張玉元,余劍搏,2,張?jiān)?/p>
(1. 蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院,甘肅 蘭州 730070;2. 四川公路橋梁建設(shè)集團(tuán)有限公司勘察設(shè)計(jì)分公司,四川 成都 610041)
箱形梁的剪力滯效應(yīng)是翼板產(chǎn)生縱向位移時(shí),由于面內(nèi)不均勻剪切變形引起彎曲正應(yīng)力沿橫向呈曲線分布的一種力學(xué)現(xiàn)象[1-3]。在設(shè)計(jì)計(jì)算時(shí),該效應(yīng)引起的應(yīng)力峰值應(yīng)得到足夠重視,否則將無(wú)法保證結(jié)構(gòu)的抗裂性能,甚至引發(fā)安全事故。為此,國(guó)內(nèi)外學(xué)者基于能量變分法[4-12]開(kāi)展了大量研究,這些研究工作主要體現(xiàn)在:改進(jìn)的剪力滯翹曲位移模式分析[5-8]、剪力滯剪切效應(yīng)的聯(lián)合求解方法[9]、考慮剪切變形影響的翹曲位移修正模式研究[10]、基于彈性力學(xué)方法的翹曲位移函數(shù)合理形式探討[11]、考慮翼板變厚度影響的剪力滯效應(yīng)變分解析方法[12]等,但這些研究均未考慮箱形梁梗腋加勁的影響。箱形梁設(shè)計(jì)時(shí)為改善截面的受力特性,在翼板和腹板的連接處均設(shè)有梗腋。已有文獻(xiàn)對(duì)考慮梗腋加勁影響的剪力滯效應(yīng)分析很少。文獻(xiàn)[13]通過(guò)建立MIDAS模型,分析了梗腋對(duì)波形鋼腹板預(yù)應(yīng)力混凝土剛構(gòu)橋剪力滯效應(yīng)的影響。文獻(xiàn)[14-15]運(yùn)用ANSYS有限元法分析了梗腋對(duì)直線和曲線箱形梁靜力特性的影響??梢?jiàn),梗腋對(duì)箱梁剪力滯效應(yīng)的理論分析還較缺乏,需要進(jìn)一步研究和完善。
本文在引入梗腋特性參數(shù)的基礎(chǔ)上,選取剪力滯效應(yīng)引起的撓度變化為廣義位移,運(yùn)用能量變分法建立考慮梗腋影響的剪力滯效應(yīng)控制微分方程,導(dǎo)出集中和均布荷載作用下簡(jiǎn)支箱梁的剪力滯效應(yīng)解析解?;谀骋活A(yù)應(yīng)力混凝土簡(jiǎn)支箱梁算例,進(jìn)一步揭示梗腋及其參數(shù)變化對(duì)箱梁剪力滯效應(yīng)的影響規(guī)律。
如圖1所示,考慮梗腋影響時(shí)箱形梁在任意豎向分布荷載q(z)作用下發(fā)生撓曲變形,其橫截面上任一點(diǎn)的縱向位移u(x,y,z)表達(dá)為
u(x,y,z)=u0(x,y,z)+uω(x,y,z)=
( 1 )
圖1 考慮梗腋的箱形梁截面簡(jiǎn)圖
圖1中,bi(i=1,2,3)為各翼板的寬度,hu和hb為上、下翼板中面到形心軸的距離,h為頂、底板中面之間的距離,tu為上翼板厚度,tb為下翼板厚度,tw為腹板厚度,θ為腹板俯角。
選取余弦函數(shù)[7-8]來(lái)描述翹曲位移模式,將各翼板剪力滯基本翹曲位移函數(shù)ω選取如下
( 2 )
式中:α為懸臂板翹曲位移修正系數(shù),α=(b3/b1)2;β為底板翹曲位移修正系數(shù),β=(b2/b1)2·(hb/hu)。
由式( 1 )可知,第一項(xiàng)變形在材料力學(xué)中已解決,現(xiàn)僅對(duì)第二項(xiàng)變形(即剪力滯翹曲變形狀態(tài))進(jìn)行分析。根據(jù)幾何方程及胡克定律,結(jié)合式( 1 )可得箱梁橫截面任一點(diǎn)的翹曲正應(yīng)力σω(x,y,z)為
( 3 )
箱形梁發(fā)生翹曲變形時(shí),其截面翹曲正應(yīng)力滿足自平衡條件,即翹曲正應(yīng)力在面內(nèi)不合成軸力和彎矩
( 4 )
( 5 )
將式( 3 )分別代入式( 4 )、式( 5 ),經(jīng)積分運(yùn)算可得
( 6 )
( 7 )
式中:A為箱形梁橫截面積;Ai為各翼板的橫截面積;Ix為箱梁橫截面對(duì)x軸的慣性矩;Ii為各翼板對(duì)x軸的慣性矩。
為了描述梗腋對(duì)箱形梁剪力滯效應(yīng)的影響,特引入梗腋特性參數(shù)ξ
