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        基于鍵基近場動力學(xué)理論的單裂紋圓孔板沖擊破壞研究

        2020-12-18 03:13:42胡夢凡
        工程力學(xué) 2020年12期
        關(guān)鍵詞:裂紋

        劉 寧,胡夢凡,周 飛

        (南京理工大學(xué)機械工程學(xué)院,南京210094)

        巖石是隧道、礦山、鉆探等大型工程中的主要研究對象,研究其裂紋的起裂、擴展與止裂的規(guī)律具有極其重要的意義。動態(tài)斷裂韌度是控制裂紋擴展的主要參數(shù)之一,其數(shù)值對工程設(shè)計與研究具有重要價值[1?2]。

        研究巖石動態(tài)斷裂行為常用爆炸沖擊加載[3],落錘沖擊加載[4],分離式霍普金森桿(SHPB)沖擊加載[5]等,其中分離式霍普金森桿加載目前被廣泛用來研究材料的動態(tài)斷裂行為。倪敏等[6]利用分離式霍普金森桿,采用實驗-數(shù)值法與準靜態(tài)法對比研究了單裂紋圓孔板(SCDC)的斷裂韌度,對裂紋動態(tài)擴展過程研究較少。楊井瑞等[7]研究壓縮單裂紋圓孔板試樣,提出實驗-數(shù)值-解析法解算試樣起裂韌度和擴展韌度,并研究了試樣動態(tài)止裂問題。曹富等[8]研究受沖擊壓縮單裂紋圓孔板裂紋起裂、擴展、止裂和二次起裂過程,用實驗-數(shù)值-解析法確定起裂韌度、擴展韌度、止裂韌度和二次起裂韌度。李煉等[9]采用霍普金森桿加載系統(tǒng)對偏心圓孔單裂紋圓盤的裂紋擴展進行試驗,采用實驗-數(shù)值-解析法得到動態(tài)應(yīng)力強度因子,分析裂紋起裂、擴展和止裂的全過程。Wang 等[10]提出單裂紋半圓試樣(SCSC),進行純I型和混合I/II 型巖石的動力斷裂實驗,并用AUTODYN 軟件模擬裂紋擴展行為。為了更好的觀測止裂情況,Wang 等[11]采用一種新的V 型底單裂紋半圓試樣(VBSCSC),能有效抑制裂紋的擴展,采用ABAQUS軟件計算了應(yīng)力強度因子,利用實驗-數(shù)值法確定動態(tài)斷裂韌性。David 等[12]研究了透明材料在動態(tài)載荷作用下裂紋擴展規(guī)律,采用XFEM 法模擬實驗結(jié)果。Ai等[13]研究了巴西圓盤巖石試樣在霍普金森壓桿作用下裂紋擴展規(guī)律,采用動態(tài)電阻應(yīng)變儀和高幀相機進行測試,采用近場動力學(xué)方法進行數(shù)值模擬,揭示了巖石材料在高應(yīng)變率載荷作用下的斷裂行為和機理。

        傳統(tǒng)數(shù)值方法如有限元方法(FEM)、有限差分法(FDM)等,基于空間連續(xù)性與局部接觸作用假設(shè)建模,通過空間微分方程求解問題,但在處理裂紋擴展、沖擊破壞等不連續(xù)問題時,還存在相當(dāng)大的困難[14]。近場動力學(xué)理論(Peridynamics,PD)由美國Sandia 國家實驗室Silling 教授首次提出[15?16],基于非局部作用思想建模,用空間積分方程來描述物質(zhì)點的運動,對于從連續(xù)到非連續(xù)、微觀到宏觀的力學(xué)行為具有統(tǒng)一的表述,數(shù)值上天然具有無網(wǎng)格屬性和不連續(xù)求解功能,在分析不連續(xù)問題時具有較大的優(yōu)勢[17?18]。在霍普金森桿沖擊單裂紋圓孔板研究中通常采用實驗-數(shù)值法[6?9],需先通過實驗測得作用在試件上的加載力,再利用有限元程序計算得到試件的動態(tài)斷裂韌度。而本文采用鍵基近場動力學(xué)方法(Bond-based PD)建立霍普金森桿沖擊加載、試件多裂紋發(fā)展全過程近場動力學(xué)模型,實現(xiàn)了一體化數(shù)值仿真,在裂紋模擬適用性和方法便捷性等方面均具有較大優(yōu)勢。

