江蘇省蘇州市敬文實(shí)驗(yàn)小學(xué)校 吳永華

數(shù)學(xué)是工具性、人文性、社會文化性的綜合。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是學(xué)生借助數(shù)學(xué)語言，吸納人類智慧進(jìn)行文化實(shí)踐的過程。這個過程有態(tài)度和感受，獲取知識和煉制知識，有意義地應(yīng)用知識以及養(yǎng)成良好思維習(xí)慣等多個維度。推理是獲取知識和煉制知識維度中最重要的部分，也是學(xué)習(xí)者一個復(fù)雜的心智過程。

基于模型的推理能力培養(yǎng)是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)改革的熱門話題。模型是表征系統(tǒng)的典型表達(dá)形式；模式是心智操作的程序性表達(dá)形式。推理模型存在著復(fù)雜的連續(xù)體，有機(jī)動性和不變性，縮放性和再生性相統(tǒng)一的特征。應(yīng)用好推理模型原理的數(shù)學(xué)教學(xué)課堂實(shí)踐探索，是深化數(shù)學(xué)課程改革的有效路徑。小學(xué)數(shù)學(xué)推理模型有三大類六種基本模型：三大類指物理縮圖類、表征系統(tǒng)類和句法模型類；六種基本模型是比較、分類、抽象、建模、歸納和演繹。推理能力的培養(yǎng)致力于學(xué)習(xí)個體的經(jīng)驗(yàn)煉制和已有知識的拓展，在態(tài)度和感受因素的參與下，創(chuàng)造新的知識結(jié)構(gòu)，形成良好的思維習(xí)慣和思維品質(zhì)。

一、比較和分類——從直觀到煉制

比較指個體能確定并說明各種事物的相似點(diǎn)和不同點(diǎn)。分類指個體能根據(jù)屬性把事物分組成為可定義的種類。一般不同的屬性標(biāo)準(zhǔn)就有不同的分類模型，多數(shù)用于陳述性知識的意義建構(gòu)過程。分類和比較有時是相互交集，同時發(fā)生的推理過程，用于知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的組建。

小學(xué)生的分類和比較是從直觀開始的，先從生活場景中實(shí)物開始介入。例如衣服、工具、垃圾分類等等。講清分類的意義，感受分類的類別可定義性，再進(jìn)入圖形和符號的分類。例如幾何圖形的分類，數(shù)學(xué)符號工具的分類等等。但是圖形和符號的分類，往往會缺乏可定義的煉制，使比較和分類不能進(jìn)入到概念分類的思維高級推理階段。例如“字母表示數(shù)”，傳統(tǒng)的教學(xué)只從為教方程作鋪墊，并不關(guān)注分類，所以會出現(xiàn)學(xué)生“一鍋熟”的現(xiàn)象，缺乏對字母表示數(shù)的深度意義理解。字母的數(shù)學(xué)應(yīng)用是有分類的：一是表示任意數(shù)，并給字母有定義域；二是表示函數(shù)間的關(guān)系；三是表示特殊意義的特殊性；四是敘述中用縮寫表示特殊意義。數(shù)學(xué)是一種文化語言，數(shù)學(xué)符號是這種語言的特殊意義記錄，符號感的形成除了意義建構(gòu)，還要加強(qiáng)分類和比較的推理能力培育，從直觀到煉制，養(yǎng)成說明事物相似點(diǎn)和不同點(diǎn)的習(xí)慣，學(xué)會自覺分類的可定義性本領(lǐng)。

分類和比較的交集會產(chǎn)生類比和遷移的功能，形成知識結(jié)構(gòu)。目前小學(xué)的解決問題教學(xué)是分散的，傳統(tǒng)算術(shù)思維是分類的，從“九章算術(shù)”開始，中國古代的算術(shù)是以個案范式來傳統(tǒng)地解答知識的?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)思維解決問題并不分類，其實(shí)工程問題和行程問題的基本模型是相似的，如果工程總量、效率、時間跟距離、速度、時間對應(yīng)起來比較，就發(fā)現(xiàn)兩種模型都屬于一次函數(shù)的類別。從直觀到煉制，既是一種認(rèn)知結(jié)構(gòu)拓展，也是一種認(rèn)識事物的精煉。我們在數(shù)學(xué)比較和分類教學(xué)中，不能只關(guān)注直觀性的學(xué)習(xí)結(jié)果，要特別重視比較和分類的知識煉制過程，把直覺感知變成探索未知的推理過程，提高小學(xué)生思考問題的層級性。

