模型稱為SED-SLT3.0，它實現(xiàn)了對FST誘發(fā)的平板邊界層強迫轉(zhuǎn)捩的摩阻系數(shù)、平均速度和雷諾應(yīng)力在轉(zhuǎn)捩全流域的精準描述。3.0模型的所有結(jié)構(gòu)系綜一起構(gòu)成了對轉(zhuǎn)捩邊界層的多層結(jié)構(gòu)更加完整的刻畫，為研究其他復(fù)雜轉(zhuǎn)捩邊界層奠定了基礎(chǔ)。類似的分析還被拓展到湍動能各個分量的研究，首次形成了對湍動能在轉(zhuǎn)捩全流域的精準理論描述。

有攻角的高超聲速尖錐轉(zhuǎn)捩流動是受到廣泛研究的航天標模，也是挑戰(zhàn)轉(zhuǎn)捩模型的難題。我們針對不同攻角下高超聲速尖錐轉(zhuǎn)捩的表面紅外圖像數(shù)據(jù)實踐了上述研究框架。通過與實驗數(shù)據(jù)的比較確定了SED-SL模型的多層結(jié)構(gòu)參數(shù)隨攻角和周向角的變化，準確復(fù)現(xiàn)了尖錐表面的實驗數(shù)據(jù)。進一步的研究正在提煉多層結(jié)構(gòu)參數(shù)與流場局部流動參量的關(guān)聯(lián)關(guān)系，使得模型具備在寬參數(shù)域內(nèi)對尖錐轉(zhuǎn)捩流動的精準預(yù)測能力。下面簡要介紹這些結(jié)果。

2 對平板轉(zhuǎn)捩的全分量和全流域的刻畫

FST誘導(dǎo)的零壓力梯度不可壓縮光滑平板邊界層轉(zhuǎn)捩被認為是研究轉(zhuǎn)捩的標準模型，長期以來積累了大量的實驗和計算數(shù)據(jù)，包括一些基準實驗，如S&K實驗和T3系列平板轉(zhuǎn)捩實驗[27]，被廣泛用于轉(zhuǎn)捩模型的驗證。目前人們針對這些實驗已開展了不少的DNS、LES和RANS計算，但尚未形成轉(zhuǎn)捩理論或轉(zhuǎn)捩模型能夠描述所有的實驗數(shù)據(jù)，尤其是針對大湍流度下的平板轉(zhuǎn)捩數(shù)據(jù)，尚不存在精準可靠的轉(zhuǎn)捩模型。此外，更沒有理論或模型能預(yù)測湍流脈動量的演化。這里我們結(jié)合實驗和DNS數(shù)據(jù)，細致研究了有較大來流湍流度的T3B平板轉(zhuǎn)捩流動的各個流向結(jié)構(gòu)系綜，形成了對FST誘導(dǎo)邊界層轉(zhuǎn)捩流動開展全分量、全流域精準描述的SED-SLT3.0代數(shù)轉(zhuǎn)捩模型。

2.1 SED-SLT2.0 和SED-SLT3.0代數(shù)轉(zhuǎn)捩模型

T3B是較大來流湍流度(～6.5%)誘發(fā)的平板邊界層強迫轉(zhuǎn)捩。當前流行的一些轉(zhuǎn)捩模型，如Menter的四方程轉(zhuǎn)捩模型[13]，難以準確預(yù)測T3B的實驗?zāi)ψ枨€(圖1)。T3B摩阻曲線的一個重要特征是所謂轉(zhuǎn)捩過沖現(xiàn)象，即摩阻系數(shù)的峰值顯著超越了湍流邊界層的摩阻曲線在該雷諾數(shù)下的數(shù)值。轉(zhuǎn)捩過沖的出現(xiàn)反映了轉(zhuǎn)捩中渦結(jié)構(gòu)出現(xiàn)了過度發(fā)展，通常源于強外界擾動，如壁面有粗糙度或邊界層吹吸、存在來流強湍流等情況。在高速流動中，當熱流出現(xiàn)顯著的轉(zhuǎn)捩過沖時，固壁的熱負荷會大大增加，需要進行熱防護，因此轉(zhuǎn)捩過沖受到了氣動設(shè)計部門的重視。近年來閻超等針對轉(zhuǎn)捩過沖的模擬做了一系列富有成效的工作[28]。轉(zhuǎn)捩過沖也會帶來明顯的轉(zhuǎn)捩后湍流邊界層的弛豫過程。

(8)

