江蘇省興化市景范學(xué)校 陳 穎

蘇軾在《赤壁賦》中從哲學(xué)的角度向世人道出了人生中的變與不變的真理。其實，從數(shù)學(xué)的角度看，世界上所有的事物都在變化著，這種變化包含著變化和不變的因素。其中，如何處理“變與不變”的關(guān)系是解決數(shù)學(xué)問題的一大難點，也是重要的數(shù)學(xué)思維方法之一。筆者將結(jié)合自己的教學(xué)實踐談?wù)勅绾卧诮虒W(xué)中滲透“變與不變”的數(shù)學(xué)思維方法。

一、“變與不變”思想方法的概述

1.“變與不變”的內(nèi)涵。偉大的哲學(xué)家蘇格拉底認(rèn)為，世界上的所有事物都在某些方面發(fā)生變化或消逝，但是從某種程度上來說這些變化著的事物在某些方面卻是相同的，那就是從不變化、從不消逝。這句話將“變與不變”的哲學(xué)含義很好地解釋透徹了。其實，“變與不變”是以辯證關(guān)系而存在的，如表面發(fā)生變化，但本質(zhì)卻不變；局部發(fā)生變化，但整體卻不變；事物都會有短暫的變化，但長期來看最終結(jié)果是不發(fā)生改變的?？傊?，如果要嘗試運用變與不變的思想方法去思考問題，那么需要我們既要考慮其變化的一面，又要考慮其不變的一面，同時還需要思考二者如何進(jìn)行轉(zhuǎn)換?？傊?，世界上有太多千變?nèi)f化的事物，它們有可能會令人眼花繚亂，但是我們?nèi)绻茏プ∈挛镒兓谋举|(zhì)，就可以以不變應(yīng)萬變，無論是生活中的問題或是學(xué)科中的學(xué)術(shù)問題，都能舉一反三，想出最適當(dāng)且最高效的辦法解決，從而提高自身解決問題的能力與效率。

2.“變與不變”思想方法的數(shù)學(xué)地位。數(shù)學(xué)思想是在數(shù)學(xué)知識形成和發(fā)展以及應(yīng)用過程中誕生的，它是對數(shù)學(xué)知識以及方法在更高層次上的升華與濃縮。當(dāng)解決數(shù)學(xué)問題時，就需要運用數(shù)學(xué)方法，因此數(shù)學(xué)方法是將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用起來的策略，同時也是數(shù)學(xué)思想的具體反映。在教學(xué)過程中應(yīng)用“變與不變”的思想，可以幫助學(xué)生解決錯綜復(fù)雜的問題，也能讓學(xué)生通過現(xiàn)象看本質(zhì)，根據(jù)局部把握全局等。如果學(xué)生能把“變與不變”運用到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中去，就可以做到舉一反三和觸類旁通。因此“變與不變”思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有深遠(yuǎn)的意義。

二、“變與不變”思維方法在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的實際運用

1.在“變與不變”中分析概念。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識體系中最基本的一個內(nèi)容，也是一切中高難度知識點的核心。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，概念的理解與把握是分析和解決數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)。然而，數(shù)學(xué)概念具有抽象化的特點，這使數(shù)學(xué)概念的教學(xué)變得比較困難。因此，在教學(xué)過程中，尤其是在講解概念時，教師應(yīng)當(dāng)把握“變與不變”的關(guān)系，適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較分析，以便更為清楚地理解概念的本質(zhì)特征和意義。

例如，在教學(xué)“面積”這一單元時，很多老師把周長和面積分開來教，這就容易使學(xué)生混淆面積和周長這兩個重要概念。其實，最好的教學(xué)方式是教師先將周長和面積這兩個概念分別講解后，再設(shè)計一系列與之相關(guān)的教學(xué)活動，讓每一個學(xué)生仔細(xì)觀察圖形周圍的線的變化是如何引起周長和面積的變化的，周長和面積之間到底有什么聯(lián)系或者差別。

比如，教師拿出一個可以活動的平行四邊形框架，將平行四邊形變成長方形再變成其他平行四邊形的過程演示出來，讓學(xué)生觀察平行四邊形的周長和面積有什么變化，學(xué)生很快就能得出圖形的周長不變，但是面積發(fā)生改變了。

教師通過在課堂上讓學(xué)生猜測、驗證、比較和發(fā)現(xiàn)，使學(xué)生不僅能夠清楚地辨析面積與周長概念的區(qū)別，還能夠?qū)W會全面思考問題的方法，從而提高自身辨析事物的能力。

