江西南昌蓮塘第二中學(xué)(330200) 唐水華

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法是歷年來(lái)數(shù)學(xué)高考的重點(diǎn)和高頻考點(diǎn),也是數(shù)學(xué)高考的主要壓軸題.雖然多數(shù)學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法并非不懂,但歷年來(lái)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用壓軸題的高考結(jié)果總是不盡人意.其中有一些試題涉及函數(shù)的凹凸性.雖然在當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教材中,并沒(méi)有對(duì)函數(shù)的凹凸性進(jìn)行像函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性那樣的單列章節(jié)的教學(xué)內(nèi)容,但教材中有關(guān)例題、練習(xí)題卻有涉及,尤其是近年來(lái)模擬考、高考中也有涉及,因此有必要就其中涉及具有凹凸性質(zhì)的函數(shù)不等式的證明求解問(wèn)題來(lái)嘗試用切線放縮法進(jìn)行一下探究.

圖1

圖2

圖3

切線放縮法是利用凹凸函數(shù)的圖像總是位于其切線的上方或下方的性質(zhì)(性質(zhì)1: 一元連續(xù)可微函數(shù)在區(qū)間上是凸或凹的,當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)位于所有它的切線的上方或下方;性質(zhì)2:f(x)在[a,b]上是凸函數(shù),且f(x)存在一、二階導(dǎo)數(shù)等價(jià)于f′′(x)≤0,f(x)在[a,b]上是凹函數(shù),且f(x)存在一、二階導(dǎo)數(shù)等價(jià)于f′′(x)≥0,——引自華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析》第197 ～202 頁(yè)),凹凸函數(shù)及其切線圖像可以用圖1、圖2 和圖3 大致地表示.利用切線放縮法進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s,可以化繁為簡(jiǎn)、化難為易,達(dá)到事半功倍的效果.有利于學(xué)生在高考中遇上此種題型得以迅速準(zhǔn)確地給出解答.

引例已知函數(shù)f(x)=2ex+(2a ?1)x2.若曲線f(x)在x=1 處的切線方程為y=2(e ?1)x+1,(1)求a的值;(2)求證: 當(dāng)x ＞0 時(shí),f(x)≥2(e ?1)lnx+(2e ?1).

學(xué)生常規(guī)思路(1)a=0,過(guò)程從略.(2)因?yàn)閤∈(0,+∞),所以要證:f(x)≥2(e ?1)lnx+(2e ?1),即證: 2ex ?x2≥ 2(e ?1)lnx+ (2e ?1).因此不妨把不等式右側(cè)的各項(xiàng)移至左側(cè)構(gòu)造新函數(shù),設(shè)為h(x)=2ex ?x2?2(e ?1)lnx ?(2e ?1),所以求階導(dǎo)數(shù)h′(x)=2ex ?2x ?再次求其二階導(dǎo)數(shù)h′′(x)=2ex ?2+然后學(xué)生就似乎不知所措了.

事實(shí)上,繼續(xù)下去也是可以達(dá)成求解證明目標(biāo)的,再求其三階導(dǎo)數(shù)可得h′′′(x)=2ex ?顯然h′′′(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),注意到h′′′(1)=4?2e ＜0,h′′′(2)=2e2?＞0,所以存在x0∈(1,2),使得h′′′(x0)=0,即: 2ex0?=0(此處虛設(shè)零點(diǎn)),當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),h′′′(x)＜0,h′′(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),h′′′(x)＞0,h′′(x)單調(diào)遞增,又因?yàn)閤0∈(1,2),所以h′′(x)≥h′′(x0)=2ex0?2+＞2e1?2+=2e ?2 +＞0,所以h′(x)在(0,+∞)上遞增,又注意到h′(1)=0,所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h′(x)＜0,所以h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h′(x)＞0,所以h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以h(x)≥h(1)=0,即f(x)≥2(e ?1)lnx+(2e ?1).得證.