        1 近場動力學(xué)理論

        1.1 基本思想

        如圖1所示,設(shè)在任意時刻t,空間域R中任一物質(zhì)點x與其周圍一定范圍δ(近場范圍)內(nèi)的任意其它物質(zhì)點之間存在本構(gòu)力函數(shù)f作用,根據(jù)牛頓第二定律可得近場動力學(xué)方法的運動方程:

        式中:u為物質(zhì)點位移;u¨ 為物質(zhì)點加速度;b為體力密度;ρ為材料密度;dV x′表示物質(zhì)點x′處的體積微元;f為物質(zhì)點x與x′之間本構(gòu)力函數(shù),定義物質(zhì)點間相對位置ξ 及相對位移η 為Ω:

        圖1 物質(zhì)點間相互作用關(guān)系Fig.1 Grid relationship in PD model

        對于鍵基近場動力學(xué)模型,式(1)中物質(zhì)點間的本構(gòu)力函數(shù)f可以寫為:

        式中,ω(ξ,η)為點對勢函數(shù):

        式中:c(ξ)表示微觀彈性模量;s表示物質(zhì)點對的伸長率。

        式中,G0為材料的斷裂能。

        引入物質(zhì)點對的破壞情況占比φ來表示此局部破壞水平:

        對于均質(zhì)各向同性材料,將物質(zhì)點對勢能與傳統(tǒng)彈性力學(xué)應(yīng)變能等價,可得微觀彈性模量c表達式,對于本文試件沖擊壓縮二維平面應(yīng)力問題:

        式中:E為彈性模量;ν表示泊松比。

        霍普金森桿為大長徑比結(jié)構(gòu),可簡化為一維PD模型研究,微觀彈性模量表達式為:

        1.2 數(shù)值方法

        將巖石板離散為物質(zhì)點,運動方程式(1)的離散形式可表示為:

        時間步長采用文獻[16]公式計算:

        其中,cip=c(xp?xi)。

        2 仿真模型

        2.1 單裂紋圓孔板沖擊模型

        根據(jù)文獻[6]分離式霍普金斯桿沖擊單裂紋圓孔板(SCDC)試驗裝置,如圖2所示,建立單裂紋圓孔板沖擊破壞PD模型。試件彈性模量為17.67 GPa,密度為3055 kg/m3,幾何尺寸如圖3所示,試件左端面到圓心的距離L1=42 mm,右端面到圓心的距離L2=121 mm,試樣寬度w=80 mm,圓孔直徑D=15.5 mm。

        圖2 霍普金森桿沖擊加載實驗裝置Fig.2 Schematic view of the SHPB

        圖3 單裂紋圓孔板試樣幾何形狀Fig.3 Geometric configuration of single cleavage drilled compression specimen

        霍普金森壓桿直徑為D=100 mm,入射桿長為4500 mm,透射桿長為2500 mm,壓桿彈性模量E1=210 GPa,泊松比ν1=0.3,密度ρ=7850 kg/m3,可求得波在入射桿及透射桿中理論上的傳播速度:

        應(yīng)力波從入射桿傳播至試樣需870μs。為了提高求解效率,入射桿及透射桿采用一維PD模型,SCDC采用二維PD模型,數(shù)值離散后一維桿模型節(jié)點間距?xH=0.5 mm,取其臨域半徑δ=2.2mm;二維模型離散后節(jié)點間距Δx=0.5 mm,臨域半徑δ2=1.65 mm,鍵臨界伸長率s0=0.0042。時間步長統(tǒng)一取Δt=2×10?7s。

        2.2 碰撞模型

        式中:A=(πD2)/4為壓桿的截面積;h為試件厚度。

        同理可寫出試樣右端和透射桿之間的受力模型:

        2.3 整形器模型

        為了改善加載波形,優(yōu)化試樣受到的激勵信號,實驗中采用波形整形器來過濾波形中的高頻信號,在進行數(shù)值模擬時也需考慮整形器影響。通常采用銅作為波形整形器,F(xiàn)rew 等[20]給出了其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系:

        其中,σ0=625 MPa,n=0.32,m=4.25,計算應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系如圖4所示。卸載過程是彈性的,其彈性模量E=117 GPa。

        圖4 銅的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線Fig.4 Stress-strain curve of copper

        沖擊部分各部件的尺寸和材料參數(shù)如表1所示。

        表1 材料參數(shù)Table 1 List of Material Properties

        在碰撞過程中整形器發(fā)生形變,其橫截面積可以表示為:

