田寶國(guó),吳尚燁

(海軍航空大學(xué)， 山東 煙臺(tái) 264001)

當(dāng)前多智能體控制研究在物流倉(cāng)儲(chǔ)[1]、災(zāi)害應(yīng)急[2]、蜂群作戰(zhàn)[3]等方面擁有廣泛應(yīng)用前景。在群體避障方面，Reynolds[4]進(jìn)行了基礎(chǔ)的群體特性研究，Olfati[5]在已有的群體運(yùn)動(dòng)控制框架上，設(shè)計(jì)了基于人工勢(shì)能函數(shù)的群體避障方法。在此基礎(chǔ)上相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)群體避障方法進(jìn)行了不同程度的優(yōu)化，如文獻(xiàn)[6]從控制群體密度的角度設(shè)計(jì)了群體避障方法，能在避障時(shí)增大個(gè)體間的距離避免個(gè)體間或者個(gè)體與群體間的碰撞。文獻(xiàn)[7]通過(guò)賦予智能體記憶功能，使遇到障礙的智能體能通知其他智能體提早改變前進(jìn)方向有效規(guī)避障障物。另外文獻(xiàn)[8]通過(guò)流函數(shù)設(shè)計(jì)智能體避障的軌道，使群體避障時(shí)避免人工勢(shì)場(chǎng)對(duì)智能體造成較多的阻礙。文獻(xiàn)[9]中對(duì)多智能體遇到不規(guī)則障礙的情況進(jìn)行了路徑優(yōu)化研究。另外文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[11]對(duì)多智能體編隊(duì)避障方法進(jìn)行了不同程度的優(yōu)化。類似這樣的大多數(shù)方法不可避免的需要知道障礙物幾何中心以及障礙最大半徑長(zhǎng)度。在實(shí)際情況中，群體常會(huì)遇到類似于人群花較多時(shí)間離開(kāi)擁有多條出口通道的體育場(chǎng)或者較大室內(nèi)的情況。針對(duì)于此類情況，上述避障方法對(duì)于障礙物幾何信息的要求較高，或當(dāng)群體遇到有多條避障路徑可選擇時(shí)，分布式的決策優(yōu)化不完善。本文結(jié)合文獻(xiàn)[12]的研究，將群體視為流體中的組成部分，或是懸浮在流體中的顆粒，通過(guò)估算自身在流體中受到的壓力從而調(diào)整群體中單個(gè)智能體的運(yùn)動(dòng)方向，進(jìn)而優(yōu)化整體避障效率。并類比文獻(xiàn)[13]介紹的分層航行群體控制方法，設(shè)計(jì)多領(lǐng)導(dǎo)者分組領(lǐng)導(dǎo)的群體運(yùn)動(dòng)框架增加群體避障時(shí)整體的靈活性。

1 問(wèn)題描述

(1)

式中：xl(t)、vl(t)∈R2代表第l個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者智能體的位置和速度向量；xi(t)、vi(t)∈R2代表跟隨者智能體的位置和速度向量；ul(t)、ufi(t)∈R2代表其對(duì)應(yīng)的控制量。

根據(jù)olfaite的群體算法框架[5]，在t時(shí)刻每個(gè)智能體的探測(cè)半徑為r，則第i個(gè)智能體探測(cè)到的其他智能體集合為：

Ni(t)={j| ||xi(t)-xj(t)||≤r,j≠i}

(2)

第k個(gè)障礙物Ok在第i個(gè)智能體探測(cè)范圍之內(nèi)時(shí)，產(chǎn)生一個(gè)該智能體對(duì)應(yīng)的β智能體(障礙物智能體)，其位置為障礙物表面距離智能體最近的點(diǎn)，其坐標(biāo)可表述為：

(3)

對(duì)應(yīng)第i個(gè)智能體探測(cè)到的障礙智能體集合為：

(4)

其中，r'為障礙智能體個(gè)數(shù)；r′為智能體探測(cè)障礙智能體的距離。

定義智能體之間的距離范數(shù)為[5]：

(5)

其中參數(shù)ε>0，且||·||為2-范數(shù)。

為簡(jiǎn)化運(yùn)動(dòng)模型，根據(jù)文獻(xiàn)[14]只考慮智能體之間的排斥函數(shù)：

φ(z)=ρh(z/df)[σ1(z-df)-1]

(6)

(7)

由此可定義每對(duì)智能體之間的排斥勢(shì)能為：

(8)

