趙玉林 饒志強(qiáng)， ?；?李益晨

（1.北京聯(lián)合大學(xué)北京市信息服務(wù)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100101；2.北京聯(lián)合大學(xué)城市軌道交通與物流學(xué)院，北京 100101）

軌道質(zhì)量指數(shù)（Track Quality Index，TQI）是鐵路工務(wù)管理部門綜合評價(jià)軌道區(qū)段質(zhì)量的重要指標(biāo)，通過計(jì)算200 m 單元區(qū)段內(nèi)所有樣點(diǎn)的左右軌向、左右高低、水平、軌距、三角坑這7 項(xiàng)軌道幾何不平順幅值標(biāo)準(zhǔn)差之和得到［1］。利用TQI 數(shù)據(jù)研究軌道質(zhì)量狀態(tài)的預(yù)測問題，對線路養(yǎng)護(hù)維修具有重要指導(dǎo)作用。

國內(nèi)外學(xué)者對軌道質(zhì)量預(yù)測進(jìn)行了大量研究，主要包括傳統(tǒng)方法、機(jī)器學(xué)習(xí)方法和基于灰色理論的方法。傳統(tǒng)方法有指數(shù)平滑法［2］和綜合因子法［3］等。機(jī)器學(xué)習(xí)方法有貝葉斯預(yù)測模型［4］、馬爾可夫模型［5］、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［6］和 SVM（Support Vector Machine）［7］等?；诨疑碚?，曲建軍［8］建立了用于預(yù)測非線性序列的TITCGM（1，1）?PC 灰色模型；Xin 等［9］提出了灰色傅里葉級數(shù)和灰色馬爾可夫鏈組合預(yù)測模型；韓晉等［10］提出了將改進(jìn)非等間距灰色預(yù)測模型與BPNN 校正網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的預(yù)測方法；馬子驥等［11］提出了改進(jìn)灰色和Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合預(yù)測模型，利用遺傳算法優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)將軌道質(zhì)量發(fā)展趨勢中的隨機(jī)波動成分納入方法考慮范圍；馮超等［12］提出了灰色和WOA?LSSVM組合預(yù)測模型。現(xiàn)有的預(yù)測模型均存在一些不足。傳統(tǒng)方法要求數(shù)據(jù)必須具有線性或指數(shù)增長規(guī)律的特性；機(jī)器學(xué)習(xí)方法受數(shù)據(jù)規(guī)模和質(zhì)量影響較大；基于灰色理論的方法是利用等時(shí)距序列建立的，實(shí)際工程中因檢修計(jì)劃變更、氣候、地質(zhì)構(gòu)造等原因，原始檢測數(shù)據(jù)具有非等時(shí)距特性和振蕩特性。

為提高基于灰色理論的模型預(yù)測效果，針對既有模型的不足并考慮到TQI 序列的特征，提出一種改進(jìn)非等時(shí)距灰色組合IGM?PSO?Elman 模型。該模型在傳統(tǒng)灰色GM（1，1）模型的基礎(chǔ)上建立改進(jìn)非等時(shí)距灰色I(xiàn)GM（1，1）模型，利用PSO?Elman殘差校正網(wǎng)絡(luò)修正IGM（1，1）預(yù)測殘差，得到最終預(yù)測結(jié)果。

1 改進(jìn)非等時(shí)距灰色預(yù)測模型

一般灰色模型適用于預(yù)測符合指數(shù)規(guī)律增長的等時(shí)距序列［1］，而軌道動態(tài)幾何檢測數(shù)據(jù)往往是非等時(shí)距采集序列。因此需對傳統(tǒng)灰色GM（1，1）模型進(jìn)行改進(jìn)。分析傳統(tǒng)灰色GM（1，1）模型的數(shù)學(xué)建模過程，在一次累加生成中引入權(quán)系數(shù)優(yōu)化時(shí)距分配，利用幾何意義重構(gòu)背景值的計(jì)算，在參數(shù)求解中植入權(quán)重矩陣，為不同檢測時(shí)刻的數(shù)據(jù)賦予不同的權(quán)值，建立改進(jìn)非等時(shí)距灰色I(xiàn)GM（1，1）模型來預(yù)測TQI序列。

記原始 TQI 序列X(0)為非負(fù)序列，X(0)={x(0)(t1)，…，x(0)(ti)，…，x(0)(tn)}，i= 2，3，…，n。一般地，原始序列的時(shí)間間距Δti=ti-ti-1≠ 常數(shù)(i= 2，3，…，n)屬于非等時(shí)距序列。

1.1 1-AGO序列優(yōu)化

X(0)序列相應(yīng)的 1-AGO 序列為X(1)={x(1)(t1)，…，x(1)(ti)，…，x(1)(tn)}。 其 中x(1)(ti)=x(1)(ti-1)+Δtix(0)(ti)，i= 2，3，…，n，Δt1= 1。

