◇ 羅倩敏

動能定理是物體運(yùn)動狀態(tài)與過程的橋梁，是力與運(yùn)動的關(guān)聯(lián)樞紐，可以說一切簡單或復(fù)雜的情境問題，幾乎都要用到動能定理.因此，動能定理是中學(xué)物理的“脊梁”，也是高考命題的重點與集結(jié)地.那么，如何復(fù)習(xí)好動能定理呢?筆者認(rèn)為應(yīng)抓住動能定理的“雙令箭”——巧導(dǎo)與妙用.

1 動能定理的巧導(dǎo)

物體所受合外力做的功等于物體動能的變化，稱為動能定理.設(shè)物體的初速度為v，末速度為vt，其質(zhì)量為m，所受合外力為F，合外力做功為W，則動能定理表達(dá)式為，現(xiàn)由特殊到一般巧妙推導(dǎo)如下.

1.1 恒力作用下的直線運(yùn)動——替代法

當(dāng)物體的初速度與恒力方向在同一直線上時，物體必做勻變速直線運(yùn)動.設(shè)物體沿力F方向上的位移為x，物體的加速度為a，則W＝Fx，由牛頓第二定律得F＝ma，由運(yùn)動學(xué)公式，聯(lián)立整理得證.

1.2 恒力作用下的曲線運(yùn)動——分解法

當(dāng)物體的初速度與恒力不在同一直線時，物體必做勻變速曲線運(yùn)動，如圖1所示，將物體的初速度分別沿垂直和平行于F方向分解，設(shè)沿力F方向上的位移為x，物體的加速度為a，有W＝Fx，F(xiàn)＝ma，而，聯(lián)立整理得證.

圖1

1.3 變力作用的曲線運(yùn)動——極限法

圖2

當(dāng)物體在變力作用下做曲線運(yùn)動時，采用極限分割法，軌跡如圖2所示，設(shè)從起點A到終點B有無數(shù)分割點為1，2，3，…，n，各點對應(yīng)的動能分別為Ek1，Ek2，Ek3，…，Ekn，由于無限分割，每兩點間間距很小，可看成勻變速曲線運(yùn)動，設(shè)每兩點間的合外力做功分別為W1，W2，W3，…，Wn＋1，A到B外力做的總功為W，根據(jù)前面的分析有，將以上各式相加有得證.

1.4 任意力作用的一般運(yùn)動——微積分法

當(dāng)物體在任意力作用下做一般運(yùn)動時，可用微積分法，軌跡如圖3所示，設(shè)合外力為F，在力F方向上的微元位移為dx，對應(yīng)做功為dW，則有

圖3

動能定理的研究對象是單個物體，無論物體是受恒力還是變力，無論物體是做直線運(yùn)動還是曲線運(yùn)動，其證明的基本思想都是牛頓第二定律與運(yùn)動學(xué)規(guī)律相結(jié)合，巧妙運(yùn)用分解法、極限法、微積法，達(dá)成化曲為直、化變?yōu)楹?、化?fù)雜為簡單的思維效果.

2 動能定理的妙用

2.1 妙用動能定理推導(dǎo)機(jī)械能守恒與功能關(guān)系

1)當(dāng)物體系只有重力(彈簧彈力)做功時，動能和勢能相互轉(zhuǎn)化，機(jī)械能總量保持不變.或者物體系除重力(彈簧彈力)做功外，其他力都不做功，機(jī)械能總量不變.

對物體和地球組成的系統(tǒng)，設(shè)物體由初位置1到末位置2，其動能、重力勢能、彈性勢能分別為Ek1、EpG1、EpN1和Ek2、EpG2、EpN2，對物體由動能定理得WG＋WN＝Ek2－Ek1，而WG＝EpG1－EpG2，WN＝EpN1－EpN2，聯(lián)立以上各式整理得Ek1＋EpG1＋EpN1＝Ek2＋EpG2＋EpN2，即E2＝E1，機(jī)械能守恒得證.

2)物體系除重力(彈簧彈力)做功外，其他力做功W其他等于物體系機(jī)械能的變化ΔE.

