溫利平

摘 要：在經(jīng)典力學(xué)中，轉(zhuǎn)矩和角動(dòng)量是特別重要的概念，也是很不容易理解的概念。直接講質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的定點(diǎn)或定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，難免會(huì)艱澀不易懂。本文將其與力學(xué)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)聯(lián)系起來，對(duì)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)矩和角動(dòng)量進(jìn)行了分析，使關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)的教學(xué)更順暢更容易理解。

關(guān)鍵詞：角動(dòng)量;轉(zhuǎn)矩

一般物體不僅會(huì)平動(dòng)，還會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)、晃動(dòng)或者彎曲，為了研究的方便，我們可以使問題簡化一些，把剛體作為研究對(duì)象，剛體實(shí)際上是一種理想模型，它在運(yùn)動(dòng)的時(shí)候形狀是保持不變的。如果我們不考慮剛體質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，那么剛體就只剩下轉(zhuǎn)動(dòng)了。如果物體以某個(gè)固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則該轉(zhuǎn)動(dòng)叫定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。那么，用什么物理量來描述物體的轉(zhuǎn)動(dòng)呢？我們可以在物體上描一個(gè)點(diǎn)當(dāng)作記號(hào)，只要知道這個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么地方，就能準(zhǔn)確地說出物體的位置，而描述這個(gè)點(diǎn)的位置，只要一個(gè)角度就夠了，因此，我們要描述剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，只要研究角度隨時(shí)間的變化關(guān)系就可以了。

一、從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度描述轉(zhuǎn)動(dòng)

為了研究轉(zhuǎn)動(dòng)，就要觀察物體轉(zhuǎn)過的角度，即從某一個(gè)時(shí)刻到另一個(gè)時(shí)刻整個(gè)物體位置的角變化。類似于一維運(yùn)動(dòng)中描述物體的位置和速度那樣，平面轉(zhuǎn)動(dòng)中描述物體的角位置和角速度。在一維運(yùn)動(dòng)中描述物體在某一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的快慢用瞬時(shí)速度表示，在平面定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)中描述質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻的轉(zhuǎn)動(dòng)快慢用轉(zhuǎn)動(dòng)速度表示，把角速度對(duì)時(shí)間再次微分，就得到了角加速度，此項(xiàng)與平動(dòng)中的加速度對(duì)應(yīng)。

如下圖所示，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過時(shí)間后，從P點(diǎn)繞著坐標(biāo)原點(diǎn)以半徑轉(zhuǎn)到了Q點(diǎn)，通過數(shù)學(xué)知識(shí)我們可以得到以下方程式：

……（1）

……（2）

如果物體的角速度恒定，通過以上兩個(gè)式子可求出：;直角坐標(biāo)系中速度的矢量就可以寫成：;速度的大小就可以寫成。這也是勻速圓周運(yùn)動(dòng)中線速度與角速度的關(guān)系，對(duì)于這個(gè)關(guān)系也不難理解，因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)在時(shí)間內(nèi)走過的路程是弧長，那么單位時(shí)間內(nèi)走過的路程就是。

以上是我們通過把轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律聯(lián)系起來后，發(fā)現(xiàn)了線量和角量的關(guān)系，其理論基礎(chǔ)是：質(zhì)點(diǎn)的角度在發(fā)生變化時(shí)，它的位置矢量在坐標(biāo)軸上的投影也會(huì)隨之發(fā)生變化。

二、從動(dòng)力學(xué)角度描述轉(zhuǎn)動(dòng)

既然是動(dòng)力學(xué)，就要引入一個(gè)新的物理量“力”。首先，我們要找到一個(gè)“物理量”，這個(gè)物理量對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的作用就像力對(duì)線性運(yùn)動(dòng)的作用，換句話說，就是力是改變物體平動(dòng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因，那么哪個(gè)物理量是改變物體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的原因。要使一個(gè)物體轉(zhuǎn)動(dòng)，就需要一個(gè)“扭轉(zhuǎn)力”，我們可以先叫它“轉(zhuǎn)矩”（torque一詞起源于拉丁文torquere，是扭轉(zhuǎn)的意思），剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)可以類比質(zhì)點(diǎn)的一維運(yùn)動(dòng)，對(duì)一維運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)在力的作用下發(fā)生位移，則該力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做功了，同理，如果剛體在轉(zhuǎn)矩的作用下發(fā)生了角位移，則轉(zhuǎn)矩就對(duì)剛體做功了。舉例：某個(gè)力作用在剛體上某一點(diǎn)，如果剛體定軸轉(zhuǎn)過一個(gè)很小的角度，那么如何來求這個(gè)力做的功[1]？