在現(xiàn)實(shí)群體運(yùn)動(dòng)中，從觀察者角度來(lái)看，群體中個(gè)體運(yùn)動(dòng)速度越大的區(qū)域通行效率越高，個(gè)體運(yùn)動(dòng)速度越慢的區(qū)域通行效率越低。考慮到流體運(yùn)動(dòng)也有類似的特點(diǎn)，即在同一高度中流速越大的區(qū)域壓強(qiáng)越低，流速越低的區(qū)域壓強(qiáng)越大，本文根據(jù)流體壓強(qiáng)與流速的關(guān)系，設(shè)計(jì)智能體在遇到障礙物時(shí)需要受到的額外作用力，從而使群體避障運(yùn)動(dòng)具有類似水流遇到障礙物時(shí)分流的效果。根據(jù)在理想流體條件下的伯努利方程，同一高度上的流速壓強(qiáng)公式為[16]：

(9)

其中：p為流體壓強(qiáng)；ρ為流體密度；v為流體在該點(diǎn)的速度；C為常數(shù)。

根據(jù)該公式和理想流體條件，設(shè)計(jì)類似于流體運(yùn)動(dòng)的受力模型，將智能群體中每個(gè)個(gè)體類比為理想流體中根據(jù)壓力差運(yùn)動(dòng)的顆粒，每個(gè)顆粒處的速度代表該顆粒區(qū)域的流體運(yùn)動(dòng)速度，在每個(gè)智能體探測(cè)出其探測(cè)范圍內(nèi)的其他智能體速度后，根據(jù)式(9)可計(jì)算出每個(gè)智能體所在位置的流體壓強(qiáng)，由于智能體并不在真實(shí)的流體環(huán)境中，無(wú)法測(cè)量真實(shí)的受力面積和壓力差，只能計(jì)算其鄰居的壓強(qiáng)進(jìn)而估算自身受到的合力。假設(shè)流體密度均勻且ρ為1 kg/m3，不考慮在智能體探測(cè)范圍內(nèi)距離遠(yuǎn)近對(duì)壓強(qiáng)造成的影響，且對(duì)應(yīng)每個(gè)鄰居智能體的壓強(qiáng)，智能體的受力面積均為1 m3，則第i個(gè)智能體單獨(dú)受到探測(cè)范圍內(nèi)某一個(gè)智能體的壓力大小Fi, j為：

(10)

其中j∈Ni(t)，由此可估算出第i個(gè)智能體受到的壓強(qiáng)差的合力為：

(11)

2 控制輸入設(shè)計(jì)

為適應(yīng)多通道障礙避障，本文采用多領(lǐng)導(dǎo)者分別領(lǐng)導(dǎo)跟隨智能體的方法，結(jié)合一致性算法保持群體聚集和速度一致性，通過(guò)人工勢(shì)場(chǎng)法避免智能體與智能體之間以及智能體與障礙物之間的碰撞，并通過(guò)上述流體模型優(yōu)化避障路徑。由于在該算法中的流體壓強(qiáng)差為非線性作用力，為保證最后集群運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，設(shè)計(jì)控制參數(shù)Ti，使智能體在速度變慢時(shí)根據(jù)估算的壓力差遠(yuǎn)離流速慢的區(qū)域，并在不需要時(shí)取消該作用力，以保持最后群體運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，Ti具體描述為：

(12)

其中vp為常數(shù)，當(dāng)Ti=1時(shí)，智能體開(kāi)始計(jì)算壓力差。當(dāng)Ti=0時(shí)，智能體取消作用在其自身的流體壓力。

跟隨者智能體控制輸入為：

(13)

領(lǐng)導(dǎo)者智能體控制輸入為：

當(dāng)l1=n-M+1時(shí)，此時(shí)為第一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者，其控制輸入為：

(14)

當(dāng)l=n-M+2,n-M+3,…,n時(shí)，從領(lǐng)導(dǎo)者的控制輸入為：

(15)

(16)

3 穩(wěn)定性分析

對(duì)于由運(yùn)動(dòng)方程(1)和控制輸入表達(dá)式(13)、表達(dá)式(14)、表達(dá)式(15)確定的多智能體群集運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)智能體總數(shù)為n、系統(tǒng)初始時(shí)刻能量有限Q(t0)=Q0時(shí)，可對(duì)t0之后的整體群體系統(tǒng)有以下結(jié)論：

1) 當(dāng)流體作用力不起作用時(shí)，跟隨者智能體與其對(duì)應(yīng)的領(lǐng)導(dǎo)智能體距離和速度差值存在最大值。

2) 繞過(guò)障礙后，從領(lǐng)導(dǎo)者與期望位置差值以及與主領(lǐng)導(dǎo)之間的速度差存在最大值，且從領(lǐng)導(dǎo)者與群體期望速度的差值是有界的。

3) 跟隨者速度收斂到其對(duì)應(yīng)的領(lǐng)導(dǎo)者速度，從領(lǐng)導(dǎo)者速度最終收斂到主領(lǐng)導(dǎo)智能體速度，主領(lǐng)導(dǎo)智能體速度收斂到群體期望速度vr。