與式(6b)相比，式(8)為流向三層結(jié)構(gòu)，分別為x≤xtran、xtran≤x≤axtran和x≥axtran。式(8)中Δγ為描述轉(zhuǎn)捩過沖強度的奇異標度指數(shù)；a>1為轉(zhuǎn)捩過沖結(jié)束位置相對轉(zhuǎn)捩中心位置的比例因子。γb、Δγ和a目前都是與具體流動有關(guān)的經(jīng)驗參數(shù)，在T3B中，γb≈5.5，Δγ≈1.2，a≈1.5。我們把式(8)的修正稱為SED-SLT2.0，它對T3B的預(yù)測結(jié)果如圖1所示?？梢钥吹絊ED-SLT2.0抓住了摩阻曲線的轉(zhuǎn)捩過沖，但對轉(zhuǎn)捩后期湍流邊界層摩阻的預(yù)測仍然出現(xiàn)一定程度的偏差。

(9a)

(9b)

此外，在邊界層轉(zhuǎn)捩的前期，各種實驗和DNS均表明湍流首先從近壁開始發(fā)展，逐漸擴散到邊界層外區(qū)，最后才形成外區(qū)的虧損型標度律(式(3))。SED-SLT1.0模型未考慮垂向外區(qū)結(jié)構(gòu)在轉(zhuǎn)捩中的生成過程，導(dǎo)致了雷諾應(yīng)力在邊界層轉(zhuǎn)捩的前期被顯著低估。為了表達外區(qū)結(jié)構(gòu)從無到有的生長過程，我們引入了外區(qū)發(fā)展系綜的經(jīng)驗刻畫：

(10)

式(10)在定量上的表現(xiàn)為：在層流區(qū)，外區(qū)拉伸對稱中心δe遠在邊界層厚度(δ99)之外，因此在邊界層內(nèi)Ψ(r)≈1，外區(qū)結(jié)構(gòu)不存在；轉(zhuǎn)捩后，外區(qū)拉伸對稱中心趨于邊界層厚度，外區(qū)結(jié)構(gòu)形成。

包含以上轉(zhuǎn)捩過沖系綜、轉(zhuǎn)捩弛豫系綜和外區(qū)發(fā)展系綜的SED-SL模型稱為SED-SLT3.0模型，它能夠精確描述不同湍流度的FST誘發(fā)的平板邊界層轉(zhuǎn)捩流動的摩阻、雷諾應(yīng)力和平均速度在轉(zhuǎn)捩全流域的分布。圖1為SED-SLT3.0對T3B摩阻系數(shù)的模擬結(jié)果。圖2和圖3分別為SED-SLT3.0對平均速度和雷諾應(yīng)力剖面在轉(zhuǎn)捩各個階段的模擬結(jié)果。模型預(yù)測結(jié)果與DNS吻合非常好，說明SED-SLT3.0抓住了FST誘發(fā)轉(zhuǎn)捩的全部結(jié)構(gòu)系綜。這些結(jié)構(gòu)系綜可以作為轉(zhuǎn)捩多層結(jié)構(gòu)的基本設(shè)置，用于研究其它類型的邊界層轉(zhuǎn)捩。

圖1 SED-SLT3.0對T3B摩阻曲線的計算結(jié)果與T3B的實驗、DNS，以及SED-SLT1.0、SED-SLT2.0和Menter轉(zhuǎn)捩模型計算結(jié)果的比較.值得指出的是，實驗與DNS計算在轉(zhuǎn)捩區(qū)還是稍有差別，而SED-SL模型是可以描述這一差別的

圖2 SED-SLT3.0對T3B平均速度剖面的計算結(jié)果與T3B DNS的比較.五條曲線分別為五個流向不同位置，覆蓋了從轉(zhuǎn)捩極早期到轉(zhuǎn)捩后期

圖3 SED-SLT3.0對T3B雷諾應(yīng)力剖面的計算結(jié)果與T3B DNS的比較.五條曲線分別為五個流向不同位置，覆蓋了從轉(zhuǎn)捩極早期到轉(zhuǎn)捩后期

2.2 對湍動能的理論描述

邊界層轉(zhuǎn)捩最明顯的特征是脈動量從層流區(qū)到湍流區(qū)的極大增長，因此研究湍動能(或湍流度)剖面在邊界層流向的發(fā)展對理解轉(zhuǎn)捩物理具有重要意義。并且，湍動能作為一個局部流動參量也是眾多湍流模型和轉(zhuǎn)捩模型所模擬的關(guān)鍵變量，發(fā)展湍動能剖面的理論描述對轉(zhuǎn)捩模型研究也具有重要價值。我們基于結(jié)構(gòu)系綜概念對湍動能在平板轉(zhuǎn)捩全流域的分布實現(xiàn)了初步的定量理論描述，這是轉(zhuǎn)捩研究中的首次。