        式中:L0為整形器初始長度;A0為整形器初始截面積;L為變形后的長度,等效應(yīng)力隨橫截面尺寸的改變而改變:

        圖5給出了不同撞擊速度下應(yīng)變波形的曲線圖,從圖中可以看出撞擊速度越大,應(yīng)變峰值越高,到達峰值所用時間越短,采用整形器模型所得的波形曲線較平滑,波形得到明顯改善。

        圖5 不同撞擊速度波形圖Fig.5 Strain curvesof different impact velocities

        3 數(shù)值仿真結(jié)果及分析

        3.1 不同撞擊速度裂紋擴展過程

        試件預(yù)制裂紋長度為25 mm,采用不同的加載速度撞擊,研究試件裂紋擴展過程和破壞模式。當(dāng)撞擊速度較小時,主裂紋沿著預(yù)制裂紋方向擴展將巖石一分為二,應(yīng)變能集中于裂紋尖端以及中心圓孔上下兩端,隨著主裂紋擴展完成后,次生裂紋逐漸產(chǎn)生,從中心圓孔上下兩端萌發(fā),逐漸向上下貫穿將巖石分為四片,如圖6所示;當(dāng)撞擊速度較大時,主裂紋仍然沿預(yù)制裂紋方向迅速擴展,應(yīng)力波傳播至右端面反射回與入射波相互作用,導(dǎo)致圓孔左上部分與右下部分應(yīng)力集中,最終產(chǎn)生剪切破壞形成U 型裂紋,與此同時主裂紋停止擴展(止裂),之后主裂紋起裂繼續(xù)擴展直達右端面,主裂紋擴展完成后次生裂紋逐漸產(chǎn)生,如圖7所示。圖8為數(shù)值模擬裂紋擴展結(jié)果與文獻[6]實驗結(jié)果的對比,二者具有較好的一致性。

        3.2 試樣端面受力分析

        預(yù)制裂紋長度為10 mm,當(dāng)撞擊速度為9.43 m/s時,數(shù)值模擬所得入射桿與透射桿中應(yīng)變波如圖9所示,和實驗數(shù)據(jù)吻合較好[6]。

        圖10表示撞擊速度為9.43 m/s時試件左右端面所受應(yīng)力隨時間變化的云圖??拷鼒A孔的左端面,受到?jīng)_擊后端面受力逐漸增加,且由于中間部分向內(nèi)凹陷,中間部分受力較兩端小,當(dāng)試樣裂紋開始擴展時,端面受力極其不均勻,受力狀況呈V 形分布,中間局部區(qū)域甚至處于不受力狀態(tài);遠離圓孔的右端面,在前期受力分布相對均勻,由于裂紋不斷擴展,試樣逐漸被分為兩塊,中間部分向會內(nèi)凹陷,受力較小。

        對比文獻[6]采用疊加法進行試樣端面的平面加載情況,本文模型得到的裂紋起裂后的端面受力和形變分布極不均,充分反映了試件沖擊破壞期間復(fù)雜的動態(tài)響應(yīng)過程。

        3.3 裂紋擴展過程分析

        對SCDC 試樣主裂紋的擴展情況進行研究,對比試驗得到的起、止裂時間及裂紋的擴展特點,分析SCDC的起止裂規(guī)律。

        圖6 沖擊速度為6 m/s時試件裂紋擴展過程Fig.6 Crack propagation contour for impact velocity of 6 m/s

        圖7 沖擊速度為12.5 m/s時試件裂紋擴展過程Fig.7 Crack propagation contour for impact velocity of 12.5 m/s

        圖8 數(shù)值模擬與實驗結(jié)果對比[6]Fig.8 Comparison of the numerical results against the experiment results[6]

        圖9 入射桿與透射桿上應(yīng)變波信號Fig.9 Comparison of the strain signals between the incident bar and the transmission bar

        圖11與圖12給出了撞擊速度為9.43 m/s時裂紋的擴展長度、擴展速度隨時間變化情況。預(yù)制裂紋在973μs時起裂,然后迅速擴展,中途會出現(xiàn)止裂現(xiàn)象,在止裂前擴展速度會逐漸下降。在1164μs時出現(xiàn)二次起裂,裂紋擴展速度瞬間增加,而且二次起裂后的擴展速度較第一次擴展速度大,擴展速度處于不穩(wěn)定狀態(tài)。裂紋尖端的時程曲線與實驗吻合較好。