( 8 )
假設(shè)腹板服從平截面假定,運(yùn)用能量變分法建立考慮梗腋影響的箱形梁翹曲變形總勢(shì)能,即
( 9 )
式中:
(10)
(11)
其中:
對(duì)總勢(shì)能泛函進(jìn)行一階變分運(yùn)算,并令δΠ=0,化簡(jiǎn)可得考慮梗腋影響的剪力滯撓度變化控制微分方程
(12)
式中:k為考慮梗腋影響的Reissner參數(shù),即
(13)
由微分方程式(12)可得考慮梗腋影響的箱形梁剪力滯撓度變化通解
f=C1+C2z+C3sinh(kz)+C4cosh(kz)+f*
(14)
式中:f*為僅與q(z)荷載分布有關(guān)的特解;其余待定系數(shù)由具體邊界條件確定。
確定上述4個(gè)常數(shù)的邊界條件為
(1)固定端:f=0,f′=0。
(2)簡(jiǎn)支端:f=0,f″=0。
(3)自由端:f″=0,f?-k2f′=0。
圖2為跨中受集中荷載P作用的簡(jiǎn)支箱梁,對(duì)該結(jié)構(gòu)求解剪力滯效應(yīng)時(shí),根據(jù)對(duì)稱性,可取左半部分進(jìn)行分析。
圖2 簡(jiǎn)支箱梁跨中作用集中荷載簡(jiǎn)圖
由考慮梗腋影響的箱形梁剪力滯撓度變化表達(dá)式(14)可知,與分布荷載q(z)相關(guān)的特解f*=0。為確定式(14)中的待定系數(shù),可利用以下4個(gè)邊界條件求解,即
(15)
聯(lián)立上述4個(gè)條件確定C1~C4后,代入可得集中荷載作用下考慮梗腋影響的簡(jiǎn)支箱梁左半跨撓度變化計(jì)算公式
(16)
易知,截面上任一點(diǎn)的縱向應(yīng)力由初等梁正應(yīng)力σ0和翹曲正應(yīng)力σω構(gòu)成,則集中荷載作用下簡(jiǎn)支箱梁左半跨的縱向應(yīng)力表達(dá)為
(17)
根據(jù)撓度和應(yīng)力表達(dá)式,可導(dǎo)出箱梁的撓度剪力滯系數(shù)λf和應(yīng)力剪力滯系數(shù)λσ表達(dá)式
(18)
(19)
圖3為受均布荷載作用的簡(jiǎn)支箱梁,由式(14)可知,其撓度變化的特解f*為
(20)
圖3 簡(jiǎn)支箱梁作用均布荷載簡(jiǎn)圖
為確定式(14)中的待定系數(shù),可利用以下4個(gè)邊界條件求解,即
(21)
聯(lián)立上述4個(gè)條件確定C1~C4后,即可求得均布荷載作用下考慮梗腋影響的簡(jiǎn)支箱梁撓度變化計(jì)算公式
(22)
均布荷載作用下考慮梗腋影響的簡(jiǎn)支箱梁截面任一點(diǎn)縱向應(yīng)力表達(dá)為
(23)
均布荷載作用下考慮梗腋影響的簡(jiǎn)支箱梁撓度剪力滯系數(shù)λf和應(yīng)力剪力滯系數(shù)λσ計(jì)算公式為
(24)
(25)
以某30 m預(yù)應(yīng)力混凝土簡(jiǎn)支箱梁為例,其截面尺寸及計(jì)算點(diǎn)位置見(jiàn)圖4。材料為C50混凝土,彈性模量E=3.55×104MPa,泊松比μ=0.167??缰薪孛孀饔眉泻奢dP=2×800 kN和滿跨均布荷載q=2×80 kN/m;經(jīng)計(jì)算該箱梁的梗腋特性參數(shù)ξ=0.133。
圖4 箱梁截面尺寸及計(jì)算點(diǎn)位置(單位: m)
運(yùn)用Ansys-Solid45單元建立箱梁實(shí)體模型,共劃分133 182個(gè)節(jié)點(diǎn)、114 156個(gè)單元,計(jì)算并提取跨中截面計(jì)算點(diǎn)的縱向應(yīng)力值;利用本文方法計(jì)算考慮和不考慮梗腋時(shí)兩種荷載工況下簡(jiǎn)支箱梁跨中截面計(jì)算點(diǎn)的縱向應(yīng)力,連同有限元解一同列于表1以便對(duì)比;同時(shí)列出跨中截面關(guān)鍵點(diǎn)的翹曲正應(yīng)力,如表2所示。
表1 跨中截面縱向應(yīng)力比較 MPa
由表1可知:集中和均布荷載作用下考慮梗腋的計(jì)算結(jié)果與有限元數(shù)值解吻合更好;集中荷載作用下考慮梗腋影響的箱梁上翼板縱向應(yīng)力減小了17.0%~20.0%,下翼板縱向應(yīng)力減小了6.4%~6.7%;均布荷載作用下考慮梗腋影響的箱梁上翼板縱向應(yīng)力減小了18.4%~19.2%,下翼板縱向應(yīng)力減小了6.3%~9.0%。