學(xué)生在求解證明此類試題時(shí),往往是首先求出的導(dǎo)函數(shù)不正確,再就是在正確求解出導(dǎo)數(shù)后,對(duì)導(dǎo)數(shù)仍然是函數(shù)的情形認(rèn)識(shí)不清、理解不透,尤其是在多次求導(dǎo)后的層層反向推導(dǎo)的單調(diào)性弄不清、理不順,導(dǎo)致思維混亂糊涂,特別是零點(diǎn)處于不可求的情形下,則更會(huì)讓學(xué)生的思維處于混亂狀態(tài)而導(dǎo)致推導(dǎo)求解無(wú)法進(jìn)行下去.

因此對(duì)一些涉及切線、具有凹凸性質(zhì)的函數(shù)不等式求解證明問(wèn)題另辟蹊徑,選擇用切線放縮法也許有利于學(xué)生的理解,從而更容易進(jìn)行推理,書寫得更順手一些.因此值得嘗試和探究一下.下面就此題的求解證明用切線放縮法探究如下:

分析對(duì)于(1): 由函數(shù)f(x)=2ex+(2a?1)x2在x=1處的切線方程為y=2(e ?1)x+1,得f′(1)=2(e ?1),可以求解得出a值.對(duì)于(2): 考慮到該題第一個(gè)問(wèn)題涉及到切線,又因?yàn)閒(x)=2ex ?x2,f′(x)=2ex ?2x,f′′(x)=2ex ?2＞0,所以f(x)在(0,+∞)上是凹函數(shù),同理: 函數(shù)g(x)=2(e ?1)lnx+(2e ?1),g′(x)=g′′(x)=＜0,所以f(x)在(0,+∞)上是凸函數(shù),因此,也許切線完全位于f(x)曲線的下方且完全位于g(x)曲線的上方,嘗試用切線放縮的方法未必不是一種妙方.或許容易推理,寫起來(lái)順風(fēng)順?biāo)?求法的大致圖解如圖4.

圖4

解析(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2ex+ (2a ?1)x2在x=1 處的切線方程為y=2(e ?1)x+ 1,又因?yàn)閒′(x)=2ex+2(2a?1)x,所以f′(1)=2e+4a?2=2e?2,所以a=0.所以f(x)=2ex ?x2.

(2)由分析可知: 要證f(x)≥2(e ?1)lnx+(2e ?1),即證:f(x)≥y=2(e ?1)x+1≥2(e ?1)lnx+(2e ?1),首先來(lái)證明:f(x)≥2(e ?1)x+1,因?yàn)閒(x)=2ex ?x2,f′(x)=2ex?2x,f′′(x)=2ex?2＞0,所以f(x)在(0,+∞)上是凹函數(shù),函數(shù)f(x)的圖像恒在切線y=2(e ?1)x+1的上方,即: 當(dāng)x ＞0 時(shí),

再來(lái)證明: 函數(shù)g(x)=2(e ?1)lnx+(2e ?1)的圖像恒在切線y=2(e ?1)x+1 的下方.

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=2(e ?1)lnx+ (2e ?1),g′(x)=所以g(x)在(0,+∞)上是凸函數(shù),又因?yàn)閥=g(x)也過(guò)y=f(x)的切點(diǎn)(1,2e ?1),且顯然y=g(x)在切點(diǎn)(1,2e ?1)處的切線也為y=2(e ?1)x+1,所以:

由①②可得:f(x)≥2(e ?1)lnx+(2e ?1).

評(píng)注從上述引例的第二問(wèn)求證方法二來(lái)看,無(wú)疑切線放縮的方法是值得進(jìn)行探究的,這顯然有利于對(duì)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的思想方法及導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)意義及其應(yīng)用的能力和水平的提高,因此,切線放縮的方法作為解決有關(guān)涉及具有凹凸性質(zhì)的函數(shù)不等式證明求解問(wèn)題當(dāng)然可以作為一種選擇的方法.特別是第一小題涉及曲線的切線方程,就要注意是否可以運(yùn)用切線放縮法來(lái)解決問(wèn)題.