二、抽象與建?！P(guān)于數(shù)學(xué)文化的浸潤

數(shù)學(xué)是一門抽象的科學(xué)，建模是數(shù)學(xué)的核心理念。抽象指確定信息的基本主題，舍去非本質(zhì)的東西，建立一般范式的推理過程。例如人們在生活實(shí)踐中，積累起了人走路、馬車行、火車跑的信息，發(fā)覺人、馬、車都是事物非本質(zhì)的東西，時間、速度、路程是最本質(zhì)的特征，于是建立起“路程=速度×?xí)r間”的表征范式，并推廣到飛機(jī)、自行車、動物等所有物體的運(yùn)動過程。人們對事物本質(zhì)的煉制也是有一個深化過程的，速度就有方向性、加速和減速，時間是相對的，路程是位移，從體驗(yàn)感知到抽象推理，形成數(shù)學(xué)文化的歷史性長河，集中體現(xiàn)了人類的偉大智慧。抽象和建模是兩種相關(guān)聯(lián)的推理過程，抽象致力于推理的過程，建模關(guān)注推理的結(jié)果，這種復(fù)雜推理是一般和特殊的心智操作的互動，也是圖像系統(tǒng)、符號表征系統(tǒng)和句法模型系統(tǒng)的可視化建構(gòu)。

在教學(xué)實(shí)踐活動中，教師往往責(zé)怪學(xué)生思維死，不會“舉一反三”。事實(shí)上這不是學(xué)生的過錯，而是教師長期缺乏抽象與建模的數(shù)學(xué)文化浸潤所造成的后果。有一段時期小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革有一種去模式化的時尚，似乎模式會束縛學(xué)生的思維創(chuàng)新，教師不支持和幫助學(xué)生去抽象和建模，這就是題海戰(zhàn)最可悲的地方。大運(yùn)動量訓(xùn)練一要注意不要過度訓(xùn)練，超越學(xué)生的可接受極限；二要建立屬于學(xué)生自己的認(rèn)知模型，通常說的“舉一反三”就是建模，“反三”就是模型的應(yīng)用和實(shí)證，這個推理復(fù)雜過程有一個調(diào)節(jié)機(jī)制，就是學(xué)生的批判性思維能力，讓每個學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中建構(gòu)屬于自己的心智操作范式。

小學(xué)數(shù)學(xué)是一個境脈剝離的學(xué)科，知識點(diǎn)是以明示結(jié)論性形態(tài)傳授給學(xué)生的，在解題訓(xùn)練中形成技能。數(shù)學(xué)課堂改革的生活教學(xué)主要是溝通學(xué)校數(shù)學(xué)跟生活境脈的聯(lián)系，這是可取的嘗試。但是數(shù)學(xué)畢竟是一門抽象的科學(xué)，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的去數(shù)學(xué)化是不可取的，培養(yǎng)學(xué)生抽象和建模能力，最好的路徑是數(shù)學(xué)文化的浸潤。所謂數(shù)學(xué)文化的浸潤就是注入一些數(shù)學(xué)發(fā)展史的故事和知識，讓學(xué)生從小能像數(shù)學(xué)家一樣認(rèn)識世界，像物理學(xué)家一樣思考問題，樹立科學(xué)意識，抱著科學(xué)家的態(tài)度，探索未來世界。

自然數(shù)的計(jì)數(shù)法從幼兒園就開始，但是學(xué)生到小學(xué)高年級并不清楚知道計(jì)數(shù)法有許多種，不會比較阿拉伯計(jì)數(shù)法和中國計(jì)數(shù)法、羅馬計(jì)數(shù)法有什么區(qū)別。中國計(jì)數(shù)法來自于籌碼，沒有數(shù)位的位值概念，在實(shí)物標(biāo)記層面操作。阿拉伯計(jì)數(shù)法有抽象的位值概念，所以成為全人類的計(jì)數(shù)法主流模型。阿拉伯計(jì)數(shù)法發(fā)源于印度，由阿拉伯商人傳到歐洲，以后根據(jù)位值概念便產(chǎn)生二進(jìn)位、八進(jìn)位等其他進(jìn)位的方法。二進(jìn)位制是現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的基礎(chǔ)語言，在“字母表示數(shù)”的一章節(jié)，要浸潤數(shù)的文化，讓學(xué)生深度理解多位數(shù)展開式的意義10m-1+b×10m-2+c×10m-3+……+k×100。

三、歸納與演繹——學(xué)一點(diǎn)邏輯學(xué)

