何菊蔚

（江西省龍南中學(xué)，江西 贛州 341700）

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，對(duì)于高中學(xué)來(lái)說(shuō)也是比較難以接受的知識(shí)點(diǎn)，它不僅對(duì)于學(xué)生的思維邏輯能力有要求，而且對(duì)于學(xué)生的運(yùn)算水平和解題速度有要求，要想熟練地運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決問(wèn)題，就必須掌握好導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)對(duì)導(dǎo)數(shù)一系列類(lèi)型題的訓(xùn)練，最終使學(xué)生能夠熟練地解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，提高他們的解題速度和能力。本文主要從導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的運(yùn)用和在切線中的運(yùn)用展開(kāi)的。

一、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的運(yùn)用

導(dǎo)數(shù)相對(duì)于其他而言，它的運(yùn)用十分廣泛，具體表現(xiàn)在求解函數(shù)單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間和最值等問(wèn)題的運(yùn)用上，通過(guò)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，可以最大限度地降低這些問(wèn)題的求解，減少過(guò)于復(fù)雜的步驟，也方便理解。

（一）導(dǎo)數(shù)在求解函數(shù)中取值范圍的應(yīng)用

眾所周知，不等式中是存在較多問(wèn)題的，不等式問(wèn)題與函數(shù)問(wèn)題緊密性較大。在高考這個(gè)競(jìng)技場(chǎng)上，通過(guò)這些年的觀察，我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生間的不平等是建立在一定基礎(chǔ)上的，主要問(wèn)題就在于他們之間解題方法不同，在初等數(shù)學(xué)中，我們用傳統(tǒng)的解題方法就能解決問(wèn)題，但這種方法解題步驟過(guò)于繁瑣，解題效率不夠，處于這種情形下，利用導(dǎo)數(shù)解決是最好的辦法，既能快速地解決問(wèn)題，又能使解題步驟明晰化。然而對(duì)于不同的問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)的使用情形也會(huì)有差異，以下是具體實(shí)例：

解析：設(shè)g(x)=ax-f(x)，在g’(x)大于0的時(shí)候，f(x)≤ax.如果a的范圍在之間，同時(shí)令h(x)=sinx-3ax，可以得＞ax，通過(guò)對(duì)a取值情況的討論，可以得出a的范圍大小。

（二）導(dǎo)數(shù)在求解函數(shù)中單調(diào)區(qū)間的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)對(duì)于解決函數(shù)中的單調(diào)性問(wèn)題用處很大，導(dǎo)數(shù)可以把許多復(fù)雜的圖像問(wèn)題簡(jiǎn)單化，尤其是那些很復(fù)雜的問(wèn)題，用導(dǎo)數(shù)去求單調(diào)區(qū)間比直接求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間要容易的多，它具體的步驟如下：首先，將函數(shù)表達(dá)式直接求導(dǎo)，然后求導(dǎo)數(shù)值大于或小于零時(shí)對(duì)應(yīng)的值，求出的這個(gè)值的兩邊就是增減相反的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，當(dāng)導(dǎo)數(shù)值小于零時(shí)，即為單調(diào)遞減區(qū)間，當(dāng)導(dǎo)數(shù)值大于零時(shí)，落入的即為單調(diào)遞增區(qū)間。以下是具體的例子：

如果有函數(shù)f(x)=-sinx，x∈(0，2π)，求該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間。

解析：已知某函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，用導(dǎo)數(shù)可以這樣求，先對(duì)該函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，f’(x)=cosx，當(dāng)導(dǎo)數(shù)值小于零時(shí)，得f(x)=-sinx，x ∈ (0，2π) 的遞減區(qū)間。

上述的例子是求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的問(wèn)題，但也存在求方向的問(wèn)題，比如已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，要求函數(shù)本身的某個(gè)未知值。以下是具體例子：