例題1(2015年高考天津卷第20 題)已知函數(shù)f(x)=nx ?xn,x∈?,其中n∈??,且n≥2.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)設(shè)曲線y=f(x)與x軸正半軸交點(diǎn)為P,曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y=g(x),求證: 對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x,都有f(x)≤g(x);

(3)若關(guān)于x的方程f(x)=a(a為實(shí)數(shù))有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x1,x2,求證:|x2?x1|＜+2.

分析(1)由f(x)定義域(?∞,+∞)及對(duì)f(x)求導(dǎo)就可討論其單調(diào)性.

圖5

(2)由題意可先求出曲線y=f(x)與x軸正半軸的交點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0,0)=進(jìn)而求解出過(guò)P點(diǎn)的切線方程g(x)=f′(x0)(x ?x0),再用作差法構(gòu)造新函數(shù)F(x)=f(x)?g(x),從而證明F(x)的最大值小于零即可.

(3)由f(x)=nx ?xn,f′(x)=n ?nxn?1=n(1?xn?1),f′′(x)=?n(n ?1)xn?2＜0 可知f(x)在(0,+∞)上是凸函數(shù),所以過(guò)點(diǎn)(0,0)的切線h(x)=nx和過(guò)(x0,0)的切線g(x)=(n ?n2)(x ?x0)均位于f(x)圖像上方,y=a與兩切線交點(diǎn)橫坐標(biāo)x′1,x′2之差x′2?x′1,顯然會(huì)大于y=a與y=f(x)的交點(diǎn)撗坐標(biāo)x1,x2之差x2?x1,這應(yīng)當(dāng)是該題求解的有效選擇.求法的大致圖解如圖5.

解析(1)由f(x)=nx?xn,可得f′(x)=n?nxn?1=n(1?xn?1),其中n∈??,且n≥2,下面分兩種情況討論:

①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí): 令f′(x)=0,解得x=1 或x=?1,當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表:

x (?∞,?1)(?1,1)(1,+∞)f′(x)?+?F(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減

所以,f(x)在(?∞,?1),(1,+∞)上單調(diào)遞減,在(?1,1)內(nèi)單調(diào)遞增.

②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí): 當(dāng)f′(x)＞0,即x ＜1 時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)f′(x)＜0,即x ＞1 時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,所以,f(x)在(?∞,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,0),則x0=因 為f′(x0)=n ?n2.所以曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線方程為y=f′(x0)(x ?x0),即g(x)=f′(x0)(x ?x0).令F(x)=f(x)?g(x),即F(x)=f(x)?f′(x0)(x ?x0),則F′(x)=f′(x)?f′(x0).由于f′(x)=?nxn?1+n在(0,+∞)上單調(diào)遞減,故F′(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減.又因?yàn)镕′(x0)=0,所以當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),F′(x)＞0,F(x)在(0,x0)內(nèi)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),F′(x)＜0,F(x)在(x0,+∞)上單調(diào)遞減,所以對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)x,都有F(x)≤F(x0)=0,即對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)x,都有

f(x)≤g(x).

(3)由 于f(x)=nx ?xn,f′(x)=n ?nxn?1=n(1?xn?1),f′′(x)=?n(n ?1)xn?2＜0,所以f(x)在(0,+∞)上是凸函數(shù),所以過(guò)點(diǎn)(0,0)的切線h(x)=nx和過(guò)(x0,0)的切線g(x)=(n ?n2)(x ?x0)均位于f(x)圖像上方,不妨設(shè)x1≤x2,由(2)知g(x)=(n ?n2)(x ?x0).設(shè)方程g(x)=a的根為x′2,可得x′2=+x0.當(dāng)n≥2 時(shí),g(x)在(?∞,+∞)上單調(diào)遞減.又由(2)知g(x2)≥f(x2)=a=g(x′2),可得x2≤x′2.

