陳加倉 唐慧榮

【課前思考】

無理數(shù)是初中學(xué)習(xí)的知識，但是很多小學(xué)生通過課外書或網(wǎng)絡(luò)閱讀已經(jīng)知道“無理數(shù)”的存在，并產(chǎn)生濃厚的興趣。那么小學(xué)課堂能否通過趣味的素材，讓學(xué)生在動手操作中初步感悟無理數(shù)，“感性地”理解無理數(shù)產(chǎn)生的必然性，并在此過程中突破學(xué)生的思維定式，提升數(shù)學(xué)思維？對此，筆者進(jìn)行了嘗試。

【教學(xué)內(nèi)容】人教版五年級上冊“多邊形面積”拓展課

【教學(xué)目標(biāo)】

1.掌握一兩種畫面積是2cm2正方形的方法，并能正確地畫出面積是2cm2的正方形。

2.經(jīng)歷探索畫面積是2cm2正方形的過程，體會解題策略的多樣性，提高解決問題的能力。

3.通過畫面積是2cm2正方形的活動，滲透轉(zhuǎn)化思想，發(fā)展空間觀念，感悟無理數(shù)產(chǎn)生的必然性。

【教學(xué)過程】

一、找準(zhǔn)認(rèn)知，提出問題

師（呈現(xiàn)邊長是1cm的正方形）：它的面積是多少？（1cm2）

師：你會畫這個(gè)正方形嗎？（會）

師：你還會畫面積是多少的正方形？

生：4cm2、9cm2、16 cm2、25 cm2……

生：面積是小數(shù)的正方形也會畫，如0.64cm2的正方形，可以算出正方形的邊長是0.8cm。

師：你能畫一個(gè)面積是2cm2的正方形嗎？（學(xué)生陷入思考）這節(jié)課我們就來研究這個(gè)問題。

（評析：學(xué)生會畫指定邊長的正方形，但畫一個(gè)面積是2cm2的正方形，對學(xué)生來說具有挑戰(zhàn)性，這也有效激發(fā)了學(xué)生的探究興趣。）

二、畫圖研究，解決問題

1.一畫，產(chǎn)生障礙。

師：請?jiān)囍嬕粋€(gè)面積是2cm2的正方形。

生：我先畫一個(gè)面積是1cm2的正方形，再在它的外面畫一個(gè)大一點(diǎn)的正方形，它的面積就是2cm2（如圖1）。

生（反駁）：你能確定它的面積是2cm2嗎？

生：我覺得外面的大正方形的面積大約是2cm2。

生：這樣畫不對，它的面積不一定等于2cm2。

生：我計(jì)算了1.1×1.1=1.21，1.2×1.2=1.44，1.3×1.3=1.69，1.4×1.4=1.96，1.5×1.5=2.25，1.45×1.45=2.1025，找不到哪兩個(gè)數(shù)相乘的積等于2，因此，面積是2cm2的正方形是畫不出來的。

師：你們都去找（? ）×（? ?）=2，結(jié)果找不到相同兩個(gè)數(shù)的乘積等于2，是嗎？（學(xué)生點(diǎn)頭表示同意）

生：我覺得面積是2cm2的正方形可能是不存在的。

2.二畫，調(diào)整思路。

（1）討論交流。

師：“先找正方形的邊長再畫圖”這是一般的思考方法，行不通時(shí)，我們得換個(gè)思路。

生：我覺得可以先畫一個(gè)大一點(diǎn)的正方形，然后從中找出2cm2的正方形。

生：我覺得可以畫面積是4cm2的正方形，然后再找2cm2的正方形。

師（追問）：為什么要畫面積是4cm2的正方形呢？

生：因?yàn)?cm2的正方形正好是它的一半，比較容易找到。

師：那同學(xué)們再試著畫畫看。

（2）畫圖反饋。

生：如圖2-①，先畫一個(gè)邊長是2cm的正方形，平均分成4個(gè)小正方形，每個(gè)小正方形的面積是1cm2，直接取兩個(gè)小正方形就變成了長方形，因此，再次平均分成8個(gè)小三角形，取當(dāng)中的4個(gè)小三角形組成的正方形面積就是2cm2。