根據(jù)動能長的定義(式(1))，對湍動能的預(yù)測可以由動能長和(已計算得到的)平均剪切來實現(xiàn)。由于三個動能長具有極為類似的垂向和流向多層結(jié)構(gòu)，為簡潔起見，這里僅以流向動能長為例進行說明。計算流向湍動能的理論公式為：

(11)

其中式(11)等號右側(cè)第二項描述了FST在流向和垂向的衰減，我們稱之為自由來流湍流衰減系綜。式(11)中，

(12a)

(12b)

(13)

我們將對湍動能的預(yù)測模型也稱為SED-SLT3.0。針對T3B的湍動能的預(yù)測結(jié)果如圖4～6所示。SED-SLT3.0的預(yù)測結(jié)果與T3B的DNS數(shù)據(jù)在轉(zhuǎn)捩全流域都符合良好，這是首次由轉(zhuǎn)捩模型給出在邊界層轉(zhuǎn)捩全流域的湍動能分布的定量精準的預(yù)測結(jié)果。SED-SLT3.0對湍動能剖面的參數(shù)化,對后續(xù)理解轉(zhuǎn)捩物理，預(yù)測轉(zhuǎn)捩中湍流脈動量的生成和發(fā)展機制，以及評估和修正基于湍動能輸運方程的轉(zhuǎn)捩模型都具有極重要的意義。

圖4 SED-SLT3.0計算的流向湍動能與T3B的DNS的對比.流向位置覆蓋從層流到轉(zhuǎn)捩最終到充分發(fā)展區(qū)的全部流域

圖5 SED-SLT3.0計算的垂向湍動能與T3B的DNS的對比

3 應(yīng)用于高超聲速尖錐轉(zhuǎn)捩流動

高超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩是制約高速飛行器氣動設(shè)計的瓶頸難題。近些年來，由于我國國防工業(yè)和航天事業(yè)的重大需求，高超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩受到了政府部門、學(xué)術(shù)界和工程設(shè)計單位的重視。國家通過重點研發(fā)計劃支持國內(nèi)多個優(yōu)勢單位開展高超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩的研究[4]，國家數(shù)值風(fēng)洞工程也將高超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩的CFD預(yù)測作為優(yōu)先發(fā)展的重點方向。與低速邊界層轉(zhuǎn)捩相比，高超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩難在轉(zhuǎn)捩機制更加復(fù)雜，影響因素更多，流動環(huán)境更加特殊，流動狀態(tài)敏感多變，不確定性因素也更多。與之相應(yīng)的是，支持高超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩基礎(chǔ)研究和工程應(yīng)用發(fā)展的實驗和計算數(shù)據(jù)也更加難以獲取，成本非常高昂[1-4]。在這種情況下，特別需要湍流基礎(chǔ)理論研究成果的支撐，來厘清各種復(fù)雜性。

尖錐是研究高超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩的一個標模，與航天飛行器聯(lián)系非常緊密。它的幾何構(gòu)型簡單，但呈現(xiàn)了高超聲速轉(zhuǎn)捩的各種復(fù)雜性，幾十年來也積累了較為豐富的實驗和計算數(shù)據(jù)，成為驗證高超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩理論和轉(zhuǎn)捩模型的一個基準模型。我們基于結(jié)構(gòu)系綜的研究方法對尖錐轉(zhuǎn)捩流動初步開展了SED-SL模型的計算。