由表2可知,梗腋對(duì)箱梁上翼板翹曲正應(yīng)力的影響較顯著;集中和均布荷載作用下,考慮梗腋影響時(shí)頂板肋處的翹曲正應(yīng)力減小了27.6%和27.1%。
圖5為均布荷載作用下考慮和不考慮梗腋影響的箱梁跨中截面應(yīng)力剪力滯系數(shù)橫向分布圖。由圖5可以看出,梗腋對(duì)上翼板剪力滯系數(shù)的影響明顯大于下翼板;考慮梗腋時(shí)頂板肋處的剪力滯系數(shù)減小了0.2%,頂板中點(diǎn)處的剪力滯系數(shù)增大了0.3%。
圖6為均布荷載作用下考慮和不考慮梗腋影響的箱形梁撓曲線縱向分布圖。由圖6可以看出,考慮梗腋加勁使箱形梁撓度顯著降低;考慮梗腋影響的箱梁跨中截面初等梁撓度、撓度變化及總撓度減小了11.2%、12.4%和11.3%。
圖5 均布荷載作用下跨中截面應(yīng)力剪力滯系數(shù)橫向分布
圖6 均布荷載作用下箱形梁撓曲線縱向分布
圖7為兩種荷載工況下,考慮和不考慮梗腋影響的箱形梁撓度剪力滯系數(shù)縱向分布圖。由圖7可以看出,考慮梗腋影響時(shí)兩種荷載作用下各截面的撓度剪力滯系數(shù)均減小;集中荷載作用時(shí),撓度剪力滯系數(shù)由跨中向兩側(cè)支點(diǎn)遞減,均布荷載作用時(shí)撓度剪力滯系數(shù)的分布規(guī)律與之相反。
圖7 箱形梁撓度剪力滯系數(shù)縱向分布
以圖4為例,在保持截面基本參數(shù)、跨度、荷載及材料特性不變的情況下,改變上翼板梗腋尺寸。梗腋高度取25 cm,腹板外側(cè)梗腋寬度由120 cm減小至50 cm,步長(zhǎng)為10 cm,腹板內(nèi)側(cè)梗腋由75 cm減小至40 cm,步長(zhǎng)為5 cm,計(jì)算得到相應(yīng)梗腋特性參數(shù)為0.133、0.122、0.110、0.099、0.088、0.077、0.066、0.054。利用本文方法,計(jì)算均布荷載作用下跨中截面撓度變化及頂板肋處應(yīng)力剪力滯系數(shù)影響分布,見(jiàn)圖8、圖9。
圖8 梗腋特性參數(shù)對(duì)應(yīng)力剪力滯系數(shù)的影響分布
圖9 梗腋特性參數(shù)對(duì)剪力滯撓度變化的影響分布
圖8為均布荷載作用下梗腋特性參數(shù)對(duì)應(yīng)力剪力滯系數(shù)的影響分布圖,可以看出,應(yīng)力剪力滯系數(shù)與梗腋特性參數(shù)近似呈線性關(guān)系;隨著梗腋特性參數(shù)的增加,頂板肋處的剪力滯系數(shù)逐漸減??;梗腋特性參數(shù)由0.054增大至0.133時(shí),頂板肋處的剪力滯系數(shù)減小了0.13%。
圖9為均布荷載作用下梗腋特性參數(shù)對(duì)跨中截面撓度變化的影響分布圖,可以看出,撓度變化與梗腋特性參數(shù)之間近似呈線性關(guān)系;隨著梗腋特性參數(shù)的增加,跨中截面撓度變化逐漸減?。还R柑匦詤?shù)由0.054增大至0.133時(shí),撓度變化減小了5.3%。
(1)本文在定義梗腋特性參數(shù)的基礎(chǔ)上,應(yīng)用能量變分法分析了梗腋對(duì)箱形梁剪力滯效應(yīng)的影響,算例分析表明,考慮梗腋的計(jì)算結(jié)果與有限元數(shù)值解吻合更好,進(jìn)而驗(yàn)證了本文方法的正確性。
(2)梗腋對(duì)箱形梁剪力滯效應(yīng)有一定的削弱作用;考慮梗腋的撓度和應(yīng)力剪力滯系數(shù)均小于未考慮的計(jì)算結(jié)果;梗腋對(duì)上翼板應(yīng)力影響較顯著,均布荷載作用下跨中截面頂、底板肋處的縱向應(yīng)力減小了19.2%和6.4%,翹曲正應(yīng)力減小了27.1%和5.4%。
(3)考慮梗腋影響的箱形梁撓度顯著降低;均布荷載作用下箱梁跨中截面剪力滯撓度變化和總撓度降低了12.4%和11.3%。
(4)梗腋特性參數(shù)對(duì)剪力滯效應(yīng)的影響近似呈線性分布;隨著梗腋特性參數(shù)的增加,跨中截面頂板肋處的剪力滯系數(shù)減小幅度較小,撓度變化幅度較大。