生：如圖2-②，先畫一個(gè)邊長是2cm的正方形，直接將各條邊的中點(diǎn)連起來，就得到一個(gè)面積是2cm2的正方形。

生：如圖2-③，先畫一個(gè)邊長是2cm的正方形，然后畫兩條對角線將它分割成四個(gè)相同的等腰直角三角形，再將其中的兩個(gè)等腰直角三角形拼成一個(gè)面積就是2cm2的正方形。

生：如圖2-④，我覺得可以直接畫2個(gè)邊長是2cm的正方形，各畫兩條對角線將它分割成8個(gè)相同的等腰直角三角形，當(dāng)中的2個(gè)拼成一個(gè)面積就是2cm2的正方形。

（3）對比分析。

師：這幾種方法有什么共同的特點(diǎn)？

生：它們都是先畫一個(gè)或者兩個(gè)大一點(diǎn)的正方形，然后再找到面積是2cm2的正方形。

生：它們都是在“大面積”中找到“小面積”，得到面積是2cm2的正方形。

3.三畫，方法多樣化。

（1）討論交流。

師：除此之外，你還能想到什么研究思路？

生：是否可以從“小面積”再到“大面積”呢？

生：是否可以從面積是2cm2的長方形再到這個(gè)正方形呢？

師：很好！接下來就請同學(xué)們大膽地嘗試研究。

（2）畫圖反饋。

生：如圖3-①，先畫一個(gè)邊長是1cm的正方形，再畫兩條對角線將它分成4個(gè)一樣的等腰直角三角形，然后在這個(gè)正方形的外圍再補(bǔ)上4個(gè)一樣的等腰直角三角形，就得到面積是2cm2的正方形。

生：如圖3-②，先畫2個(gè)邊長是1cm的正方形，拼成一個(gè)長方形，然后再將它分成4個(gè)一樣的等腰直角三角形，最后將它們重新拼成一個(gè)面積是2cm2的正方形。

生：如圖3-③，先畫一個(gè)邊長是1cm的正方形，再畫一條對角線，并以這條對角線為邊長畫一個(gè)正方形，它的面積就是2cm2。

生：為什么它的面積是2cm2呢？

生：因?yàn)槊總€(gè)等腰直角三角形的面積是0.5cm2，所以，這個(gè)正方形的面積就是2cm2。（學(xué)生動手將正方形分割成4個(gè)相同的等腰直角三角形，如圖3-④）

（3）對比分析。

師：那么，這三種方法又有什么相同的地方呢？

生：都是從“小面積”到“大面積”。

師：你還能想到什么方法？

生：如圖4，直接畫兩條互相平分垂直的2cm線段，將四個(gè)端點(diǎn)連起來就得到了面積是2cm2的正方形。

生（追問）：為什么？

生（補(bǔ)充）：我們可以將它分成4個(gè)小三角形，計(jì)算面積1×1÷2×4=2cm2;也可以將它分成2個(gè)大三角形，計(jì)算面積2×1÷2×2=2cm2。

師：太棒了！你是怎么想到這種方法的？

生：這種方法是受了剛才第三種方法的啟發(fā)得到的。

（評析：“三畫”的過程是不斷反思、不斷突破思維障礙的過程。一畫發(fā)現(xiàn)固有思路無法解決問題;二畫調(diào)整思路，從“大面積”到“小面積”，感悟“換思路”的必要性;三畫嘗試從“小面積”到“大面積”，再到“畫兩條垂直線”，感悟解題策略的多樣性。）

三、基于練習(xí)，文化滲透

1.拓展練習(xí)。

如圖5，先畫出一個(gè)面積是1cm2的正方形和對角線，再用這條對角線作邊長畫第二個(gè)正方形和它的對角線，依次類推，第11個(gè)正方形的面積、邊長各是多少？你還能知道第幾個(gè)正方形的面積、邊長呢？