類似地,設(shè)曲線y=f(x)在原點(diǎn)處的切線方程為y=h(x),可得h(x)=nx.當(dāng)x∈(0,+∞),f(x)?h(x)=?xn ＜0,即對(duì)于任意的x∈(0,+∞),f(x)＜h(x).設(shè)方程h(x)=a的根為x′1,可得x′1=因?yàn)閔(x)=nx在(?∞,+∞)上單調(diào)遞增,且h(x′1)=a=f(x1)＜h(x1),因此x′1＜x1,由此可得x2?x1＜x′2?x′1=+x0.又因?yàn)閚≥2,所以2n?1=(1+1)n?1≥1+=1+n?1=n,故2≥=x0.所以|x2?x1|＜+2.

評(píng)注上述試題的求解要建立在“胸有存竹”、“腦有圖形”,結(jié)合函數(shù)的凹凸特點(diǎn),充分運(yùn)用函數(shù)圖像的切線位于其上方(或下方)的特征,從而使復(fù)雜的函數(shù)不等式求解問(wèn)題迎刃而解,并且清晰明了!

小結(jié)當(dāng)求解證明涉及兩個(gè)以上變量的函數(shù)不等式問(wèn)題的時(shí)候,除了構(gòu)造函數(shù)求解其最值大于零(或小于零)、就涉及的參數(shù)進(jìn)行分類討論、虛設(shè)零點(diǎn)、常見的一些放縮方法等以外,不妨嘗試切線放縮的方法,特別是其求解中涉及切線和函數(shù)圖像在其局部或全部都具有凹凸性質(zhì)時(shí),更值得引起注意!

例題2已知函數(shù)f(x)=alnx+bx在(e,f(e))處的切線方程為y=

(1)求a,b;并求f(x)在(1,1)處切線方程;

(2)設(shè)x1,x2,··· ,x2020∈且x1+x2+···+x2020=2020.若不等式f(x1)+f(x2)+···+f(x2020)≤m恒成立,試求實(shí)數(shù)m的最小值.

分析(1)由f(e)=2+e 和f′(e)=即可求出a=2,b=1 值.(2)考慮到該題第一個(gè)問(wèn)題涉及到切線,又因?yàn)閒(x)=2 lnx+x,f′(x)=+1,f′′(x)=＜0,所以f(x)在(0,+∞)上是凸函數(shù),可知過(guò)點(diǎn)(1,1)的切線y=3x ?2 位于f(x)圖像上方,因此h(x)=3x ?2≥f(x),這應(yīng)當(dāng)是該題求解的有效選擇.求法大致圖解如圖6.

圖6

解析(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=alnx+bx在(e,f(e))處的切線方程為y=所以f(e)=2 + e和f′(e)=即f(e)=a+be=2 + e,又 因?yàn)閒′(x)=+b,所以所以解得:a=2,b=1.所以f(x)=2 lnx+x.所以f′(1)=+1=3,f(1)=1,從而f(x)在(1,1)處切線方程為y=3x ?2 為所求.

(2)因?yàn)閒(x)=2 lnx+x,f′(x)=+ 1,f′′(x)=＜0,所以f(x)在(0,+∞)上是凸函數(shù),可知過(guò)點(diǎn)(1,1)的切線y=3x ?2 位于f(x)圖像上方,因此h(x)=3x ?2≥f(x),即f(x)≤h(x)=3x ?2,所以f(x1)+f(x2)+···+f(x2020)≤3(x1+x2+···+x2020)?2×2020,又 因 為x1+x2···+x2020=2020.所 以f(x1)+f(x2)+···+f(x2020)≤2020,當(dāng) 且 僅 當(dāng) 時(shí)x1=x2=···=x2020=1 時(shí)取等號(hào).所以m≥2020,即實(shí)數(shù)m的最小值為2020.

評(píng)注對(duì)切線放縮法的理解和掌握還是要回歸到函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)意義上去.切線放縮法不僅能求解證明含一元函數(shù)不等式問(wèn)題,還能很好地處理二元或多元不等式的求解.本例本質(zhì)上仍然是求這個(gè)一元函數(shù)在取到等號(hào)條件時(shí)的切線值,從而進(jìn)一步求解這個(gè)貌似多元的不等式在某處該一元函數(shù)取得的最值.

本文探討了切線放縮法的本質(zhì)及其在函數(shù)不等式中的應(yīng)用,以期對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升有所幫助.