湖北恩施州教育科學研究院(445000) 周 威

對預賽試題的探究與遷移,有助于提升學生的思維高度、開闊學生的數(shù)學視野,而非僅僅停留在“解題”的表面,既為開展研究性學習和數(shù)學探究活動提供素材,也為核心素養(yǎng)的落實提供可行的途徑.

一、試題呈現(xiàn)與問題提出

例(2019年新疆預賽試題)設F是橢圓E:+y2=1 的左焦點,過點F斜率為正的直線l與E相交于A,B兩點,過點A,B分別做直線AM和BN滿足AM⊥l,BN⊥l,且直線AM,BN分別與x軸相交于M和N,試求|MN|的最小值.

圖1

解如圖1,設直線l的傾斜角為在RtΔMAF中有|MF|=在RtΔNBF中有|NF|=所以|MN|=|MF|+|FN|=設F1是橢圓的右焦點,連接BF1,記|BF|=x,則|BF1|=?x.由余弦定理得|BF1|2=|BF|2+|FF1|2?2|BF||FF1|cosθ,即有|BF|=x=

同理可得|AF|=所以|AB|=|AF|+|BF|=所以|MN|=令f(θ)=(3?2cos2θ)2·4 cos2θ,則由均值不等式有

當且僅當3?2cos2θ=4 cos2θ取等號,即θ=時f(θ)max=4,此時|MN|min=

題中|AB|其實就是焦點弦,問題背景十分熟悉,解答過程也很自然.過焦點的直線與橢圓相交于兩點,讓人很自然到想到過焦點的弦長公式,從而轉換到|AB|與|MN|的關系上來.值得一提的是在求f(θ)max時,還可以利用函數(shù)導數(shù)進行求解.

問題2|MN|的最值問題是否可以類比遷移到雙曲線和拋物線的情形? |MN|的最小值是否存在?

二、基于焦點弦的等式關系探究

通過上述問題導向,不難發(fā)現(xiàn),問題1 中對于|AB|與|MN|的關系有如下性質:

性質1設F是圓錐曲線E的一個焦點,過點F的直線l傾斜角為直線l與E相交于A,B兩點,過點A,B分別做直線AM和BN滿足AM⊥l,BN⊥l,且直線AM,BN分別與x軸相交于M和N.則當θ∈(0,)時,|MN|=當時,

圖2

證明先考慮橢圓情形,當直線l的傾斜角為時,由圖1,顯然|MN|=當直線l的傾斜角為時,如圖2,在RtΔMAF與RtΔNBF中,始終滿足cos(π ?θ)=所以|MN|=|MF|+|FN|=

當圓錐曲線為雙曲線或拋物線時,分別如圖3、圖4,顯然也滿足.

圖3 (直線l 的斜率分別為正、負的情形)

圖4 (直線l 的斜率分別為正、負的情形)

我們知道,其實圓錐曲線焦點弦|AB|的弦長有如下性質:

性質2直線l過橢圓E:=1(a ＞b ＞0)的一個焦點F(±c,0),且l的傾斜角為θ,與橢圓相交于A,B兩點,則|AB|=

性質3直線l過雙曲線E:=1(a ＞0,b ＞0)的一個焦點F(±c,0),且l的傾斜角為θ,與雙曲線相交于A,B兩點,則|AB|=

性質4直線l過拋物線E:y2=2px(p ＞0)的焦點F,且l的傾斜角為θ,與拋物線相交于A,B兩點則

(3)區(qū)內(nèi)一六、梅子沖典型礦床深部有較好的找礦空間。其中一六鎢礦區(qū)在黑云母花崗巖的凹凸部位、層間滑脫面及多組構造的交匯部位是成礦最為有利的地段；梅子沖銀鉛鋅礦區(qū)的隱爆角礫巖與成礦關系密切，在其與隱伏巖體和沉積巖地層的接觸帶、構造虛脫部位有望尋找到中大型巖漿熱液型多金屬礦床。

性質2-4 限于篇幅,請讀者自己完成證明.

