張北平

(湖北理工學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院,湖北 黃石435003)

0 引言

無碳小車是以重力勢(shì)能為唯一能量、具有連續(xù)避障功能的自動(dòng)行駛小車，是每年全國大學(xué)生工程訓(xùn)練綜合能力競(jìng)賽的主題。轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)是無碳小車的關(guān)鍵機(jī)構(gòu)，不僅影響小車的連續(xù)變距行走避障性能，而且對(duì)小車行駛軌跡的平滑度和穩(wěn)定性起著至關(guān)重要的作用[1-2]。因此，對(duì)小車轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)、參數(shù)優(yōu)化及加工裝配精度有著極高的要求[3]。目前，大部分無碳小車常采用不完全齒輪、槽輪等間歇性機(jī)構(gòu)進(jìn)行轉(zhuǎn)向控制。由于其間歇性機(jī)構(gòu)的連接處多為滑動(dòng)摩擦，能量損耗大，有一定沖擊，機(jī)械效率較低[4-8]。新型空間四連桿機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、一體化程度高、摩擦損耗小、靈活可靠，且可調(diào)性較高，能獲得較高的傳動(dòng)精度。因此，本文依據(jù)小車變距行走要求，采用空間四連桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行轉(zhuǎn)向控制，建立小車轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，研究結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)小車行駛軌跡的影響，并基于MATLAB進(jìn)行仿真優(yōu)化與實(shí)驗(yàn)，為無碳小車的改進(jìn)提供參考。

1 轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)要求

根據(jù)賽道的設(shè)計(jì)要求，無碳小車的行駛軌跡(如圖1所示)可以近似為正弦函數(shù)。

圖1 無碳小車的行駛軌跡

未變距前兩樁間距為1 000 mm，故取正弦函數(shù)的周期為2 000 mm。為保證小車在改變樁距的情況下仍能實(shí)現(xiàn)無障礙繞樁(奇數(shù)樁位置不變)，結(jié)合小車的行駛軌跡分析，擬取正弦函數(shù)的振幅為400 mm。故小車行駛軌跡可擬合為：

(1)

轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)對(duì)小車行駛軌跡的平滑度及行駛穩(wěn)定性起著至關(guān)重要的作用，目標(biāo)行駛軌跡也決定了轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)方案?？臻g四連桿機(jī)構(gòu)之間多采用球副連接，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、摩擦損耗小、靈活可靠、傳動(dòng)精度高的優(yōu)點(diǎn)，通過參數(shù)微調(diào)便可實(shí)現(xiàn)對(duì)小車的轉(zhuǎn)向控制。故采用空間四連桿轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)。

小車行駛過程中，主動(dòng)件曲柄做圓周運(yùn)動(dòng)，通過連桿帶動(dòng)搖桿前后擺動(dòng)，使前輪做周期性左右擺動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)小車的轉(zhuǎn)向控制。此外，為保證小車前輪左右擺動(dòng)的平穩(wěn)性，轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)不能具有急回特性，即要求曲柄中心軸線應(yīng)與搖桿軸線始終處于同一水平面。

2 小車轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)數(shù)學(xué)建模

小車轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖如圖2所示。其中，e1為曲柄長(zhǎng)度；e2為連桿長(zhǎng)度；e3為搖桿長(zhǎng)度；φ為曲柄轉(zhuǎn)角；τ為前輪轉(zhuǎn)角；ζ為搖桿與y軸的夾角。

圖2 小車轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖

比賽設(shè)置有小車快速拆解重組環(huán)節(jié)，可使前輪轉(zhuǎn)角τ等于搖桿與y軸的夾角ζ，有利于各機(jī)構(gòu)之間的快速定位，節(jié)省時(shí)間。

由向量的運(yùn)算法則可知：

(2)

為使前輪偏角具有對(duì)稱性，轉(zhuǎn)向連桿機(jī)構(gòu)應(yīng)當(dāng)滿足τ=ζ，φ=πk或τ=0，φ=πk+π/2。

為便于計(jì)算取e3=a，故式(2)可寫成：

(3)

另外，為避免小車在行駛過程中打滑，設(shè)計(jì)采用單輪驅(qū)動(dòng)，后輪與曲柄的傳動(dòng)比i=i12·i13=12。小車整體結(jié)構(gòu)示意圖如圖3所示。其中，R為主動(dòng)輪半徑；q為后輪到前輪的垂向距離；s1，s2分別為兩后輪到前輪的水平方向距離；p為曲柄到前輪的垂向距離，且有140 mm

