孔祥慧，方 暉，夏 天，徐羅元，劉淑賢，劉東艷

（1.河北醫(yī)科大學(xué)醫(yī)學(xué)影像學(xué)院，河北石家莊 050013；2.上海培云教育科技有限公司，上海 200433）

0 引言

隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，虛擬仿真實(shí)驗(yàn)越來越受到重視，各高校根據(jù)學(xué)校自身和學(xué)生特點(diǎn)，分學(xué)科、分專業(yè)地將虛擬仿真和大學(xué)傳統(tǒng)課堂有機(jī)結(jié)合，更好地培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力、創(chuàng)新精神和科學(xué)素養(yǎng)，從而提高教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的綜合素質(zhì)。目前，各高校在大學(xué)物理［1］、電子電工［2］、生物化學(xué)［3］、分子生物［4］、病理學(xué)［5］、生理學(xué)［6］、藥學(xué)［7］、基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)［8］等多個(gè)學(xué)科和專業(yè)積極開展虛擬仿真實(shí)驗(yàn)的構(gòu)建，并著手應(yīng)用到教學(xué)和實(shí)驗(yàn)中，取得了良好的教學(xué)效果，學(xué)生也受益頗多。

我國(guó)醫(yī)學(xué)影像技術(shù)專業(yè)是依據(jù)醫(yī)療各學(xué)科的需要而發(fā)展起來的專業(yè)性極強(qiáng)的理工科專業(yè)［9-10］，是醫(yī)學(xué)與理工融合的新醫(yī)科專業(yè)，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的要求也就越來越高。很多醫(yī)學(xué)院校都在高等數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)上開設(shè)了工程數(shù)學(xué)課程，而傅里葉變換是工程數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，也是醫(yī)學(xué)影像技術(shù)專業(yè)后期《醫(yī)學(xué)影像成像原理》《圖像處理》等課程的理論基礎(chǔ)。但目前傅里葉變換理論知識(shí)與醫(yī)學(xué)實(shí)際應(yīng)用的結(jié)合還有所欠缺，為更好地將傅里葉變換與影像專業(yè)技術(shù)相結(jié)合，應(yīng)積極改變教學(xué)方式。嘗試建立傅里葉變換虛擬仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，以適應(yīng)時(shí)代和科技的發(fā)展，培養(yǎng)新型醫(yī)學(xué)影像人才。

1 醫(yī)學(xué)影像技術(shù)專業(yè)工程數(shù)學(xué)傅里葉變換教學(xué)現(xiàn)狀

1.1 理論知識(shí)抽象，難以理解

傅里葉變換相關(guān)知識(shí)比較抽象，學(xué)生難以理解，造成一定的教學(xué)困難。傅立葉級(jí)數(shù)是傅立葉變換的基礎(chǔ)，傅立葉變換是由傅立葉級(jí)數(shù)推演而來，傅立葉變換的公式的表達(dá)形式多樣，包括積分形式和三角形式，涉及相關(guān)知識(shí)范圍廣、抽象，對(duì)于初學(xué)者來說，理解起來較為困難。

1.2 教學(xué)方式單一，缺乏實(shí)踐

數(shù)學(xué)課程本身較其他學(xué)科顯得枯燥，工程數(shù)學(xué)更是如此，雖然目前很多數(shù)學(xué)教師在積極探索新的教學(xué)方式和方法，但是有時(shí)可能因?yàn)樘厥馇闆r（如班級(jí)容量較大等）而未能完全實(shí)施［11］。再加之國(guó)內(nèi)高校很少開設(shè)工程數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程，單純理論教學(xué)方式太過傳統(tǒng)和單一，學(xué)生沒有動(dòng)手操作的實(shí)踐機(jī)會(huì)，很難達(dá)到良好的教學(xué)效果，對(duì)于大多深?yuàn)W的知識(shí)只是淺嘗輒止，并不能深究。

1.3 教學(xué)模式不合理，與應(yīng)用銜接困難

醫(yī)學(xué)影像相關(guān)專業(yè)開設(shè)的工程數(shù)學(xué)課程，傅里葉變換教學(xué)內(nèi)容并沒有充分的和醫(yī)學(xué)相關(guān)知識(shí)相結(jié)合，體現(xiàn)學(xué)科的特殊性。學(xué)生完成教學(xué)課程后，依舊對(duì)其圖像處理和分析應(yīng)用沒有更深的理解。此教學(xué)模式造成知識(shí)斷層，理工科和其相關(guān)醫(yī)學(xué)應(yīng)用的銜接困難。