三、最值問題推廣與結論

基于以上四條性質,可以將圓錐曲線情境下的|MN|最值結論作如下推廣:

結論1設F是橢圓E:=1(a ＞b ＞0)的一個焦點,過點F的直線l與E相交于A,B兩點,過點A,B分別做直線AM和BN滿足AM⊥l,BN⊥l,且直線AM,BN分別與x軸相交于M和N.當離心率e ＞時,|MN|才存在最小值且|MN|min=

證明當直線l的斜率為正時,設其傾斜角為θ(0＜θ ＜),結合性質1、性質2 及b2=a2?c2,有|MN|=令t=cosθ∈(0,1),則(a2?c2cos2θ)cosθ=(a2?c2t2)t,令f(t)=(a2?c2t2)t,則f′(t)=a2?3c2t2,當f′(t)=0 時,t=(e為離心率),由函數(shù)單調(diào)性可知,當＜1 時,即e ＞時,f(t)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,f(t)存在最大值f(t)max==當時,即0＜e≤時,f(t)在(0,1)上單調(diào)遞增,無最大值.因此,只有e ＞時f(t)才存在最大值此時|MN|min=

同理可證直線l的斜率為負的情形.

對于問題2,首先看雙曲線的情形.事實上,過雙曲線焦點的直線與雙曲線相交時,會有兩種情況: 一種是A,B兩點同為雙曲線左(右)支上的點,如圖3,此時由性質3及c2=a2+b2知|AB|=一種是A,B兩點分別在雙曲線不同兩支上,如圖5,此時由相性質3 知|AB|=

圖5

因此,可得以下結論:

結論2設F是雙曲線E:=1(a ＞0,b ＞0)的一個焦點,過點F的直線l與E相交于A,B兩點,過點A,B分別做直線AM和BN滿足AM⊥l,BN⊥l,且直線AM,BN分別與x軸相交于M和N.當A,B兩點位于雙曲線同支時,|MN|才存在最小值且|MN|min=

證明當直線l斜率為正,設其傾斜角為θ(0＜不妨設F是雙曲線的左焦點,當A,B兩點位于雙曲線左支時,如圖3,|AB|=此時a ?ccosθ ＞0,即cosθ ＜由性質1,|MN|=所以|MN|=令t=cosθ∈(0,),則(a2?c2cos2θ)cosθ=(a2?c2t2)t,令f(t)=(a2?c2t2)t,則f′(t)=a2?3c2t2,當f′(t)=0 時,t=由函數(shù)單調(diào)性可知,f(t)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,f(t)存在最大值f(t)max=此時|MN|min=

當A,B兩點分別位于雙曲線左、右兩支時,如圖5,|MN|=|FN| ?|MF|=,|MN|=此時ccosθ ?a ＞0,即cosθ ＞令t=cosθ∈則(c2cos2θ ?a2)cosθ=(c2t2?a2)t,令f(t)=(c2t2?a2)t,則f′(t)=3c2t2?a2,當f′(t)=0時,故f(t)在上單調(diào)遞增,無最大值,從而|MN|無最小值.

綜上,只有當A,B兩點位于雙曲線左支時,f(t)才存在最大值,即|MN|min=同理可證直線l斜率為負或F為右焦點情形.

結論3設F是拋物線E:y2=2px(p ＞0)的焦點,過點F的直線l與E相交于A,B兩點,過點A,B分別做直線AM和BN滿足AM⊥l,BN⊥l,且直線AM,BN分別與x軸相交于M和N,那么|MN|min=

證明不妨設直線l斜率為正,則其傾斜角為θ(0＜如圖4,|MN|=|MF|+|FN|=由性質4得,|MN|=令t=cosθ∈(0,1),則sin2θcosθ=t ?t3.令f(t)=t ?t3,則f′(t)=1?3t2,當f′(t)=0 時,t=,f(t)在上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減.f(t)存在最大值f(t)max= 此時

同理可證直線l斜率為負的情形.