學(xué)生匯報(bào)，教師呈現(xiàn)下表：

2.滲透數(shù)學(xué)文化。

表中有幾個(gè)正方形的邊長我們還不知道，因?yàn)檫@些邊長的長度不是我們學(xué)習(xí)的整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)，這些數(shù)初中才會學(xué)到，它們是無理數(shù)。歷史上還有個(gè)相關(guān)的小故事，我們來看看。

公元前500多年，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的弟子希伯索斯（Hippasus）發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的事實(shí)，正方形的對角線與其邊長是不可公度的，它與畢氏學(xué)派的“萬物皆為數(shù)”（整數(shù)及其比）的信條沖突。于是為了極力封鎖該真理的流傳，希伯索斯被迫流亡他鄉(xiāng)。不幸的是，在一條海船上還是遇到畢氏門徒，希伯索斯被投入大海，但這一事件還是導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。

（評析：此教學(xué)將畫面積是2cm2的正方形納入一個(gè)更為宏觀的框架中，讓學(xué)生體會到這樣的正方形可以畫很多個(gè)。教學(xué)最后滲透數(shù)學(xué)文化，以激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣。）

四、全課總結(jié)，課外探究

1.全課總結(jié)：這節(jié)課學(xué)習(xí)了什么？對你最大的啟發(fā)有哪些？

2.課外探究：你能分別畫一個(gè)面積是3cm2、5cm2、6cm2、7cm2、8cm2的正方形嗎？

【總評】

本節(jié)課通過“三畫”的過程，實(shí)現(xiàn)了以下目標(biāo)。

一、調(diào)整研究思路，突破思維定式

在固有認(rèn)知內(nèi)解決問題是一般的方法，這樣可以帶來穩(wěn)定有效的解決方案。但面對難以解決的新問題時(shí)，需要我們打破固有的思維定式。當(dāng)學(xué)生初次面對畫面積是2cm2的正方形時(shí)，按已有的知識經(jīng)驗(yàn)，他們會從邊長入手，努力尋找乘積是2的兩個(gè)相同的數(shù)，從而產(chǎn)生障礙，甚至個(gè)別學(xué)生認(rèn)為這樣的正方形是不存在的。教學(xué)中教師不斷引導(dǎo)學(xué)生調(diào)整思路，先畫面積是4cm2的正方形，再找面積是2cm2的正方形，也就是從“大面積”到“小面積”的研究思路，以及從“小面積”到“大面積”的研究思路，不斷克服思維定式。

二、呈現(xiàn)多元方法，培養(yǎng)發(fā)散思維

課中，學(xué)生通過分割、平移、旋轉(zhuǎn)面積是4cm2的正方形等方法得到面積是2cm2的正方形，滲透了轉(zhuǎn)換思想。教師繼續(xù)啟發(fā)學(xué)生嘗試從“小面積”到“大面積”的研究方案，體現(xiàn)了多元化的解題策略，培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維。有利用面積是1cm2的正方形去畫，有利用面積是2cm2的長方形去畫，最后提煉了畫正方形的“垂線法”。這些經(jīng)驗(yàn)可以幫助學(xué)生今后面對新問題時(shí)，使用發(fā)散思維解決問題。

三、滲透數(shù)學(xué)文化，拓展思維

教學(xué)中教師不僅要幫助學(xué)生理解知識，掌握方法，還要滲透數(shù)學(xué)文化，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅是理性的探究，還是一場愉快的心靈旅行。練習(xí)環(huán)節(jié)通過列表的形式，學(xué)生發(fā)現(xiàn)今天研究的內(nèi)容并不是個(gè)例，還有很多類似的情況。學(xué)生質(zhì)疑這個(gè)邊長到底是什么，此時(shí)教師通過講故事的形式進(jìn)行介紹，讓學(xué)生“感性地”了解無理數(shù)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下良好的心理基礎(chǔ)。

（浙江省溫州大學(xué)城附屬學(xué)校教育集團(tuán)? ?325000

浙江省溫州市實(shí)驗(yàn)小學(xué)? 325200）