        為了研究裂紋擴展過程與撞擊速度的關(guān)系,圖13給出了不同撞擊速度下裂紋擴展長度時間曲線,可見裂紋擴展都經(jīng)歷了起裂-擴展-止裂-二次起裂的全過程,撞擊速度越大,起裂時間越短,第一次止裂時裂紋擴展的長度更長;當(dāng)撞擊速度較低時,裂紋會產(chǎn)生多次止裂現(xiàn)象,第一次加載時裂紋擴展一段距離后止裂,試樣獲得的能量不足以使裂紋發(fā)生二次起裂,等到應(yīng)力波在入射桿中傳播一個來回后再次加載,試樣得到足夠的能量才能導(dǎo)致二次起裂,因此裂紋會擴展較長的時間(≈1680μs)。

        圖10 試樣端面受力分布(v0=9.43 m/s)Fig.10 Stresscontoursof the left and the right end surfaces(v0=9.43 m/s)

        圖11 裂紋擴展長度曲線Fig.11 Curve of crack length

        圖12 裂紋擴展速度曲線Fig.12 Curveof crack velocity

        圖13 不同撞擊速度下裂紋擴展情況Fig.13 Crack growing comparison ofdifferent impact velocities

        4 動態(tài)應(yīng)力強度因子計算

        通過PD理論計算J積分的方法已有報道[21?23],對于鍵基PD理論,采用Hu 等[22]提出了裂紋尖端J積分方法:

        為了驗證本文動態(tài)應(yīng)力強度計算結(jié)果的合理性,首先對經(jīng)典Chen 的問題進行了分析,結(jié)果如圖14所示,與Murti 等[24]的求解結(jié)果進行對比,采用PD方法計算的動態(tài)應(yīng)力強度因子與其吻合較好。因此本方法可用于SCDC模型的應(yīng)力強度因子計算。

        圖15給出了撞擊速度為7 m/s時試件動態(tài)應(yīng)力強度因子曲線。由圖13可知,裂紋初始起裂時間為1000μs,此時動態(tài)應(yīng)力強度因子為2.9 MPa?m1/2,二次起裂時間為1147μs,對應(yīng)的動態(tài)應(yīng)力強度因子為3.24 MPa?m1/2。在裂紋擴展的時候,能量釋放,裂紋尖端的應(yīng)力強度因子大小逐漸下降,直至裂紋止裂后,裂紋尖端能量逐漸積累,其應(yīng)力強度因子大小逐漸增加,直至超過二次起裂韌度后再次起裂。

        進一步計算了不同撞擊速度下裂紋的起裂韌度,如圖16所示,可以看出,試件動態(tài)起裂韌度隨撞擊速度的增加而增大。

        圖14 動態(tài)應(yīng)力強度因子算例結(jié)果對比[24]Fig.14 Calculated dynamic stress intensity factors[24]

        圖15 試件動態(tài)應(yīng)力強度因子計算曲線Fig.15 The curve of the dynamic stress intensity factor

        圖16 不同撞擊速度下的動態(tài)起裂韌度Fig.16 Crack initiation toughnessunder different impact velocities

        5 結(jié)論

        本文建立了分離式霍普金森桿沖擊單裂紋圓孔板(SCDC)近場動力學(xué)模型,模擬了試件動態(tài)斷裂全過程,獲得了裂紋擴展模式和發(fā)展規(guī)律,與實驗結(jié)果吻合較好。

        (1)受圓孔影響,SCDC試樣端面受力不均勻,在裂紋擴展時呈現(xiàn)V 形分布。

        (2)SCDC試樣沖擊破壞過程中,裂紋擴展經(jīng)歷了起裂-擴展-止裂-二次起裂的復(fù)雜過程。

        (3)加載速度較小時,裂紋呈現(xiàn)十字形,當(dāng)加載速度較大時,圓孔與左端面之間出現(xiàn)剪切破壞,呈現(xiàn)U 形裂紋。

        (4)加載速度越大,起裂韌度越大。

        本文方法除了可模擬單裂紋圓孔板破壞過程,對脆性材料雙裂紋圓孔板、圓盤沖擊、預(yù)制裂紋三點簡支梁、Kalthoff-Winkler 模型等經(jīng)典沖擊破壞問題的裂紋起裂、擴展、分叉均有較好的模擬精度,相比傳統(tǒng)數(shù)值方法具有明顯優(yōu)勢,可推廣應(yīng)用于更廣泛的工程斷裂問題研究。

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