圖3 小車整體結(jié)構(gòu)示意圖

綜上分析，由式(3)可推出小車連桿的長(zhǎng)度為141.42 mm

根據(jù)小車結(jié)構(gòu)圖及行駛規(guī)律，可將小車前輪與右后輪曲率半徑r1,r2表示為：

(4)

聯(lián)立式(1),小車右后輪曲率半徑可進(jìn)一步表示為：

r2=(1+y'2)(3/2)/|y"|

(5)

顯然，前輪最大擺角出現(xiàn)在右后輪曲率半徑最小處，即正弦函數(shù)最大值處。

3 轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化與仿真

3.1 桿長(zhǎng)的初步確定

根據(jù)空間四連桿機(jī)構(gòu)的桿長(zhǎng)參數(shù)構(gòu)建矩陣Mn=(e1,p)，將小車在運(yùn)動(dòng)過程中不同時(shí)刻重物距車底板的高度h記為矩陣H[h1,h2,h3，…]，曲柄轉(zhuǎn)過的角度φ記為矩陣R[φ1,φ2,φ3，…]，前輪轉(zhuǎn)過的角度τ記為矩陣T[τ1,τ2,τ3，…]。

由公式(2)和(3)可知，對(duì)于任意一確定的矩陣M，矩陣R，T之間存在如下函數(shù)關(guān)系：

T=f(R)

(6)

分析可知，若有一確定的矩陣M使得矩陣T的元素關(guān)于τ=0對(duì)稱分布，且τmax=ζ，則矩陣M內(nèi)的元素必為空間四連桿機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)的最優(yōu)解。

取不同的桿長(zhǎng)參數(shù)e1和p構(gòu)建矩陣A=[M1,M2,M3,…]T，根據(jù)式(6)可知，對(duì)于任意一確定的矩陣A,則必存在一矩陣B=[T1,T2,T3,…]T與其對(duì)應(yīng)。

將前輪偏角對(duì)稱性作為衡量Mn優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)，其表達(dá)式為：

γn=Tn(max)+Tn(min)(n=1,2,3，…)

(7)

式(7)中，γn越接近于0，表示Mn越優(yōu)。

采用控制變量法確定最優(yōu)Mn值，在參數(shù)e1和p取值范圍內(nèi)，以e1為x軸，p為y軸，γn為z軸建立笛卡爾坐標(biāo)系，則xy平面內(nèi)任意一點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示為Mn=(e1，p)?；贛ATLAB進(jìn)行求解，得到e1和p對(duì)前輪偏角對(duì)稱性的影響如圖4所示。

科學(xué)發(fā)展觀啟示我們，作為支部書記，必須學(xué)會(huì)科學(xué)地學(xué)習(xí)，確立科學(xué)的學(xué)習(xí)觀，把學(xué)習(xí)貫穿求知、工作和生活的全過程?？茖W(xué)地學(xué)習(xí)，體現(xiàn)在求知過程中，要求支部書記，首先樹立活到老學(xué)到老的觀念，注重在學(xué)習(xí)實(shí)踐中不斷加強(qiáng)，長(zhǎng)期堅(jiān)持；其次，找到適合自身的學(xué)習(xí)方式方法，并在實(shí)踐中不斷完善；第三，在學(xué)習(xí)內(nèi)容上，全面補(bǔ)充自身需要的“營(yíng)養(yǎng)”；第四，求知的目的是實(shí)現(xiàn)思維創(chuàng)新，以便創(chuàng)造、創(chuàng)業(yè)。

圖4 e1和p對(duì)前輪偏角對(duì)稱性的影響

由圖4可知，當(dāng)γn最小時(shí)，e1和p為理論最優(yōu)值，此時(shí)e1=30 mm，p=160 mm。

由式(3)可知，當(dāng)e2做出較小調(diào)整時(shí)，e1和p的數(shù)值變化較大。而對(duì)e3進(jìn)行微調(diào)，e1保持不變時(shí)，僅對(duì)τmax有影響，且此時(shí)e1和p的數(shù)值不變，仍能滿足前輪偏角變化對(duì)稱性的條件。因此，應(yīng)優(yōu)先確定搖桿e3的尺寸。

假設(shè)小車行駛過程中速度恒定，則鉛錘下降高度h和小車直線位移y應(yīng)存在單調(diào)關(guān)系，記為：

y=f(h)

(8)