3.1 適用于高超聲速尖錐的SED-SL模型

我們具體針對有中等攻角、馬赫數(shù)6、錐度0.05 mm的7°半錐角圓錐開展了RANS計算，并與紅外熱圖實驗數(shù)據(jù)[30]進行了對比。

對RANS計算的設(shè)定描述如下。計算網(wǎng)格由CARDC提供，為周向半模模型。網(wǎng)格數(shù)為173×31×131(軸向×周向×垂向)。在尖錐軸向和周向為均勻網(wǎng)格，壁面垂向為指數(shù)拉伸網(wǎng)格，垂向第一層網(wǎng)格的y+<1。入口條件為自由來流條件，尖錐表面為黏附條件和等溫壁，出口采用外插邊界條件。在計算方法上，采用了總變差減小的隱式LU-SGS 格式進行時間推進，在用有限體積法分裂后，無黏通量采用三階MUSCL格式來求解，黏性通量采用Van-Leer格式求解，在邊界點附近采用了迎風(fēng)格式求解。計算在工作站上開展，計算平臺為中科院力學(xué)所李新亮研究員等開發(fā)的OpenCFD-EC軟件，并在CFL3D平臺上進行了驗證。SED-SL轉(zhuǎn)捩模型模塊在平臺原有的B-L湍流模型模塊的基礎(chǔ)上開發(fā)而成。需要指出的是，為了簡化計算，在SED-SL模型中x方向被指定為尖錐母線方向，這將在大攻角的情況下偏離物理真實。在本文計算的6°攻角之下，流向拉伸原點相距尖錐頂點偏離不大，其定量影響是有限的，并被多層結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化所反映。對于更大攻角的計算，宜考慮流線相對母線的變化。

通過前述的結(jié)構(gòu)系綜的多次迭代分析過程，我們獲得了該超聲速尖錐轉(zhuǎn)捩邊界層的多層結(jié)構(gòu)參數(shù)，反映在SED-SLT3.0的模型設(shè)置中(其中未考慮有限雷諾數(shù)系綜，源于湍流邊界層在尖錐中極短)，由此取得了對尖錐表面熱流分布的精準預(yù)測。

圖7和圖8分別給出了2°和6°攻角由SED-SLT3.0預(yù)測的尖錐迎風(fēng)面和背風(fēng)面的熱流云圖，與實驗的紅外熱圖做了對比，兩者高度一致。注意到實驗是對轉(zhuǎn)捩邊界層瞬時溫升的測量，它與熱流在定量上有相似性。在中等攻角的情況下，轉(zhuǎn)捩線隨攻角增大在背風(fēng)面前移，在迎風(fēng)面后移，這是尖錐轉(zhuǎn)捩的典型特征。

(a)2°攻角尖錐迎風(fēng)面熱圖

(a)6°攻角尖錐迎風(fēng)面熱圖

(a)迎風(fēng)面

(a)轉(zhuǎn)捩中心位置xtran

3.2 對尖錐高超轉(zhuǎn)捩研究的設(shè)想

現(xiàn)階段由于缺乏實驗和可靠的計算數(shù)據(jù)，我們對尖錐高超轉(zhuǎn)捩中多層結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化規(guī)律還沒有形成完整的認識，這需要一段時間的積累。這里再次談一談我們對包括高超尖錐轉(zhuǎn)捩在內(nèi)的復(fù)雜邊界層研究的整體構(gòu)思。

高超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩是一個異常復(fù)雜的科學(xué)與工程難題，其突破需要豐富的經(jīng)驗數(shù)據(jù)與深刻的理論構(gòu)思相結(jié)合[31]。目前國家在高超聲速飛行器研究方面的投入增加，風(fēng)洞實驗數(shù)據(jù)和飛行試驗數(shù)據(jù)正逐步積累，但是，對這些數(shù)據(jù)依然缺乏有效的理論分析，僅僅從中提煉工程設(shè)計所需要的經(jīng)驗參數(shù)是遠遠不夠的。另一方面，隨著近些年來計算能力和計算技術(shù)的飛速提升，湍流的高精度、大規(guī)模數(shù)值模擬得以廣泛開展，使湍流研究快速進入到大數(shù)據(jù)的時代，但對這些大數(shù)據(jù)的分析也嚴重不夠。在這種情況下，發(fā)展深刻的理論構(gòu)思，從湍流大數(shù)據(jù)中既驗證普適的物理原理，又提煉具體流動的與工程相關(guān)的參數(shù)，才能真正實現(xiàn)將基礎(chǔ)理論研究和應(yīng)用研究結(jié)合起來，推動工程技術(shù)進步的目標。隨著SED理論的日益成熟，離這一時機的到來越來越近。我們特別希望能受到學(xué)界和業(yè)界的關(guān)注，積極組織力量來實現(xiàn)這一融合。建立在SED理論基礎(chǔ)上的SED-SL系列代數(shù)轉(zhuǎn)捩模型，其物理圖像清晰，在一系列標模轉(zhuǎn)捩流動中顯示了精準的預(yù)測能力，有可能成為湍流基礎(chǔ)理論和工程應(yīng)用研究相結(jié)合而結(jié)出的碩果。