對物體和地球組成的系統(tǒng)，設(shè)物體由初位置1到末位置2，其動能、重力勢能、彈性勢能分別為Ek1、EpG1、EpN1和Ek2、EpG2、EpN2，對物體由動能定理可得WG＋WN＋W其他＝Ek2－Ek1，而WG＝EpG1－EpG2，WN＝EpN1－EpN2，聯(lián)立以上各式得

當(dāng)物體系只有重力或彈簧彈力(統(tǒng)稱為保守力，保守力做功只與物體的始末位置有關(guān)，與路徑無關(guān))做功時，機(jī)械能守恒；若除了重力或彈簧彈力做功外，還有其他力(統(tǒng)稱為非保守力，亦稱耗散力，非保守力特點是其做功與路徑有關(guān)，如摩擦力等)做功W其他，則有W其他＝E2－E1＝ΔE.

2.2 妙用動能定理求解多運(yùn)動過程問題

1)往返問題——單物體在摩擦力作用下的曲線運(yùn)動

例1一個物體從斜面上高h(yuǎn)處由靜止滑下并緊接著在水平面上滑行一段距離后停止，測得停止處相對開始運(yùn)動處的水平距離為s，如圖4所示，不考慮物體滑至斜面底端時機(jī)械能的損失，并設(shè)斜面與水平面對物體的動摩擦因數(shù)相同.求動摩擦因數(shù)μ.若物體在水平面運(yùn)動的動能與其位移的關(guān)系如圖5所示，求物體的質(zhì)量m.

圖4

設(shè)斜面傾角為α，對物體全過程由動能定理得mgh－μmghcotα－μmg(shcotα)＝0，即有.在水平面上由動能定理有－μmgx0＝0－Ek0，聯(lián)立可得

圖5

例2如圖6所示，AB和CD為兩個斜面，其下端分別與一光滑圓弧面相切，PH為整個軌道的對稱軸，圓弧所對圓心角為120°，半徑為R＝2 m，整個裝置處在豎直向下的勻強(qiáng)電場E中.一帶正電(電荷量為q，且有Eq＝mg)物體在離弧底H高h(yuǎn)＝3 m處以v＝4 m·s－1的速度沿斜面運(yùn)動，物體與斜面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.02.求物體在AB與CD兩斜面上運(yùn)動的總路程s.(g取10 m·s－2)

圖6

物體經(jīng)過多次往返后，到D或B點速度為零，由幾何關(guān)系知CD延長線與DB的夾角為60°，全程由動能定理得

由已知有Eq＝mg，聯(lián)立代入解得s＝240 m.

2)板塊問題——雙物體在摩擦力作用下的相對運(yùn)動

例3如圖7所示，長為L，質(zhì)量為m1的木板A置于光滑水平面上，在A板上表面左端有一質(zhì)量為m2的物塊B，B與A之間的動摩擦因數(shù)為μ，A和B一起以相同的速度v0向右運(yùn)動，在A與豎直墻壁碰撞過程中無機(jī)械能損失，要使B一直不從A上掉下來，木板B的長度L應(yīng)滿足什么條件(用m1、m2、v0、μ表示).

圖7

若m1＞m2，碰撞后的總動量方向向左，以向左為正方向，根據(jù)系統(tǒng)動量守恒有m1v0－m2v0＝(m1＋m2)v，當(dāng)相對靜止時B剛好在A板右端，根據(jù)功能關(guān)系得

若m1＝m2，最后系統(tǒng)總動量為零，都靜止在水平面上，且B在A的右端，有m1v0－m2v0＝0，

若m1＜m2，則A與墻壁發(fā)生多次碰撞，每次碰撞后總動量方向都向右，而B相對于A始終向右運(yùn)動，最后A靜止在靠近墻壁處，B靜止在A的右端，同理有，聯(lián)立解得

2.3 妙用動能定理求解變力做功問題

1)機(jī)車恒功率啟動——變力直線運(yùn)動

例4質(zhì)量為500 t的機(jī)車以恒定的功率由靜止出發(fā)，經(jīng)5 min行駛s＝2.25 km，速度達(dá)到最大值54 km·h－1，設(shè)阻力恒定且g取10 m·s－2.求機(jī)車的功率P.

