蔣望東,章月紅,劉 偉

(紹興文理學(xué)院元培學(xué)院數(shù)學(xué)教研部,浙江紹興312000)

§1 引 言

分數(shù)階微積分作為整數(shù)階微積分的廣義形式,其概念引入最早可追溯到1695年Leibniz和L’Hospital的書信討論.近來,分數(shù)階微積分已廣泛應(yīng)用于許多領(lǐng)域,如電磁波熱條件[1],粘彈性系統(tǒng)[2],系統(tǒng)優(yōu)化控制[3-7],生物學(xué)[8-11],金融[12]和社會科學(xué)[13].2008年,Boroomand在電路系統(tǒng)應(yīng)用中,首次使用分數(shù)階電抗,成功替換了一般整數(shù)階Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的電容器,得到分數(shù)階Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[14],由此掀開了分數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究的熱潮.分數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在穩(wěn)定性,同步性,周期性方面有了許多經(jīng)典結(jié)果如文獻[15-27].劉等研究了分數(shù)階變時滯Cohen-Grossberg型BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局Mittag-Leffler穩(wěn)定性[28].Chen等研究了非自治分數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局漸近ω-周期[29].Wu分析了一類分數(shù)階模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有界性,Mittag-Leffler穩(wěn)定性和全局漸近ω-周期性[30].Wan等研究了分數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的多重Mittag-Leffler穩(wěn)定性和局部漸近的ω-周期[31].在文獻[32],Zhou和Ma討論了具有變時滯的分數(shù)階BAM 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的Mittag-Leffler穩(wěn)定性和全局漸近ω-周期.Chen等在文獻[33]中,討論了變時滯非自治分數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的O(t?α)穩(wěn)定性和全局漸近周期.

從作者所查閱到的資料反映,目前尚未看到對分數(shù)階時滯Cohen-Grossberg型BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)周期解的研究結(jié)果.受文[28-33]啟發(fā),本文將研究分數(shù)階時滯Cohen-Grossberg型BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)S-漸近ω-周期和全局漸近ω-周期解,它將是一個較有新意的研究課題.將根據(jù)分數(shù)階導(dǎo)數(shù)與積分性質(zhì),Mittag-leffler函數(shù)和漸近ω-周期定義,結(jié)合一些微分技巧和不等式的運用,給出判定分數(shù)階時滯Cohen-Grossberg型BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)解的有界性,S-漸近ω-周期和全局漸近ω-周期解的充分條件.

§2 有關(guān)假設(shè)

§3 定義與定理

§4 主要結(jié)論

附注4.1本節(jié)分別給出了系統(tǒng)(1)解的有界性,S-漸近ω-周期和全局漸近ω-周期的充分條件,即定理4.1,定理4.2.與現(xiàn)有相關(guān)文獻結(jié)果比較:文獻[28]只研究了系統(tǒng)(1)解Mittag-Leffler穩(wěn)定性問題,在本文中增加了有界性,S-漸近ω-周期和全局漸近ω-周期的研究,使得系統(tǒng)穩(wěn)定性質(zhì)更為完善.另外,研究系統(tǒng)模型有所不同，如:文獻[29,33]研究的是非自治分數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),[30,31]分別研究分數(shù)階模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和分數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),[32]研究分數(shù)階BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型.對于分數(shù)階時滯Cohen-Grossberg型BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)S-漸近ω-周期和全局漸近ω-周期的研究,從所查閱到的資料反映尚未看到相關(guān)的研究結(jié)果,因此得到的結(jié)果是首次提出,這對于進一步探討系統(tǒng)(1)在理論研究和實際應(yīng)用有一定的推進作用.另一方面,采用對時間區(qū)間的合理劃分,利用積分的區(qū)間可加性和初始條件,估算系統(tǒng)中含有時滯項函數(shù)值,其方法是有所創(chuàng)新的.

圖1 例5.1參數(shù)條件下系統(tǒng)(28)的x1(t)時間響應(yīng)圖

圖2 例5.1參數(shù)條件下系統(tǒng)(28)的x2(t)時間響應(yīng)圖

§5 數(shù)值例子

圖3 例5.1參數(shù)條件下系統(tǒng)(28)的y1(t)時間響應(yīng)圖

圖4 例5.1參數(shù)條件下系統(tǒng)(28)的y2(t)時間響應(yīng)圖

另一方面,給出任意三組初始值:

通過計算機數(shù)值模擬可得到系統(tǒng)x1(t),x2(t),y1(t),y2(t)在t時刻的變化狀態(tài),如圖1-4所示.從圖可知所得到數(shù)值模擬的結(jié)果與定理4.2結(jié)果相一致,從而驗證了理論推導(dǎo)所得結(jié)果的正確性.

§6 結(jié)論

本文主要研究分數(shù)階時滯Cohen-Grossberg型BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的的有界性和周期解穩(wěn)定性問題.利用微分中值定理和Arzela-Ascoli定理等有關(guān)知識,分別給出了系統(tǒng)解的有界性,S-漸近ω-周期和全局漸近ω-周期的充分條件.與現(xiàn)有相關(guān)文獻結(jié)果比較:一是研究的系統(tǒng)與文獻[30-33]是不同的;二是研究的內(nèi)容與文獻[29-33]有所不同,同時考慮了系統(tǒng)解的有界性,S-漸近ω-周期和全局漸近ω-周期,因此給出的定理4.1,定理4.2結(jié)果是新的;三是采用對時間區(qū)間的合理劃分,利用積分的區(qū)間可加性和初始條件,對于系統(tǒng)中含有時滯項函數(shù)值進行估算,其方法是新的.最后通過數(shù)值模擬例子驗證了理論推導(dǎo)的結(jié)果是正確有效的.對于所得到研究結(jié)果,在實際應(yīng)用和理論的探討具有一定的意義.同樣,利用本文的討論思路和方法,可進一步研究其他類型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有界性和周期解穩(wěn)定性問題,如分數(shù)階BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),分數(shù)階Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的S-漸近ω-周期和全局漸近ω-周期等.