2.在“變與不變”中探究規(guī)律。自從新課程改革開始實施之后，很多版本的數(shù)學(xué)教材都對內(nèi)容進(jìn)行了仔細(xì)的探索與鉆研，并總結(jié)出許多規(guī)律，對這些內(nèi)容進(jìn)行了合理的安排與設(shè)計。其實，數(shù)學(xué)教材中有很多規(guī)律、性質(zhì)或公式，都是可以融入“變與不變”思想的，通過這種思想的滲透，可以引導(dǎo)學(xué)生主動地進(jìn)行探究與發(fā)現(xiàn)問題。

例如，在“商不變的性質(zhì)”一課中，教師讓學(xué)生思考一個問題：“為什么被除數(shù)和除數(shù)變了，商卻沒有變。這里面究竟蘊藏了什么規(guī)律？”在總結(jié)了性質(zhì)之后，教師可以適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生使用“什么變了，什么沒有變，每一次變化的量是按照什么規(guī)律變化的”的方式。接著，再通過類比進(jìn)行一系列的歸納與總結(jié)?？傊?，教師要讓學(xué)生學(xué)會在接下來的學(xué)習(xí)中自覺地運用“變與不變”的思維方法去進(jìn)行觀察和總結(jié)。

同樣，在教學(xué)“空間與圖形”時，教師可以經(jīng)常使用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換的方法，但在轉(zhuǎn)換的過程中，教師應(yīng)該促使學(xué)生及時地發(fā)現(xiàn)“變化與不變化”之間的關(guān)系，最后主動地總結(jié)出規(guī)律來。

例如，在教學(xué)“平行四邊形的面積計算”時，教師可以先要求學(xué)生通過拼接和切割的方式將平行四邊形轉(zhuǎn)換成長方形，然后詢問學(xué)生“什么改變了”和“什么沒有改變”，接著再讓學(xué)生進(jìn)行探索。很顯然，經(jīng)過仔細(xì)觀察和認(rèn)真比較，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)平行四邊形的“底”等于轉(zhuǎn)化后長方形的“長”，平行四邊形的“高”等于轉(zhuǎn)化后長方形的“寬”，以及平行四邊形的面積等于轉(zhuǎn)換后的長方形的面積。而在先前，學(xué)生已經(jīng)非常熟練地掌握了長方形的面積公式，即長方形的面積=長×寬，所以面對這種情況，學(xué)生通過遷移可以很容易發(fā)現(xiàn)：平行四邊形的面積=底×高。

這樣一來，在“變與不變”思維方法的指導(dǎo)下，學(xué)生也會自覺、主動地運用“變與不變”的思維方法去發(fā)現(xiàn)與解決問題。接下來，學(xué)生要學(xué)習(xí)如何推導(dǎo)圓、梯形和三角形的計算公式時，就會很自覺地將“變與不變”的思想滲透到推導(dǎo)過程中去，從而使自身的思維能力得到有效的鍛煉。

3.在“變與不變”中解決問題。世界上的事物是不斷變化和演變的，變化包含著變和不變的因素，而我們要做的是從這些復(fù)雜的變化中發(fā)現(xiàn)變與不變之間的相互聯(lián)系，因為這通常是解決問題的突破口。例如，我們在解決“盈虧問題”等學(xué)生會感到比較困難的問題時，如果學(xué)生懂得在其中歸納萬千變化中不變的規(guī)則，那么這些問題就能迎刃而解了，解決的難度系數(shù)也會下降很多。

例如，有這么一道題：學(xué)校圖書館有420本歷史書籍和文學(xué)書籍，其中歷史書籍占20%左右，后來又買進(jìn)一些歷史書。在這個時候，歷史書占全部書的比重是30%，問又買了多少歷史書籍？”其實，這道題中，歷史書的數(shù)量和總數(shù)是變化的，而文學(xué)書的數(shù)量是不變的。因此，在解決問題時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生抓住不變的量——文學(xué)書的數(shù)量，最后得出這樣的結(jié)論：文學(xué)書的數(shù)量是420×（1-20%）=336（本）。而變化后的總本數(shù)是336÷（1-30%）=480（本），此時，增加歷史書為480－420=60（本）。

就這樣，在復(fù)雜的變化中，用常數(shù)量即不變的量作為突破口，能夠開闊學(xué)生的思維，使問題變得更加簡單、易解決。

綜上所述，“變與不變”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和日常生活中分析和解決問題的一種為人所熟知的思維方式。教師應(yīng)該了解整體的教學(xué)材料和基本方法，運用更加豐富多彩的教學(xué)設(shè)計與教學(xué)方法，全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和主動學(xué)習(xí)的能力。