1.4 學(xué)生僅了解應(yīng)用，忽略原理探索

目前，醫(yī)學(xué)影像技術(shù)專業(yè)走到了一個(gè)瓶頸期。學(xué)生觀念還是停留在對(duì)于醫(yī)學(xué)影像設(shè)備的臨床應(yīng)用，而缺乏成像原理與圖像處理的探究。例如在圖像處理方向上，如何將圖像優(yōu)化、去除噪聲、提高清晰度等，僅限制在應(yīng)用上。由此可見，薄弱的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)限制了本專業(yè)的學(xué)科發(fā)展和人才技術(shù)水平的提高。

1.5 學(xué)生深造及創(chuàng)新空間受限

醫(yī)學(xué)影像技術(shù)專業(yè)畢業(yè)的學(xué)生獲得的是理工學(xué)士學(xué)位，學(xué)生畢業(yè)深造可以沿生物醫(yī)學(xué)工程或圖像處理方向發(fā)展，但由于數(shù)學(xué)功底較差，會(huì)造成基礎(chǔ)不扎實(shí)，難以選擇更多的深造方向，創(chuàng)新空間也會(huì)受到極大的限制。

2 傅里葉變換虛擬平臺(tái)建設(shè)的必要性

2.1 多學(xué)科交叉，覆蓋面廣

醫(yī)學(xué)影像技術(shù)專業(yè)是一個(gè)醫(yī)理工結(jié)合的交叉學(xué)科，其涉及多專業(yè)的相關(guān)知識(shí)。虛擬仿真實(shí)驗(yàn)教學(xué)統(tǒng)一布局、多學(xué)科交叉、分層次、有重點(diǎn)，可以滿足對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)理論的認(rèn)知、專業(yè)技術(shù)的掌握和實(shí)際設(shè)計(jì)與綜合應(yīng)用能力培養(yǎng)的要求［12］。通過此虛擬平臺(tái)，加快學(xué)生形成“醫(yī)工融合”的觀念，對(duì)自己的專業(yè)有更深的理解，將理工科知識(shí)應(yīng)用到醫(yī)學(xué)中去。

2.2 具有創(chuàng)新性，可針對(duì)醫(yī)學(xué)生開展實(shí)驗(yàn)課程

傅里葉變換知識(shí)抽象、晦澀，因此實(shí)驗(yàn)是該門課程不可缺少的一環(huán)，通過實(shí)驗(yàn)可使抽象的概念形象化，枯燥的內(nèi)容趣味化，能夠收到良好的教學(xué)效果，有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高其創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐動(dòng)手能力［13］。此平臺(tái)的建立，主要針對(duì)醫(yī)學(xué)院校開展相關(guān)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，循序漸進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生將理論應(yīng)用于醫(yī)用相關(guān)實(shí)踐中。此外，該虛擬平臺(tái)與示波器進(jìn)行相關(guān)波形實(shí)驗(yàn)相比，可不受無干信號(hào)的干擾，可觀察到更理想的波形變化。

2.3 培養(yǎng)新型高端影像技術(shù)人才

醫(yī)學(xué)影像技術(shù)是進(jìn)行醫(yī)學(xué)檢查的一項(xiàng)常用技術(shù)，該項(xiàng)技術(shù)的應(yīng)用面非常廣泛。伴隨著醫(yī)學(xué)影像技術(shù)的廣泛應(yīng)用，人才市場(chǎng)對(duì)醫(yī)學(xué)影像技術(shù)人才的需求也隨之增加。不少高校依據(jù)人才市場(chǎng)對(duì)該項(xiàng)技術(shù)人才的廣泛需求，有針對(duì)性地設(shè)計(jì)了相關(guān)人才培訓(xùn)計(jì)劃，并在高校設(shè)置以培養(yǎng)醫(yī)學(xué)影像技術(shù)人才為目標(biāo)的醫(yī)學(xué)影像技術(shù)學(xué)的專業(yè)課堂，對(duì)教材內(nèi)容、課堂設(shè)計(jì)等方面也適時(shí)進(jìn)行了技術(shù)創(chuàng)新和改革［14］。積極開展相關(guān)教學(xué)改革，該虛擬平臺(tái)的構(gòu)建，可初步培養(yǎng)學(xué)生建立起數(shù)學(xué)與影像技術(shù)關(guān)系的思維，而不是將兩者剝離。學(xué)生可以在該平臺(tái)發(fā)揮他們的創(chuàng)造力，推動(dòng)學(xué)生內(nèi)部學(xué)術(shù)交流，激發(fā)更多地靈感，實(shí)現(xiàn)共同進(jìn)步。