證明：

在群體避開(kāi)障礙后或沒(méi)有遇到障礙時(shí)，智能體間流體作用力不起作用，此時(shí)，系統(tǒng)總能量方程為：

Q(t)=Qf(t)+Ql(t)+Ql1(t)

(17)

(18)

(vl(t)-vl1(t))Τ(vl(t)-vl1(t))]

(19)

(20)

(21)

對(duì)函數(shù)Q(t)求導(dǎo)，得

(22)

其中

(23)

(24)

ul(t)-ur(t)]

(25)

化簡(jiǎn)得到：

(26)

令

由LaSalle不變集理論[15]知，最大不變集為：

此時(shí)vi(t)=vl(t)，vl(t)=vl1(t)，vl1(t)=vr(t)，即主領(lǐng)導(dǎo)智能體速度收斂到群體期望運(yùn)動(dòng)速度，從領(lǐng)導(dǎo)智能體速度收斂到主領(lǐng)導(dǎo)智能體速度，跟隨智能體速度收斂到其對(duì)應(yīng)領(lǐng)導(dǎo)者速度，所以結(jié)論(3)證畢。

4 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

在實(shí)際中，障礙往往連在一起且具有多條可選擇繞開(kāi)的路徑，同時(shí)障礙物位置及其幾何信息往往難以第一時(shí)間獲得，本節(jié)實(shí)驗(yàn)主要針對(duì)此情況下的避障過(guò)程進(jìn)行仿真。

設(shè)置6個(gè)半徑為3.5 m的圓形障礙物，其圓心位置坐標(biāo)如下：[70,5]，[70,-5]，[70,15]，[70,-15]，[70,-25]，[70,25]。在該障礙分布下，分別就不同群體數(shù)量情況下，對(duì)使用流體模型的多領(lǐng)導(dǎo)群體和單領(lǐng)導(dǎo)群體，以及不使用流體模型的單領(lǐng)導(dǎo)群體進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，并記錄6次通過(guò)障礙區(qū)域的時(shí)間，即群體橫坐標(biāo)平均位置在障礙區(qū)間x∈[47,93]的時(shí)間。具體仿真初始條件如表1所示。

表1 初始條件

其中第3組的群體中從領(lǐng)導(dǎo)者相對(duì)主領(lǐng)導(dǎo)者的相對(duì)距離都為10 m，跟隨主領(lǐng)導(dǎo)者的智能體個(gè)數(shù)為40，其余每個(gè)從領(lǐng)導(dǎo)者智能體各有5個(gè)跟隨智能體。具體仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示。

表2 群體避障時(shí)間仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果 s

以上仿真實(shí)驗(yàn)中，每組群體均能成功通過(guò)障礙區(qū)，但避障時(shí)間各有不同。根據(jù)仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果，圖1為第3組多領(lǐng)導(dǎo)者群體情況下，其中一次仿真實(shí)驗(yàn)得到的相關(guān)結(jié)果。

圖1 第3組初始與最終狀態(tài)仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖1(a)為第3組初始狀態(tài)，圖1(b)為群體通過(guò)障礙區(qū)后最終狀態(tài)，由圖1可知群體從初始雜亂的隨機(jī)位置和隨機(jī)速度最終形成穩(wěn)定集群，仿真結(jié)果與前文理論分析中得到的有關(guān)結(jié)論相符。

圖2為第3組5個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者智能體的運(yùn)動(dòng)軌跡，由圖2可知5個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者智能體在估算的流體壓力差作用下分成了3組通過(guò)不同的路徑。結(jié)合圖3中群體運(yùn)動(dòng)軌跡可發(fā)現(xiàn)，在群體通過(guò)障礙區(qū)域時(shí)，整體分布較為均勻，且從兩旁繞過(guò)了較多的智能體。其避障過(guò)程類似于流體遇到障礙時(shí)，因?yàn)檎系K之間空間有限導(dǎo)致流體被障礙分截成多份，最終使分流的群體較為均勻地通過(guò)障礙間隙。

圖2 第3組領(lǐng)導(dǎo)者運(yùn)動(dòng)軌跡

圖3 第3組運(yùn)動(dòng)軌跡

另外根據(jù)領(lǐng)導(dǎo)者的軌跡和群體的軌跡可發(fā)現(xiàn)，在群體遇到障礙的一側(cè)，如圖中障礙物的左側(cè)，群體軌跡較為紊亂，此現(xiàn)象主要由于位于前部的群體受到障礙物阻礙速度下降，后面的智能體由于排斥力的原因速度隨后下降，速度下降到開(kāi)始估算壓力差時(shí)，所受合力瞬間增大，造成位于后方的智能體遠(yuǎn)離前方處于堵塞狀態(tài)的群體區(qū)域，向運(yùn)動(dòng)速度相對(duì)較高或者沒(méi)有其他速度較慢智能體的方向。