由Δti的定義可知，將權(quán)值完全賦予x(0)(ti)并不十分合理，引入權(quán)重系數(shù)λ(0 ≤λ≤ 1)對Δti進(jìn)行優(yōu)化。λ可靈活控制TQI 序列各部分時(shí)間間距的影響程度［13］，使模型更好地適應(yīng)不同階段的預(yù)測要求。優(yōu)化后的x(1)(ti)為

1.2 背景值優(yōu)化

由優(yōu)化后的X(1)序列建立灰色微分方程

在區(qū)間[ti-1，ti]對式（2）進(jìn)行積分并離散化，得差分方程

式中：a為灰色發(fā)展系數(shù)；b為灰色作用量；z（1）（ti）為差分方程背景值，z(1)(ti)= 0.5[x(1)(ti)+x(1)(ti-1)]，幾何意義是x(1)(t)與橫軸圍成的面積。

數(shù)據(jù)序列急劇變化時(shí)計(jì)算的背景值誤差較大，用積分面積重構(gòu)背景值計(jì)算，即

經(jīng)優(yōu)化后的X(1)序列近似符合指數(shù)增長規(guī)律［8］，即x(1)(t) =Aedt，其中A為任意常數(shù)。代入式（4），得新的背景值計(jì)算公式

1.3 參數(shù)求解優(yōu)化

TQI 數(shù)據(jù)在精度相同的前提下，越靠近預(yù)測點(diǎn)的數(shù)據(jù)對建模過程的影響越大［10］。給不同檢測時(shí)間的數(shù)據(jù)賦予一個(gè)權(quán)值μ(1 ≤μ≤2)，定義權(quán)值矩陣為

參考文獻(xiàn)［10］，取μ= 1.6。

用最小二乘法求解參數(shù)a，b：

進(jìn)而得到灰微分方程的解為

還原得TQI初步預(yù)測值為

以最小化絕對誤差和為目標(biāo)求解參數(shù)λ，即

2 殘差修正模型

用IGM（1，1）預(yù)測TQI，殘差序列呈現(xiàn)正負(fù)交替特性，表明原始序列存在擾動分量。利用Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)處理數(shù)據(jù)波動問題，并采用PSO 算法對Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行優(yōu)化［14-15］，建立 PSO?Elman 殘差校正模型。校正流程見圖1。

圖1 PSO?Elman殘差校正流程

主要步驟如下：

2）利 用 min-max 標(biāo) 準(zhǔn) 化 方 法 將δ(ti) 歸 一 化至［0，1］。

3）確定Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和參數(shù)。輸入和輸出神經(jīng)元個(gè)數(shù)分別為ni= 7和n0= 1；隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)為且m∈ Z。經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)，nh= 5 時(shí)網(wǎng)絡(luò)最穩(wěn)定。學(xué)習(xí)率為0.1，最大誤差為1.0×10-5。

4）初始化粒子群參數(shù)。采用自適應(yīng)變異算子，粒子總個(gè)數(shù)為45，迭代總次數(shù)為1 000，學(xué)習(xí)因子c1和c2均為1.495，最大速度Vmax為1，最小速度Vmin為-1。

6）殘差校正。利用訓(xùn)練好的PSO?Elman網(wǎng)絡(luò)對殘差序列進(jìn)行預(yù)測。

3 IGM?PSO?Elman模型

綜合 IGM（1，1）模型、PSO 算法、Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)勢構(gòu)建IGM?PSO?Elman模型，利用IGM（1，1）預(yù)測TQI 得到初步殘差，利用PSO?Elman 校正網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行修正，得到最終預(yù)測值。主要預(yù)測過程如下：

1）檢驗(yàn)原始TQI數(shù)據(jù)的級數(shù)比η（ti）

若級數(shù)比落在區(qū)間(e-2(n+1)，e2(n+1))內(nèi)，則運(yùn)用IGM（1，1）模

型進(jìn)行預(yù)測。否則選取常數(shù)C對原始TQI 序列X(0)適當(dāng)平移，新序列的表達(dá)式為

2）將處理之后的數(shù)據(jù)進(jìn)行一階累加生成，得到1?AGO 序列X(1)。

3）將X(1)輸入至IGM（1，1）模型，用最小二乘法估計(jì)參數(shù)a，b，λ。

4）利用公式（9）求得TQI 初步預(yù)測值，若進(jìn)行了平移操作，則需還原。

5）利用PSO?Elman校正網(wǎng)絡(luò)得殘差校正值。

4 模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證IGM?PSO?Elman 模型的可行性和有效性，選取滬昆線上行單元區(qū)段K226+000—K226+200（區(qū)段 1）和 K226+400—K226+600（區(qū)段 2）的 TQI 數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，并與文獻(xiàn)［8］、文獻(xiàn)［10］、文獻(xiàn)［11］的方法進(jìn)行預(yù)測效果對比。