3 傅里葉變換虛擬仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)

傅里葉變換虛擬仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)分為4 個(gè)模塊，如圖1 所示，分別為基礎(chǔ)知識(shí)、典型案例、心電圖和二維傅里葉變換等子模塊。4 個(gè)模塊由淺入深地將抽象的傅里葉變換理論知識(shí)具體化、形象化，并充分與其應(yīng)用聯(lián)系起來。

圖1 傅里葉變換虛擬仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)構(gòu)成

3.1 基礎(chǔ)知識(shí)模塊

作為工程數(shù)學(xué)重要的一部分，傅里葉變換發(fā)揮著重要的作用。傅里葉指出，任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的無窮級(jí)數(shù)來表示：

的級(jí)數(shù)稱為傅里葉級(jí)數(shù)。

式中：a0、an、bn為傅里葉系數(shù)。而傅立葉變換是能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和／或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合，可對(duì)不同的波進(jìn)行分解。

但此公式較為抽象，學(xué)生無法了解各個(gè)參數(shù)的意義，也就難以理解傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)域和頻域轉(zhuǎn)化的真正意義。該模塊著重實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)的初步認(rèn)識(shí)，理解各種波時(shí)域和頻域的轉(zhuǎn)換，通過時(shí)域的波形和頻譜圖進(jìn)行對(duì)比深入理解傅里葉變換。在該模塊中，通過調(diào)整不同正弦波信號(hào)，每個(gè)輸入項(xiàng)含頻率、幅值、初相位3 個(gè)輸入?yún)?shù)，將各個(gè)正弦波疊加，可得到不同波形的信號(hào)波形及頻譜圖。學(xué)生通過此模塊可更加深刻地理解傅里葉級(jí)數(shù)的原理及改變各個(gè)參數(shù)對(duì)波形圖的影響。

例如通過調(diào)整合適的頻率、幅值、初相位輸入?yún)?shù)可以得到矩形波圖像，如圖2 所示。

圖2 矩形波及其頻譜圖

3.2 工作原理

通過第一模塊的學(xué)習(xí)，學(xué)生已能初步理解傅里葉變換。但對(duì)于影像專業(yè)的學(xué)生，需要將理論應(yīng)用于實(shí)際。虛擬平臺(tái)第2 模塊介紹傅里葉變換簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用，構(gòu)建了兩個(gè)典型案例模塊，分別為音頻采集模塊和磁共振射頻模塊。

3.2.1 音頻采集

為更加形象地展現(xiàn)傅里葉變換在實(shí)際中的廣泛應(yīng)用，該模塊對(duì)聲音進(jìn)行傅里葉變換，讓無形的聲波可視化。根據(jù)所學(xué)知識(shí)，聲波也是一種波，可通過正弦波的疊加得到，即也可表示為傅里葉級(jí)數(shù)。在該模塊，學(xué)生自己錄制聲音，軟件生成音頻時(shí)域信號(hào)。點(diǎn)擊“FFT Audio”后，軟件可將時(shí)域信號(hào)通過傅里葉變換生成頻域信號(hào)。由頻譜圖可以看出人聲是由低頻信號(hào)組成，點(diǎn)擊“filter”中的低通濾波對(duì)頻率波形進(jìn)行處理，顯示波形和原波形可進(jìn)行對(duì)比，如圖3 所示。