圖4為第3組在Y軸的速度分量變化情況，圖5為第3組群體在X軸的速度分量變化情況，由兩幅圖可知，智能群體最終速度趨向一致，仿真結(jié)果符合上節(jié)理論分析結(jié)果，根據(jù)右圖群體在X軸運(yùn)動(dòng)方向變化情況可知，群體從仿真第800步左右開(kāi)始到2 500步左右，都有智能體速度處在vx=0 m/s左右振蕩，表明仍有部分智能體沒(méi)繞過(guò)障礙，結(jié)合本組智能體平均位置在障礙區(qū)間的平均時(shí)間，可知在大部分群體通過(guò)障礙后，小部分智能體仍然處于較為后方的位置。

根據(jù)第1組、第2組和第3組仿真實(shí)驗(yàn)得到的平均避障時(shí)間可知，使用多領(lǐng)導(dǎo)者和流體模型的第3組群體通過(guò)障礙區(qū)域的平均時(shí)間為12.69 s，其比另外1組和2組用時(shí)短。同時(shí)只有一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者且使用流體模型的第2組群體通過(guò)障礙區(qū)域的平均時(shí)間比不用流體模型的第1組實(shí)驗(yàn)群體避障時(shí)間短。

圖4 第3組在Y軸速度分量曲線

圖5 第3組在X軸速度分量曲線

圖6為僅用人工勢(shì)場(chǎng)避障的第1組運(yùn)動(dòng)軌跡，圖7為單領(lǐng)導(dǎo)者使用流體模型的群體運(yùn)動(dòng)軌跡，對(duì)比可知，第1組群體通過(guò)障礙的路線較為單一，所有智能體僅從三個(gè)障礙間隙中通過(guò)，而第2組由于使用了流體模型，智能體通過(guò)壓力差估算，能使智能體向有更高運(yùn)動(dòng)速度的區(qū)域運(yùn)動(dòng)，從宏觀上表現(xiàn)為群體被障礙分隔成多條支路。

圖6 第1組群體動(dòng)軌跡

圖8為第1組群體在X軸方向速度變化圖，圖9為第2組在X軸方向的速度變化圖，對(duì)比圖5第3組在X軸方向速度運(yùn)動(dòng)變化圖可知，智能體在X軸方向的速度從vx=0 m/s處振蕩，增加到超過(guò)vx=10 m/s再逐漸回落到領(lǐng)導(dǎo)者速度vx=0 m/s的變化過(guò)程，代表群體從剛通過(guò)障礙跟上其跟隨的領(lǐng)導(dǎo)者速度，到由于控制輸入中的一致性項(xiàng)使智能體速度最終收斂到領(lǐng)導(dǎo)者速度。

圖7 第2組群體運(yùn)動(dòng)軌跡

圖8 第1組X軸方向速度曲線

圖9 第2組X軸方向速度曲線

根據(jù)這3組速度變化情況可知，第1組中大部分智能體從仿真實(shí)驗(yàn)的1 600步左右開(kāi)始通過(guò)障礙，而第2組和第3組中從第1 000多步就開(kāi)始有更多智能體通過(guò)障礙，其中第3組在第1 000步以后X軸方向速度變化相對(duì)于第2組的速度變化更為劇烈，且根據(jù)圖7第2組和圖3第3組群體運(yùn)動(dòng)軌跡可知，第3組的群體除主領(lǐng)導(dǎo)者以外，部分跟隨從領(lǐng)導(dǎo)者的智能體從兩側(cè)通過(guò)的數(shù)量更多，從而使群體分流較為均勻，通過(guò)障礙的擁擠程度更低，所以第3組的平均避障時(shí)間相對(duì)第2組的平均避障時(shí)間更短。

5 結(jié)論

本研究把多智能群體運(yùn)動(dòng)類比為理想流體中微粒的運(yùn)動(dòng)，并在智能體遇到障礙導(dǎo)致速度減小時(shí)估算出其在流體中受到的壓力差，在附加壓力差下的群體運(yùn)動(dòng)整體體現(xiàn)類似于流體的特性。理論分析了群體沒(méi)有遇到障礙時(shí)的穩(wěn)定性，并在Matlab環(huán)境下仿真測(cè)試了群體通過(guò)具有多通道障礙區(qū)的情況，仿真結(jié)果表明，在信息有限無(wú)法進(jìn)行路徑規(guī)劃時(shí)，對(duì)于有多條避障路徑的情況下，具有流體模型作用項(xiàng)的避障方法能較為顯著的提高避障效率，且分組領(lǐng)導(dǎo)框架使群體更易分開(kāi)通過(guò)不同的避障路徑。