歸納推理指從信息或觀察中推斷出未知的概念或原理。演繹推理指運(yùn)用概念和原理推測具體信息或情境的結(jié)論。兩種推理過程是相向的，且都帶有猜想、論證、檢驗(yàn)、調(diào)整的過程。歸納與演繹的推理過程是否正確指這個過程是否符合邏輯學(xué)的一般原理。小學(xué)數(shù)學(xué)雖然不出現(xiàn)邏輯的概念，但是要把數(shù)學(xué)思想方法適當(dāng)?shù)卣f出來，讓學(xué)生的思維軌跡在準(zhǔn)確的邏輯起點(diǎn)上發(fā)展。例如在學(xué)習(xí)小數(shù)意義時，一般教師是用元、角、分直接指向方式來引入的，2.56元就是2元5角6分，1角是1/10元，故寫成0.5元，1分就是1/100元，故寫成0.06元，把2元5角6分以元作單位合起來就是2.56元。那么2.567千克是什么意思呢？2千克567克。這樣的認(rèn)知就缺乏一種邏輯關(guān)系，學(xué)生只能死記硬背了。所以灌輸教學(xué)最大的弊病就是把思維的結(jié)果呈現(xiàn)給學(xué)生，缺乏一種歸納與演繹的思維推理過程，讓學(xué)生從“理解”異化成“機(jī)械性記憶”。小數(shù)意義的直接指向方式來源于數(shù)學(xué)的生活化和情境化，但教師教學(xué)的方式要注意數(shù)學(xué)內(nèi)在的邏輯關(guān)聯(lián)。

學(xué)生在小學(xué)階段的歸納推理與演繹推理主要用句法模型呈現(xiàn)，也就是多解題的討論和證明題的說理。小學(xué)數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中動手做題目的訓(xùn)練多，說明自己的思路和解題過程的少，到中學(xué)在幾何證明題教學(xué)，代數(shù)不定方程討論的學(xué)習(xí)中就出現(xiàn)了問題：一是不能準(zhǔn)確使用“因?yàn)椤浴本湫?，“因?yàn)椤焙竺媸窍嚓P(guān)條件，“所以”后面是得出的結(jié)果，要么條件不相關(guān)，要么結(jié)論不正確，主要是歸納與演繹的能力較弱；二是不會使用“?”推導(dǎo)符號，對符號感的理解度較低；三是缺乏對變量的定義域或值域的認(rèn)識。小學(xué)（尤其是高年級學(xué)生）要讓學(xué)生學(xué)會討論，學(xué)會發(fā)表自己的觀點(diǎn)，使隱性推理過程顯性化。加強(qiáng)認(rèn)知過程的邏輯關(guān)聯(lián)，使推理更加有深度。

接以上小數(shù)直接指向引入方式的案例討論，可不可以換一種學(xué)習(xí)思路呢？2.56元是多少元、多少角、多少分呢？從結(jié)論倒置提問，因?yàn)樯罱?jīng)驗(yàn)告訴我們，學(xué)生對于2元5角6分的認(rèn)知是沒有障礙的，那么你能說一說理由嗎？1角是1元的1/10，小數(shù)點(diǎn)后第一位表示個位的1/10，所以0.5元就是5角。依此類推0.06元就是6分。能否給小數(shù)點(diǎn)后面第一位一個名稱呢？因?yàn)槭莻€位的1/10位值，所以取十分位比較好，那么第二位當(dāng)然是百分位了，第三位可以是千分位，表示個位的1/1000……任意n位就是個位的1/10n，永遠(yuǎn)可以無窮小。如果每個學(xué)生在直接指向后有深度思維展開，那么對于2.567千克問題的解答，還會有什么難度呢？

小學(xué)數(shù)學(xué)是每一個現(xiàn)代全人培養(yǎng)的基礎(chǔ)學(xué)科，許多小學(xué)問題都包含著深刻的大道理。每個學(xué)科都有每個學(xué)科的核心素養(yǎng)，小學(xué)數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)除了基礎(chǔ)知識和基本技能之外，還包含思維方式、情感態(tài)度和學(xué)習(xí)方法。傳統(tǒng)的“雙基”并沒錯，只是不夠完整。“四基”的框架是在“雙基”的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。知識、技能、情感三維度構(gòu)成一個立方體，方法和過程的實(shí)踐活動是這個立方體的充填物。當(dāng)前課堂教學(xué)改革的焦點(diǎn)應(yīng)該集中在數(shù)學(xué)思想方法的浸潤上，關(guān)注隱性思維過程的顯性化研究，提升學(xué)生的有效性學(xué)習(xí)水平，凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)功能。