定義矩陣C=[e31,e32,e33,…，e3n]，矩陣C內(nèi)元素代表不同的桿長(zhǎng)，每一個(gè)元素e3n都對(duì)應(yīng)一個(gè)函數(shù)值y。因此，可以通過判斷函數(shù)y是否單調(diào)遞增求解最優(yōu)e3值。利用MATLAB求解結(jié)果，得到e3對(duì)y=fn(h)的影響曲線如圖5 所示。

圖5 e3對(duì)y=fn(h)的影響曲線

由圖5可知，隨著e3的增大，函數(shù)y逐漸趨于單調(diào)，且當(dāng)e3≥90 mm時(shí)，y近似為嚴(yán)格遞增函數(shù)。因此，搖桿長(zhǎng)度可初選為90 mm。綜合考慮后，轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)各參數(shù)理論初選值見表1。

表1 轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)各參數(shù)理論初選值 mm

(a) 小車前輪行駛軌跡仿真

由圖6可知，小車前輪擺角的對(duì)稱度較好，滿足設(shè)計(jì)要求，但小車的實(shí)際行駛軌跡與目標(biāo)行駛軌跡偏差較大，需進(jìn)一步進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化。

3.2 軌跡影響分析與參數(shù)優(yōu)化

假定其余參數(shù)不變，分別以e1，e2，e3為變量分析轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)各參數(shù)對(duì)小車行駛軌跡的影響特性。轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)各參數(shù)對(duì)小車行駛軌跡的影響如圖7所示。由圖7可知，隨著曲柄e1增大，小車的行駛軌跡向右偏移，軌跡函數(shù)周期隨之減小；增大連桿e2，小車的行駛軌跡整體向左偏移，但周期無明顯變化；保持e1，e2不變，增大搖桿e3，小車行駛軌跡向左偏移且偏移的幅度遠(yuǎn)小于e1，e2對(duì)前輪軌跡的影響。因此，改變搖桿尺寸，小車行駛軌跡周期幾乎不變。

綜合分析可知，曲柄、連桿、搖桿三者數(shù)值變化范圍相等時(shí)，連桿對(duì)小車行駛軌跡的影響最大，曲柄次之，搖桿最小。因此，對(duì)小車進(jìn)行微調(diào)時(shí)，應(yīng)優(yōu)先考慮調(diào)節(jié)曲柄和搖桿使其接近目標(biāo)軌跡；而小車實(shí)際行駛軌跡與目標(biāo)軌跡偏差較大時(shí)，應(yīng)先通過調(diào)節(jié)連桿使其接近目標(biāo)軌跡，然后再對(duì)曲柄和搖桿進(jìn)行微調(diào)。

(a) e1對(duì)小車右后輪軌跡影響

經(jīng)仿真分析，轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)各參數(shù)優(yōu)化值見表2，參數(shù)優(yōu)化后小車行駛軌跡如圖8所示。由圖8可以看出，參數(shù)優(yōu)化后小車行駛軌跡有較大改進(jìn)，更接近目標(biāo)行駛軌跡。

表2 轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)各參數(shù)優(yōu)化值 mm

圖8 參數(shù)優(yōu)化后小車行駛軌跡

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

按照優(yōu)化后的參數(shù)制作小車模型，根據(jù)競(jìng)賽要求進(jìn)行實(shí)物實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在實(shí)際賽道比賽中，小車的行駛軌跡符合預(yù)定軌跡曲線，且行駛平穩(wěn)，兩輪成功繞樁16個(gè)，驗(yàn)證了參數(shù)優(yōu)化后轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的合理性和可靠性。

5 結(jié)論

1)曲柄e1增大，小車行駛軌跡向右偏移，軌跡周期隨之減小。連桿e2和搖桿e3增大，小車的行駛軌跡整體向左偏移，但周期無明顯變化。

2)曲柄、連桿、搖桿三者數(shù)值變化范圍相等時(shí)，連桿對(duì)小車行駛軌跡的影響最大，曲柄次之，搖桿最小。

3)僅對(duì)小車微調(diào)時(shí)，應(yīng)優(yōu)先考慮調(diào)節(jié)曲柄和搖桿使其接近目標(biāo)軌跡。而小車實(shí)際行駛軌跡與目標(biāo)軌跡偏差較大時(shí)，應(yīng)先通過調(diào)節(jié)連桿使其接近目標(biāo)軌跡，然后再對(duì)曲柄和搖桿進(jìn)行微調(diào)。