就高超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩難題而言，要取得突破，還需要一定的時間和耐心。首先需要綜合集成各方面的數(shù)據(jù)，包括風(fēng)洞實驗數(shù)據(jù)、飛行試驗數(shù)據(jù)、DNS數(shù)據(jù)、LES數(shù)據(jù)等，還包括研究者和工程師的知識和經(jīng)驗。再通過對這些數(shù)據(jù)開展SED分析，揭示高超聲速轉(zhuǎn)捩邊界層的結(jié)構(gòu)系綜的特性，它將展示相對各種控制參數(shù)和環(huán)境因素變化的相似性，由多層結(jié)構(gòu)參數(shù)的理論和經(jīng)驗公式表達出來，體現(xiàn)在SED-SL模型的參數(shù)設(shè)定之中，最終實現(xiàn)對高超聲速飛行器全包線的精準模擬。

就本文所介紹的內(nèi)容而言，目前的成果仍然是非常初步的。但重要的一點是，我們對轉(zhuǎn)捩實現(xiàn)了一個非常普適的參數(shù)化方案，從而可以考慮各種邊界層轉(zhuǎn)捩效應(yīng)，這在之前是無法做到的。未來我們希望能夠與國內(nèi)工程單位開展合作，對更多的實驗數(shù)據(jù)展開分析，尤其是對當前工程上極關(guān)心的幾個重要的高超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩效應(yīng)開展攻關(guān)，完成針對錐度效應(yīng)、橫流效應(yīng)、再層流化效應(yīng)等的刻畫，也解答困惑學(xué)界的一些轉(zhuǎn)捩問題。

4 結(jié)論與展望

本文提出了一個構(gòu)建典型工程邊界層轉(zhuǎn)捩模型的嶄新思路：通過實驗和可靠的計算數(shù)據(jù)確定轉(zhuǎn)捩邊界層的結(jié)構(gòu)系綜，提煉反映轉(zhuǎn)捩邊界層物理狀態(tài)和相似性的多層結(jié)構(gòu)參數(shù)，進而形成物理圖像清晰、定量描述精確的新型轉(zhuǎn)捩模型。我們將這個思路成功應(yīng)用到刻畫由自由來流湍流誘發(fā)的平板邊界層強迫轉(zhuǎn)捩和有攻角的高超聲速尖錐轉(zhuǎn)捩兩類流動，獲得了對大湍流度下平板轉(zhuǎn)捩的全分量、全流域的精準理論描述，對高超聲速尖錐的計算也得到了與實驗一致的計算結(jié)果。該研究對研發(fā)可靠、物理內(nèi)涵清晰的轉(zhuǎn)捩模型具有重要的指引作用。

目前的成果仍然是初步的，距離一個可工程化應(yīng)用的轉(zhuǎn)捩模型尚有一段距離。這里，總結(jié)并對今后工程轉(zhuǎn)捩模型的研究做出如下展望：

1)在實驗和計算數(shù)據(jù)日益豐富的今天，轉(zhuǎn)捩模型應(yīng)該全面刻畫典型流場的全部信息，即轉(zhuǎn)捩過程中除了摩擦速度(摩阻曲線)以外，還應(yīng)該刻畫雷諾應(yīng)力、湍動能剖面沿流向的發(fā)展。只有完整刻畫所有雷諾應(yīng)力分量的演化，才能保證轉(zhuǎn)捩過程刻畫的可靠性，也才能奠定轉(zhuǎn)捩模型的可靠性。

2)轉(zhuǎn)捩模型中參數(shù)隨流動工況參數(shù)變化是否具有不變性，是考驗轉(zhuǎn)捩模型的核心要素。除了有限的后驗驗證以外，還應(yīng)該對參數(shù)不變性有獨立的(先驗)驗證。這就要求轉(zhuǎn)捩模型的參數(shù)具有物理意義。目前絕大多數(shù)轉(zhuǎn)捩模型不滿足這一條件，難以成為工程師可以放心使用的理想模型。轉(zhuǎn)捩模型的創(chuàng)新勢在必行。

3)本文所介紹的新思路還很初步，還需針對實際應(yīng)用(例如包含各類復(fù)雜性的尖錐流動)，一步步展開，以詳細的對比來證明，結(jié)構(gòu)系綜的概念可以將多數(shù)復(fù)雜流動因素(如橫流、攻角效應(yīng)等)逐一以普適簡略的形式包括進來，在高級近似中給出對轉(zhuǎn)捩過程的精準的刻畫。

4)更為重要的是，本文所介紹的從DNS/LES和實驗的大數(shù)據(jù)分析建立流動的結(jié)構(gòu)系綜的方法，有待于在實際應(yīng)用中豐富和發(fā)展，成為復(fù)雜邊界層湍流研究的基本方法，這是本文最重要的意義。