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        積分常數(shù)法在中值定理中的證明及應(yīng)用

        2020-12-14 04:31:39潘嶸宋宗余
        關(guān)鍵詞:構(gòu)造函數(shù)原函數(shù)

        潘嶸 宋宗余

        摘 要:通過積分常數(shù)法證明中值定理,啟發(fā)學(xué)生的思維,加深其對(duì)問題的理解和解決問題的能力.

        關(guān)鍵詞:微分中值定理;變上限積分;原函數(shù);構(gòu)造函數(shù)

        [中圖分類號(hào)]O172.1 ? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

        Abstract:The mean value theorem is proved by the integral constant method,Which inspires students' thinking,deepens the understanding of the problem and the ability to solve the problem

        Key words:differential mean value theorem;change upper integral;original function;constructor function

        微分中值定理是大學(xué)數(shù)學(xué)中重要的定理之一,是微分教學(xué)的重要內(nèi)容.教學(xué)難點(diǎn)是,證明過程中要構(gòu)造一個(gè)合適的輔助函數(shù),因此,輔助函數(shù)的構(gòu)造就成為中值定理教學(xué)的關(guān)鍵.在大多數(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)中,拉格朗日(Lagrange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理的證明都是直接給出輔助函數(shù),利用輔助函數(shù)滿足羅爾(Rolle)中值定理得出結(jié)論,沒能將前后知識(shí)合理銜接.筆者給出一種新的輔助函數(shù)構(gòu)造技巧方法-積分常數(shù)法,這里對(duì)拉格朗日和柯西中值定理進(jìn)行證明.

        積分常數(shù)法證明柯西中值定理要注意的是,柯西中值定理表達(dá)式包含兩個(gè)不同的函數(shù).在實(shí)際處理問題時(shí),要注意變形.

        微分中值定理很好地刻畫了導(dǎo)數(shù)的局部性和函數(shù)的整體性關(guān)系,是聯(lián)系導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間關(guān)系的橋梁紐帶.中值定理的證明關(guān)鍵是構(gòu)造合適的輔助函數(shù),輔助函數(shù)法是解決數(shù)學(xué)問題重要的思想方法,是非常有效的數(shù)學(xué)工具.進(jìn)行構(gòu)造的目的是:如果不能按正常的邏輯關(guān)系推理得到問題的結(jié)論時(shí),就要從新的角度觀點(diǎn)出發(fā),另辟蹊徑,依據(jù)已知的信息創(chuàng)造性的解決問題.

        2 結(jié)束語

        本文從羅爾中值定理的應(yīng)用出發(fā),明確羅爾定理證明問題構(gòu)造輔助函數(shù)的解題思路,順理成章地構(gòu)造出合理的輔助函數(shù),從而證明出相應(yīng)的結(jié)論,變形要盯住目標(biāo).由于解決問題的途徑常常不是唯一的,在平時(shí)的學(xué)習(xí)中,應(yīng)考慮如何才能更快有效的解決問題,注意可能途徑之間的選擇,體現(xiàn)出對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用,有助于邏輯思維的訓(xùn)練,形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò).公式的形式要懂得推廣,在構(gòu)造輔助函數(shù)的過程中,要多留意經(jīng)常用的模型,只要條件允許,f″(x)←→f′(x)←→f(x)←→∫xaf(t)dt,相鄰兩項(xiàng)均可使用中值定理.

        參考文獻(xiàn)

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        編輯:吳楠

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