◇ 劉 洋

“會(huì)而不對，對而不全”是解答不等式問題中常見現(xiàn)象，出現(xiàn)此類情況，除了計(jì)算出錯(cuò)外，主要原因是忽視性質(zhì)定理成立的條件、問題類型混淆、變形不等價(jià)、考慮問題不全面等.下面就不等式問題的求解中經(jīng)常出現(xiàn)的誤區(qū)進(jìn)行分析.

1 忽視性質(zhì)、定理成立的條件

數(shù)學(xué)中的性質(zhì)、定理都存在其適用的條件，解題中如果沒有考慮這些條件，而盲目應(yīng)用，則容易出現(xiàn)錯(cuò)解.

錯(cuò)因分析均值不等式的應(yīng)用中應(yīng)具備“正、定、等”三個(gè)條件.在上述求解方法中，將函數(shù)變形后雖然具備“正、定”兩個(gè)條件，但等號成立的條件并不存在，故最小值取不到4.

此類情況可借助“對號”函數(shù)的性質(zhì)求解.

在應(yīng)用均值不等式求最值時(shí)，若不滿足正或定的條件，可通過提取負(fù)號、添項(xiàng)、拆項(xiàng)等變形方式，構(gòu)造出符合條件的結(jié)構(gòu).

2 混淆問題的類型

某些不等式問題，雖然形式相似，但本質(zhì)不同，求解中如果不注意區(qū)別，則容易出現(xiàn)錯(cuò)解.

例2(1)不等式x2＋(a－4)x＋4－2a≤0在[1，2]內(nèi)恒成立，則a的取值范圍是_________.

(2)不等式x2＋(a－4)x＋4－2a≤0的解集為[1，2]，則a的值為_________.

(3)不等式x2＋(a－4)x＋4－2a≤0在[1，2]內(nèi)有解，則a的取值范圍是________.

錯(cuò)解本例中的三個(gè)問題，形式相近，因此部分學(xué)生將其視為相同的問題，采用相同的處理方法，即

錯(cuò)因分析問題(1)屬于不等式恒成立，問題(2)屬于不等式恰成立，問題(3)屬于不等式能成立，三類問題形似質(zhì)異.上述解法只適用于問題(1).對于問題(2)和(3)可采用如下方法處理.

(2)不等式x2＋(a－4)x＋4－2a≤0的解集為[1，2]，則1和2為方程x2＋(a－4)x＋4－2a＝0的兩個(gè)根，故由根與系數(shù)的關(guān)系得4－a＝3，解得a＝1.

(3)不等式x2＋(a－4)x＋4－2a≤0在[1，2]內(nèi)有解，則有f(1)≤0或f(2)≤0，又f(2)＝0恒成立，所以a的取值范圍是R.

另外，對于不等式恒成立、能成立問題，也可通過求函數(shù)的最值來處理，求解方式包括直接求最值或分離參數(shù)后求最值.

3 遺漏隱含條件

充分利用題目所給的已知條件是順利、準(zhǔn)確解題的關(guān)鍵.題目條件有些是直接的，有些是隱含的，對于隱含條件，則需要我們透徹挖掘.

三角函數(shù)是周期函數(shù)，同一函數(shù)值與多個(gè)自變量的值對應(yīng)，處理此類問題時(shí)要仔細(xì)分析，避免漏解.

4 變形不等價(jià)

“化歸轉(zhuǎn)化”是解答數(shù)學(xué)問題的重要思想，不等式問題也不例外，轉(zhuǎn)化的方向是陌生化熟悉、煩瑣化簡捷、未知化已知等.在轉(zhuǎn)化的過程中如果出現(xiàn)變形不等價(jià)，則容易出現(xiàn)錯(cuò)解.

例4若不等式ex－t(x＋1)≥0恒成立，則t的取值范圍是________.

綜上，t∈(－∞，1].

錯(cuò)因分析本題屬于不等式恒成立問題，上面的解法中采用了分離參數(shù)法，此方法是解答不等式恒成立問題的常用方法.錯(cuò)解的原因是在參數(shù)分離的過程中變形不等價(jià)，即在不等式兩邊同除x＋1時(shí)，沒有考慮其正負(fù).

若x＝－1，不等式ex－t(x＋1)≥0恒成立.若x＞－1，則原不等式等價(jià)于

若x＜－1，則原不等式等價(jià)于因?yàn)?，故t≥0.

綜上，t的取值范圍是[0，1].

當(dāng)然本題也可直接利用導(dǎo)數(shù)求不等式左側(cè)函數(shù)的最值，此處不再贅述.

5 忽視對不同情況的討論

與不等式有關(guān)的問題中常涉及多個(gè)變量，而這些變量的范圍往往并未明確給出，因此問題的求解中要對變量的可能取值進(jìn)行分類討論，討論中要做到分類視角明確、不重不漏.

例5已知p＋q＞0，證明(n為偶數(shù)).

錯(cuò)解將欲證不等式作差變形得

因?yàn)閚為偶數(shù)，所以(pq)n＞0，pn－qn和pn－1－qn－1的符號相同，所以

錯(cuò)因分析因?yàn)闂l件中只給出p＋q＞0，而p，q的正負(fù)情況是不確定的，所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，pn－qn和pn－1－qn－1的符號可能不同，因此要分p＞0，q＞0以及二者中有一個(gè)為負(fù)的情況進(jìn)行討論.

將欲證不等式作差變形得

當(dāng)p＞0，q＞0時(shí)，(pq)n＞0，(pn－qn)(pn－1－qn－1)≥0，所以

當(dāng)p，q中有一個(gè)為負(fù)值時(shí)，不妨設(shè)p＞0，q＜0，因?yàn)閜＋q＞0，所以p＞|q|.又因?yàn)閚為偶數(shù)，所以(pq)n＞0，(pn－qn)(pn－1－qn－1)≥0，所以

總之，在不等式問題的求解中遇到的易錯(cuò)點(diǎn)不只是本文所述情況，同學(xué)們在平時(shí)的解題訓(xùn)練中要注意歸納總結(jié)易錯(cuò)點(diǎn)，找到錯(cuò)誤根源，方可以不變應(yīng)萬變.