通過此模塊幫助學(xué)生理解生活中常見時(shí)域信號(hào)與頻域信號(hào)的關(guān)系，以及濾波器的功能作用。

圖3 音頻濾波前后對(duì)比圖（藍(lán)色為濾波前信號(hào)，橙色為濾波后信號(hào)）

3.2.2 核磁共振

該模塊是傅里葉變換的醫(yī)學(xué)應(yīng)用，為更貼近醫(yī)學(xué)影像技術(shù)專業(yè)學(xué)生的使用和理解，能更好促進(jìn)“醫(yī)工結(jié)合”。在醫(yī)學(xué)成像理論中，學(xué)生們已經(jīng)了解了核磁共振成像原理。利用核磁共振成像，把人體放到梯度場(chǎng)強(qiáng)中，施加一個(gè)與人體氫質(zhì)子旋進(jìn)頻率相同的射頻脈沖進(jìn)行激發(fā)，使人體內(nèi)的氫質(zhì)子產(chǎn)生核磁共振現(xiàn)象，核磁共振會(huì)釋放出微弱電磁波，通過線圈接收這個(gè)信號(hào)，再經(jīng)過傅里葉變換和k空間的填充（k空間為一個(gè)抽象的頻率空間，一個(gè)以空間頻率為單位的空間坐標(biāo)系所對(duì)應(yīng)的頻率空間），最終可得到核磁共振的圖像。磁共振成像中，對(duì)于不同層厚的選擇，需要進(jìn)行選擇性激勵(lì)，即用一個(gè)有限頻帶（窄帶）的射頻脈沖僅對(duì)共振頻率在該頻帶范圍的質(zhì)子進(jìn)行共振激發(fā)。在該模塊中代表有限頻帶的射頻脈沖有方波與sinc 波信號(hào)，分別對(duì)應(yīng)磁共振信號(hào)中的硬脈沖（hardpulse）與軟脈沖（softpulse）信號(hào)，探究這兩個(gè)信號(hào)的特點(diǎn)及頻域與時(shí)域的變化關(guān)系。以方波脈沖為例，其函數(shù)及其傅里葉變換，F(xiàn)（ω）＝，頻帶脈寬，可知脈寬和頻帶成反比。該模塊中T 為方波信號(hào)的周期，t為時(shí)域信號(hào)持續(xù)時(shí)間（可選擇500，800，1 000，2 000 μs 4 個(gè)檔位），N 為Sinc 波瓣個(gè)數(shù)。例如將周T 從1 000 μs改為100 μs，如圖4 所示。通過T ＝100 μs寬度頻域信號(hào)（橙色）與T ＝1 000 μs 寬度（藍(lán)色）頻域信號(hào)進(jìn)行對(duì)比可知，當(dāng)方波信號(hào)寬度增加時(shí)，相應(yīng)的頻率帶寬會(huì)變窄，幅值變高。

同樣對(duì)于sinc波的周期T 進(jìn)行變化時(shí)，學(xué)生們也可以得出當(dāng)周期T 變化時(shí)，頻率和幅值的變化，并得出相應(yīng)的結(jié)論。由此將兩種波形傅立葉變換后的波形進(jìn)行比較，學(xué)生可自我總結(jié)出何種波形更適合與磁共振成像中的選擇性激勵(lì)。

3.3 心電圖應(yīng)用

心電圖是由一系列波組所構(gòu)成的，因此心電圖也可以通過傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行分析。在該模塊，可繪制心電圖的頻譜圖，發(fā)現(xiàn)在頻率為0 的地方有一個(gè)很強(qiáng)的直流信號(hào)，該信號(hào)的存在極大地壓縮了其他頻率的幅度，通過基線矯正（baseline correction）可以將此直流信號(hào)濾掉。此外，該模塊有低通、帶阻、帶通濾波器可供選擇，學(xué)生可自行選擇各種類型的濾波器，比較各種濾波下頻率圖的差別。例如選擇帶阻濾波器時(shí)可以觀察到50～100 Hz頻率被壓制，將此頻域信號(hào)轉(zhuǎn)化為時(shí)域信號(hào)并局部放大后可見曲線變得更加光滑，如圖5所示。

圖4 不同寬度的方波信號(hào)頻域?qū)Ρ葓D

圖5 帶阻濾波器濾波前后對(duì)比圖

3.4 二維傅里葉變換模塊

在醫(yī)學(xué)實(shí)際工作中，醫(yī)學(xué)影像圖像是二維的灰度圖像。根據(jù)診斷和治療的需要，有時(shí)需對(duì)影像進(jìn)行處理。醫(yī)學(xué)影像圖像通常在計(jì)算機(jī)內(nèi)部以二維離散數(shù)據(jù)矩陣的形式進(jìn)行處理，因此有必要進(jìn)一步研究二維離散傅里葉變換及其逆變換。

二維的灰度圖像數(shù)據(jù)常表示為

為方便處理，一般選擇方形數(shù)據(jù)，M ＝N。離散傅里葉變換定義和推導(dǎo)如下：

上述公式常用于將圖像的灰度分布函數(shù)變換為圖像的頻率分布函數(shù)，逆變換則是將圖像的頻率分布函數(shù)變換為灰度分布函數(shù)。

在該模塊中，學(xué)生可選擇灰度圖像樣品，進(jìn)行二維傅里葉變換。如選擇圖像處理經(jīng)典圖片Lena圖，進(jìn)行二維傅里葉變換后可得到頻譜圖和相位譜圖，由于譜圖中頻譜的動(dòng)態(tài)范圍很大，圖像顯示很不明顯，可進(jìn)行一次對(duì)數(shù)變換，得到傅里葉變換后實(shí)部、虛部、頻譜以及相位譜圖像，如圖6 所示。