利用自動尋優(yōu)定權(quán)的方法，權(quán)重系數(shù)λ∈[0，1]，λ=λ+Δλ。步長Δλ設(shè)為0.001，λ從0開始，直至為1時(shí)計(jì)算停止。確定PSO?Elman 校正網(wǎng)絡(luò)的各項(xiàng)參數(shù)。選取模型參數(shù)中的平均相對誤差（Mean Relative Error，MRE）、均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）、決定系數(shù)（R2）、相關(guān)系數(shù)（r）作為評價(jià)指標(biāo)。TQI 數(shù)據(jù)分布圖見圖2?？芍?，從相對時(shí)間角度分析，數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出非等時(shí)距特性。

圖2 TQI數(shù)據(jù)分布

以 2 個(gè)區(qū)段 2007?09?25 至 2008?08?26 共 19 個(gè)TQI 實(shí)測值作為歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，對 2008?09?05 至2008?12?24共7個(gè)TQI數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測。IGM?PSO?Elman模型最終預(yù)測值和GM（1，1）模型預(yù)測值與實(shí)測值的對比見圖3。

圖3 2種模型的預(yù)測值與實(shí)測值對比

由圖3可知：GM（1，1）模型的線性發(fā)展趨勢較好，但誤差較大，僅反映TQI 的線性變化趨勢；IGM?PSO?Elman 模型充分挖掘TQI 數(shù)據(jù)的非等時(shí)距特性和隨機(jī)振蕩特性，最終預(yù)測值與實(shí)測值較為一致。區(qū)段1的GM（1，1）模型和IGM?PSO?Elman 模型預(yù)測值的平均誤差分別為6.12% 和1.09%，區(qū)段2 分別為2.30%和0.59%。顯然，IGM?PSO?Elman 模型的預(yù)測效果更好。

分別用文獻(xiàn)［8］、文獻(xiàn)［10］、文獻(xiàn)［11］的模型對2 個(gè)區(qū)段進(jìn)行預(yù)測。將 IGM?PSO?Elman 模型的 4 種評價(jià)指標(biāo)與3個(gè)文獻(xiàn)模型進(jìn)行對比，見表1。

由表1 可知，與3 個(gè)文獻(xiàn)模型評價(jià)指標(biāo)的平均值相比，區(qū)段 1 的 MRE，RMSE 分別降低了 2.27%，0.163，r提升了0.236；區(qū)段2 的MRE，RMSE 分別降低了2.82%，0.227，r提升了0.563。這表明在同一維修周期內(nèi)對于相同軌道單元區(qū)段的TQI 預(yù)測，IGM?PSO?Elman 模型的預(yù)測精度更高，能更準(zhǔn)確地預(yù)測軌道狀態(tài)的發(fā)展趨勢。

表1 IGM?PSO?Elman模型與文獻(xiàn)模型評價(jià)指標(biāo)對比

5 訓(xùn)練樣本數(shù)對預(yù)測結(jié)果的影響

選取某單元區(qū)段 2017?01?12 至 2018?01?25 的 TQI數(shù)據(jù)，每月檢測2 次，共26 組數(shù)據(jù)。分別設(shè)置18，19，20 個(gè)訓(xùn)練樣本數(shù)，分別利用灰色GM（1，1）模型和IGM?PSO?Elman 模型進(jìn)行預(yù)測，其評價(jià)指標(biāo)的對比見表2。

表2 不同樣本數(shù)下的評價(jià)指標(biāo)對比

由表2可知：訓(xùn)練樣本個(gè)數(shù)越多，GM（1，1）模型和IGM?PSO?Elman 模型的擬合數(shù)據(jù)越準(zhǔn)確；訓(xùn)練樣本數(shù)相同時(shí)，IGM?PSO?Elman 模型比GM（1，1）模型的預(yù)測效果更好。

6 結(jié)語

為了提高軌道質(zhì)量狀態(tài)預(yù)測精度，本文對傳統(tǒng)灰色GM（1，1）模型進(jìn)行改進(jìn)，建立了IGM（1，1）模型并利用PSO?Elman 校正網(wǎng)絡(luò)修正預(yù)測殘差，提出了一種改進(jìn)非等時(shí)距灰色組合IGM?PSO?Elman 模型。利用實(shí)測 TQI 數(shù)據(jù)對 IGM?PSO?Elman 模型進(jìn)行驗(yàn)證，其MRE 和RMSE 比GM（1，1）模型均有所降低，可以更有效地預(yù)測軌道質(zhì)量的變化趨勢，為線路狀態(tài)維修提供指導(dǎo)。

后續(xù)研究中將進(jìn)一步優(yōu)化該組合模型，將其應(yīng)用于軌道質(zhì)量狀態(tài)預(yù)警系統(tǒng)，為制定軌道維修計(jì)劃和指導(dǎo)養(yǎng)護(hù)維修作業(yè)提供技術(shù)保障。