張 輝,程景順

(安慶師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院,安徽安慶246133)

§1 引 言

三維空間中不可壓縮微極流(Micropolar Fluid)方程組描述如下:

其中u=(u1,u2,u3)表示速度場(chǎng),p是壓強(qiáng),ω=(ω1,ω2,ω3)是微旋度場(chǎng).μ,κ,γ,ν是各種粘性系數(shù).

微極流方程組由Eringen[1]于1966年首次提出,方程組刻畫(huà)了一些具體的物理現(xiàn)象,如:血液的流動(dòng),液晶分子運(yùn)動(dòng)等.由于微極流方程組的結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含了Navier-Stokes方程的結(jié)構(gòu)(χ=0,ω=0),因此相比較不可壓縮Navier-Stokes方程組,微極流方程組的結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜.在三維不可壓Navier-Stokes方程組的研究中一個(gè)重要的問(wèn)題就是弱解的正則性問(wèn)題,或者說(shuō)強(qiáng)解的爆破性問(wèn)題,從某種角度看,這是同一個(gè)問(wèn)題.1962年Serrin[2]提出了一個(gè)關(guān)于速度場(chǎng)的正則性準(zhǔn)則,即弱解u(t,x)滿足

則弱解實(shí)際是唯一的強(qiáng)解.在Serrin工作的基礎(chǔ)上,有許多數(shù)學(xué)家對(duì)其結(jié)果進(jìn)行了改進(jìn)和推廣.特別地,能否在速度場(chǎng)或速度場(chǎng)梯度或旋度的部分分量上加上類(lèi)似的條件成為近年來(lái)的研究熱點(diǎn)[3-6];由于結(jié)構(gòu)上的相似性,將Navier-Stokes方程的正則性準(zhǔn)則推廣到其他的流體力學(xué)方程組也是近期非常活躍的研究方向,從已獲得的結(jié)果大致可以看出,正則性準(zhǔn)則一旦涉及到部分分量的時(shí)候,情況就會(huì)變得復(fù)雜,例如在MHD方程的涉及部分分量的正則性準(zhǔn)則中大多需要加入磁場(chǎng)的部分分量來(lái)平衡速度場(chǎng)缺失的分量,有興趣的讀者可以參考[7-11].關(guān)于微極流方程Lukaszewicz,Galdi等人[12-14]在全空間和有界區(qū)域上考慮了微極流方程組解的存在性與唯一性,近期陳瓊蕾與苗長(zhǎng)興[15]在Besov空間考慮了微極流方程組的適定性問(wèn)題,更多的結(jié)果請(qǐng)參閱相關(guān)文獻(xiàn).本文主要研究微極流方程的弱解的正則性準(zhǔn)則或者強(qiáng)解的爆破準(zhǔn)則;目前已經(jīng)有一些涉及到速度場(chǎng)或壓強(qiáng)項(xiàng)整體的相關(guān)的結(jié)論如[16-18]等,但很少有涉及部分分量的正則性準(zhǔn)則,其主要原因是方程組的非線性項(xiàng)在做高階估計(jì)的時(shí)會(huì)產(chǎn)生一些技術(shù)上困難.在文獻(xiàn)[18]中原保全將Navier-Stokes方程組中的Besov空間型的Beal-Kato-Majda(BKM)爆破準(zhǔn)則推廣到了微極流方程,即如果速度場(chǎng)的旋度即:?=?×u滿足

則強(qiáng)解一定能夠延拓到T=+∞.

本文的研究動(dòng)機(jī)來(lái)源于章志飛,陳瓊蕾關(guān)于涉及旋度部分的分量的Navier-Stokes方程正則性準(zhǔn)則的工作[19].具體來(lái)說(shuō),利用文獻(xiàn)中的方法結(jié)合微極流方程自身的結(jié)構(gòu)優(yōu)勢(shì),可以得到如下的結(jié)論.

定理1.1設(shè)(u0,ω0)∈Hs,s>1且?·u0=0,(u,ω)∈C([0,T);Hs)∩C1((0,T);Hs)是方程組(1)的強(qiáng)解.如果

則(u,ω)能夠延拓到T=+∞.

注定理的結(jié)果是對(duì)(2)的一個(gè)改進(jìn),但要指出這個(gè)結(jié)果對(duì)于MHD方程組來(lái)說(shuō)目前還是一個(gè)公開(kāi)問(wèn)題.相對(duì)于MHD方程組或其他的不可壓流體方程組來(lái)說(shuō),注意到微極流方程組具有較好的方程結(jié)構(gòu),即可以不依賴(lài)于ω-方程的H1估計(jì)而僅僅依賴(lài)基本的能量估計(jì)就可以得到速度場(chǎng)的H1估計(jì);因此這就避開(kāi)了非線性項(xiàng)u·?ω的旋度形式的估計(jì).

簡(jiǎn)要回顧一下Littlewood-Paley分解和齊次Besov空間的定義,更詳細(xì)的介紹可以參考[20-21].

§2 定理的證明

定理的證明分成兩步,第一步是對(duì)(u,ω)做H1估計(jì);第二步是對(duì)(u,ω)做Hs,s>1估計(jì).