由于頻譜圖移頻到原點(diǎn)后，圖像的頻率是以原點(diǎn)為中心對(duì)稱分布的，所以可以清晰看出圖像的頻率分布，如圖7 所示。此外，移頻后可以分離有周期性的干擾信號(hào)。若移頻后的頻譜圖除原點(diǎn)以外還存在以某一點(diǎn)為中心、對(duì)稱分布的亮點(diǎn)，則這些亮點(diǎn)是由干擾信號(hào)產(chǎn)生的。

通過此模塊可以對(duì)二維傅里葉變換有更深刻的理解和認(rèn)識(shí)，對(duì)后期的圖像處理課程以及醫(yī)學(xué)影像圖像的處理都有很大的幫助。

圖6 Lena圖的譜圖

圖7 移頻后的譜圖

4 實(shí)證分析

4.1 對(duì)象和指標(biāo)

為檢驗(yàn)此虛擬平臺(tái)的教學(xué)效果，對(duì)130 名醫(yī)學(xué)影像技術(shù)專業(yè)學(xué)生開設(shè)工程數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課課程。在完成相關(guān)理論課程后，學(xué)生在老師的指導(dǎo)下上機(jī)進(jìn)行操作。通過一學(xué)期的課程教學(xué)，將學(xué)生自我評(píng)價(jià)進(jìn)行反饋和統(tǒng)計(jì)。

4.2 統(tǒng)計(jì)分析

由圖8 所示統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以看出，學(xué)生在自我評(píng)價(jià)中都有較好的反應(yīng)。其中在理論聯(lián)系實(shí)際能力、創(chuàng)新意識(shí)、對(duì)知識(shí)的理解和自主學(xué)習(xí)方面有較明顯的提高。尤其在理論結(jié)合實(shí)際方面，學(xué)生有較大的提高，為后期CT、MRI成像原理課程的學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ)。

圖8 學(xué)生自我評(píng)價(jià)

5 工程數(shù)學(xué)其他模塊構(gòu)建虛擬仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的可行性及展望

工程數(shù)學(xué)所涉及的知識(shí)非常廣泛，主要包括《線性代數(shù)》《概率統(tǒng)計(jì)》《計(jì)算方法》《積分變換》《復(fù)變函數(shù)》這幾門課程。如果也能將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和這些課程的教學(xué)結(jié)合到一起，可能會(huì)收到很好的效果［15］。不僅傅里葉變換對(duì)于醫(yī)學(xué)影像技術(shù)專業(yè)學(xué)生有重要意義，卷積和線性代數(shù)等相關(guān)知識(shí)，也都與醫(yī)學(xué)圖像后處理有著密不可分的聯(lián)系。為實(shí)現(xiàn)理論和實(shí)驗(yàn)相結(jié)合，將工程數(shù)學(xué)更充分地應(yīng)用于醫(yī)學(xué)領(lǐng)域中，需要建立更多的工程數(shù)學(xué)的虛擬仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)和教學(xué)中。

6 結(jié)語

目前大部分醫(yī)學(xué)高校忽視了醫(yī)學(xué)影像技術(shù)專業(yè)是理學(xué)科而并非是醫(yī)學(xué)科，過分注重臨床影像技術(shù)技能操作的培養(yǎng)，使得學(xué)生在物理原理和臨床醫(yī)學(xué)教育方面的知識(shí)都不系統(tǒng)，醫(yī)工結(jié)合教育出現(xiàn)漏洞［16］。傅立葉變換相關(guān)知識(shí)是聯(lián)系數(shù)學(xué)理論與成像理論的一個(gè)重要橋梁。基于虛擬仿真理念，融合“醫(yī)工結(jié)合”發(fā)展趨勢(shì)，創(chuàng)建一個(gè)面向醫(yī)學(xué)影像技術(shù)專業(yè)學(xué)生的傅里葉變換虛擬仿真教學(xué)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。該平臺(tái)將傅里葉變換可視化，用一個(gè)個(gè)鮮明的曲線或圖形展示出相關(guān)參數(shù)對(duì)波形的影響，旨在使學(xué)生對(duì)每一堂課的內(nèi)容有感性認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與主動(dòng)性，較好地培養(yǎng)他們的自主創(chuàng)新意識(shí)。該平臺(tái)執(zhí)行效率高、操作簡(jiǎn)單易行，仿真過程的可視化程度進(jìn)一步提高，有利于數(shù)據(jù)的調(diào)試和優(yōu)化。通過完善和改進(jìn)，該平臺(tái)還可以進(jìn)一步優(yōu)化和發(fā)展其他數(shù)學(xué)模塊，提供更加豐富的實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容。