2)圓周運(yùn)動——變力曲線運(yùn)動

例5如圖8所示，質(zhì)量為m的物體被一根穿過光滑小孔的細(xì)繩牽引在光滑的水平面上做勻速圓周運(yùn)動，拉力為某個值F時轉(zhuǎn)動半徑為R，當(dāng)拉力逐漸減小到F/4時，物體仍做勻速圓周運(yùn)動，半徑為2R，則外力對物體所做的功的大小是多少?

圖8

對m，由動能定理有，由牛頓第二定律得，聯(lián)立可得W＝，即外力對物體做負(fù)功，大小是

例6如圖9所示，質(zhì)量m＝1.0 kg的物體以v0＝10 m·s－1的初速度從水平面的某點向右運(yùn)動并沖上半徑R＝1.0 m的豎直光滑半圓環(huán)上，物體與水平面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.5，g取10 m·s－2.

圖9

(1)如果物體從某點出發(fā)后在半圓軌道運(yùn)動途中離開軌道，求出發(fā)點到N點的距離x的取值范圍.

(2)設(shè)出發(fā)點到N點的距離為x，物體從M點飛出后，落到水平面時落點到N點的距離為y，通過計算畫出y2隨x變化的關(guān)系圖象.

(3)若半圓軌道粗糙，物體從距離N點x＝2 m處出發(fā)恰好能從M點離開軌道，求物體在半圓軌道上克服摩擦力做的功W.

(1)當(dāng)物體恰好從M點飛出時，有mg＝.從出發(fā)點到M點由動能定理有

聯(lián)立解得xmin＝5 m.

當(dāng)物體剛好至與圓心等高處速度為0時，有

解得xmax＝8 m，綜上得所求的范圍為5 m≤x＜8 m.

(2)物體從M點飛出落到N點所在平面上，由平拋運(yùn)動規(guī)律有

(3)物體恰好從M點飛出時有，從出發(fā)點到M點，由動能定理有

圖10

聯(lián)立解得W＝15 J.

3)關(guān)聯(lián)體問題——變力作用下的平動和轉(zhuǎn)動

例7一輛車通過一根跨過定滑輪的繩PQ提升井中質(zhì)量為m的物體，如圖11所示.繩的P端拴在車后的掛鉤上，Q端拴在物體上，設(shè)繩的總長不變，繩的質(zhì)量、定滑輪的質(zhì)量和尺寸、滑輪上的摩擦都忽略不計.開始時車在A點，左右兩側(cè)繩都已繃緊并且是豎直的，左側(cè)繩長為H.提升時車加速向左運(yùn)動，沿水平方向從A經(jīng)過B駛向C.設(shè)A到B的距離也為H，車經(jīng)過B點時的速度為vB.求車由A移到B的過程中，繩Q端的拉力對物體做的功.

圖11

例8一光滑輕桿下端用鉸鏈固定，桿的某點緊靠在質(zhì)量為m、高為h的長方體上，長方體置于光滑水平地面上，若桿以角速度ω沿逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，在桿從與水平方向成角α到成角β的過程中，如圖12所示，求桿對長方體做的功W和長方體獲得的平均加速度a.

圖12

桿與水平面成角α?xí)r，桿和物體的觸點位置繞軸轉(zhuǎn)動的切向速度，長方體運(yùn)動的速度為u1，由運(yùn)動的合成可知，聯(lián)立可得.同理當(dāng)桿與水平方向成角β時長方體運(yùn)動的速度，對長方體由動能定理有W＝，聯(lián)立解得由于運(yùn)動的時間，則長方體獲得的加速度為，聯(lián)立解得

4)連續(xù)體問題——多質(zhì)點變力作用下的直線運(yùn)動

例9某噴灌裝置的示意圖如圖13所示，水泵從深H的井中抽水，通過距地面h的龍頭噴出，已知水以相同的速率從龍頭噴出，Δt時間內(nèi)噴出水的質(zhì)量為m，水離開龍頭的水平距離為R.不計空氣阻力，重力加速度為g，求水泵工作時的輸出功率P.若將靠近龍頭處的豎直擋板插下?lián)踝〕鏊?，結(jié)果出來的水豎直下流，那么，水對擋板的壓力是多少?已知水的密度為ρ，出水口的橫截面積為S.