如果有函數(shù)f(x)=ax3-3x+1≥0，x∈[-1，1]，求a的大小。

解析：解決這道題的核心就在于要用x去構(gòu)建一個(gè)a的方程式，要使f(x)≥0，那么就要讓x與a建立不等關(guān)系，當(dāng)x∈(0，1]，可得因此，假設(shè)求導(dǎo)后，可得出g(x)的單調(diào)區(qū)間，最后可得出g(x)在上遞增，在上遞減，因此可以看出，當(dāng)時(shí)，函數(shù)可以取最大值，為4，我們可以得出這樣的結(jié)論，當(dāng)x＞0時(shí)，a 最少可以取4，當(dāng)x＜0時(shí)，a最多可以取4，所以a的取值為4。

（三）導(dǎo)數(shù)在求解函數(shù)中最值的應(yīng)用

利用導(dǎo)數(shù)，不僅可以求函數(shù)的取值范圍和單調(diào)區(qū)間，還可以求函數(shù)的最值，但要注意，一般求到的是函數(shù)的極大值或者極小值，這些值不一定是函數(shù)的最值，這點(diǎn)需要特別注意。以下是具體例子：

有函數(shù)f（x)=（1-x2)(x2+ax+b)關(guān)于x=-2對(duì)稱(chēng)，求f（x)的最大值。

解析：要求f（x)的最大值，首先要求出該函數(shù)中的未知數(shù)，根據(jù)給出的條件，可以得出a=8，b=15，然后令函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0求解，也就是將原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分解為不等式，可得出)，通過(guò)這個(gè)分解式便可得出x的值，之后便可知道該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，依據(jù)單調(diào)性可知，當(dāng)x=-2+或者-2-時(shí)，可能出現(xiàn)函數(shù)的最大值，最后通過(guò)將兩處函數(shù)值進(jìn)行比較得出最終的函數(shù)最大值。

二、導(dǎo)數(shù)在曲線切線中的運(yùn)用

如果用最原始的方法求曲線上某一點(diǎn)的切線曲線是比較復(fù)雜的，而且曲線不是常規(guī)的圓，解決起來(lái)沒(méi)那么容易，但利用導(dǎo)數(shù)可以很輕松地解決切線圖形問(wèn)題。我們知道，導(dǎo)數(shù)是求變化率，而求曲線的變化率其實(shí)是求切線的斜率，針對(duì)這類(lèi)問(wèn)題一般可以這樣求，將某表達(dá)式 就行求導(dǎo)，也就是將某點(diǎn)的橫坐標(biāo)帶入導(dǎo)數(shù)，所得到的變化率就是切線斜率，最后通過(guò)直線方程可以畫(huà)出一條平滑的直線方程。以下是具體例子：

如果有曲線 y=kx+lnx在（1，k)上的切線與x軸平行，求k的值。

解析：該題的解題思路是先將該函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再求出曲線的導(dǎo)數(shù)式，由于在（1，k)上的切線與x軸平行，也就是說(shuō)切線的斜率為0，所以直線方程為y’=k+1=0，k=-1.

三、結(jié)束語(yǔ)

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用使得數(shù)學(xué)問(wèn)題更加簡(jiǎn)單化，一方面，它可以使數(shù)學(xué)問(wèn)題更加明晰簡(jiǎn)潔，把復(fù)雜式子一步步分解，便于思維邏輯的發(fā)展，另一方面，通過(guò)導(dǎo)數(shù)去解決這些數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以加深學(xué)生們對(duì)于該知識(shí)點(diǎn)的理解，便于將知識(shí)點(diǎn)更好地融會(huì)貫通，比如求曲線的切線問(wèn)題，學(xué)生通過(guò)導(dǎo)數(shù)的求解，對(duì)于斜率也會(huì)有更深地理解。在往后的數(shù)學(xué)函數(shù)或者切線問(wèn)題中，要學(xué)會(huì)先思考能不能用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解，如果能，便可以用導(dǎo)數(shù)直接求，如果不能，再采用傳統(tǒng)的方法。學(xué)會(huì)用導(dǎo)數(shù)的思維去解決問(wèn)題，也是高考考試中需要考察的重點(diǎn)，我們的學(xué)生需要嚴(yán)格要求自己，認(rèn)真學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)，我們的老師也要將方法用到實(shí)處，教會(huì)學(xué)生這幾類(lèi)問(wèn)題，在切線的問(wèn)題和函數(shù)問(wèn)題上使他們爭(zhēng)取做到從容不迫，游刃有余。