圖13

設(shè)Δt時間內(nèi)噴出質(zhì)量為m的水，設(shè)從龍頭噴出水的速度為v，由動能定理可得PΔt－，由平拋運(yùn)動規(guī)律可知R＝vt，，聯(lián)立得

對長度Δx的微元水，其質(zhì)量為Δm＝ρSΔx，當(dāng)速度由v到0，作用點位移為，由動能定理可得，聯(lián)立整理得由牛頓第三定律得水對擋板的壓力

例10在顯像管的電子槍中，從熾熱的金屬絲中不斷放出的電子進(jìn)入電壓為U的加速電場.設(shè)其初速度為零，經(jīng)加速后形成橫截面積為S、電流為I的電子束.已知電子的電荷量為e、質(zhì)量為m，則在剛射出加速電場時，求一小段長為Δl的電子束內(nèi)的電子個數(shù).

5)宏觀天體與微觀粒子問題——近心運(yùn)動和離心運(yùn)動

例11天宮一號是我國研發(fā)的一個目標(biāo)飛行器，目的是作為其他飛行器的接合點，是中國空間實驗室的雛形，于北京時間2011年9月29日21時16分03秒發(fā)射升空.

(1)若萬有引力常量為G，地球質(zhì)量為MD，地球半徑為RD，發(fā)射天宮一號的速度必須大于第一宇宙速度，試推導(dǎo)第一宇宙速度的表達(dá)式；若RD＝6 370 km，g取9.8 m·s－2，求第一宇宙速度的值；

(2)若質(zhì)量為m的衛(wèi)星在地球赤道附近由西向東發(fā)射出去剛好在近地軌道運(yùn)行，設(shè)地球自轉(zhuǎn)的周期為TD.求發(fā)射該衛(wèi)星所做的功(用字母表達(dá))；

(3)若萬有引力常量為G，中心天體的質(zhì)量為M，質(zhì)量為m的物體距中心天體r時具有的引力勢能為(以無窮遠(yuǎn)處勢能為0).①求第二宇宙速度的值；②若把地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道近似認(rèn)為是圓，且不計其他星體對飛行物體的作用力，地球的公轉(zhuǎn)速度為29.8 km·s－1，求第三宇宙速度.

聯(lián)立解得v3＝16.7 km·s－1.

例12氫原子的核外電子看成繞核做圓周運(yùn)動，已知電子電荷量為e，質(zhì)量為m，靜電力常量為k.當(dāng)一個電子從距核較近的r1軌道吸收一定頻率的光子能量ΔE躍遷到距核較遠(yuǎn)的r2軌道做圓周運(yùn)動時，該過程中電子的電勢能變化了多少?

聯(lián)立解得電子電勢增加

使用動能定理必須經(jīng)歷“三定一看一判”，“三定”即定對象、定初末狀態(tài)(低速)、定參考系(慣性參考系)，“一看”即看運(yùn)動軌跡，“一判”即判斷過程中做功情況.妙用動能定理體現(xiàn)在單物體、多物體、多過程、曲線運(yùn)動和變力作用等問題中.對于板塊多物體問題要隔離分別使用動能定理；對于關(guān)聯(lián)體要靈活選取對象分析，注意物體間速度關(guān)聯(lián)；對于多過程往返運(yùn)動要分清保守力與非保守力，明確其做功特點；對于變力要分析變力功的特點；對于連續(xù)體問題要選擇微元或個體分析，注意質(zhì)心位移；對于離心或近心圓運(yùn)動，要選其中心為參考系.