很明顯……（3）

結(jié)合（1）（2）式，功也可以表示成

……（4）

（4）式表明功可以表示成質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)過的角度乘以“力和距離的組合”，這個(gè)括號(hào)內(nèi)的力和距離的組合就是我們前面提到的轉(zhuǎn)矩。轉(zhuǎn)矩一般也叫力矩，其中“矩”是用離開軸的距離多少增加權(quán)重的。由以上分析可得出：功除了可以定義為力和位移的點(diǎn)乘，也可以定義為轉(zhuǎn)矩乘角度。轉(zhuǎn)矩并不是一個(gè)新概念，它借助于力的定義并與牛頓力學(xué)相關(guān)。

在平面運(yùn)動(dòng)中，如果剛體受到多個(gè)力產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩，也是適用的，轉(zhuǎn)矩可以代數(shù)相加。功就等于總轉(zhuǎn)矩M和的乘積。對(duì)二維轉(zhuǎn)動(dòng)有

……（5）

特別強(qiáng)調(diào)：（5）式是對(duì)給定轉(zhuǎn)軸而言的，如果選擇的轉(zhuǎn)軸變了，一般情況下轉(zhuǎn)矩的值也會(huì)改變。當(dāng)然轉(zhuǎn)矩還有一個(gè)有趣的公式：

三、以質(zhì)點(diǎn)為例談?wù)劷莿?dòng)量的引入

牛頓第二定律表明，合外力是一群質(zhì)點(diǎn)總動(dòng)量的變化率。以此類比，合外轉(zhuǎn)矩是質(zhì)點(diǎn)系的總角動(dòng)量的變化率。假設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)繞著o點(diǎn)做平面曲線運(yùn)動(dòng)，半徑r可以改變，就像地球繞著太陽運(yùn)動(dòng)一樣。

根據(jù)轉(zhuǎn)矩公式（5），再結(jié)合牛頓第二定律有

上式表明轉(zhuǎn)矩實(shí)際上是某個(gè)量隨時(shí)間的變化率，我們給這“某個(gè)量”起個(gè)名字就叫角動(dòng)量。

……（6）

（6）式對(duì)相對(duì)論同樣成立。很對(duì)稱和巧妙的是，轉(zhuǎn)矩是用力的分量表示，角動(dòng)量是用線動(dòng)量的分量表示。

從以上推論可知：角動(dòng)量不能反映質(zhì)點(diǎn)離開原點(diǎn)的快慢，但能反映出質(zhì)點(diǎn)圍繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢。即，角動(dòng)量只和動(dòng)量的切向分量有關(guān)，這也說明角動(dòng)量的大小不僅和動(dòng)量有關(guān)，還和動(dòng)量臂有關(guān)。，因?yàn)樯婕暗轿恢檬噶?，所以角?dòng)量和軸的位置也有關(guān)系。

四、對(duì)角動(dòng)量守恒的應(yīng)用拓展

對(duì)一個(gè)固定點(diǎn)或固定轉(zhuǎn)軸，當(dāng)物體不受力矩或合外力矩為零時(shí)，物體的角動(dòng)量保持不變，這個(gè)結(jié)論就叫角動(dòng)量守恒定律[2]。物體的角動(dòng)量可以看成兩部分之和，一部分來自物體質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，另一部分來自于物體相對(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)。如果考慮大量質(zhì)點(diǎn)在有內(nèi)力和外力作用的同時(shí)繞著一個(gè)固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的問題，我們可以應(yīng)用牛頓第三定律得到一個(gè)結(jié)果：兩個(gè)相互作用力具有相同的力臂，力的方向卻相反，所以由它們產(chǎn)生的兩個(gè)轉(zhuǎn)矩等大反向，內(nèi)轉(zhuǎn)矩之和為零，即，內(nèi)轉(zhuǎn)矩不影響質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)效果。那么，由此可以得到一個(gè)定理：質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于任何軸的角動(dòng)量的變化率和質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于該軸的外轉(zhuǎn)矩之和是相等的。我們可以把物理中常常提到的剛體當(dāng)成質(zhì)點(diǎn)系來處理。因?yàn)閯傮w的運(yùn)動(dòng)是大量質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的集合。

（一）開普勒定律就是角動(dòng)量守恒定律的語言表述。對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)來說，如果系統(tǒng)總的外轉(zhuǎn)矩為零，則這個(gè)系統(tǒng)的總角動(dòng)量不變，這就是角動(dòng)量守恒定律。角動(dòng)量守恒定律在經(jīng)典力學(xué)中很重要。以行星圍繞太陽運(yùn)動(dòng)為例，行星的轉(zhuǎn)矩為零，因此角動(dòng)量守恒。行星圍繞太陽運(yùn)動(dòng)的面積變化率與角動(dòng)量成正比，因此行星在相等時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，這正是開普勒第二定律的內(nèi)容。

（二）陀螺儀是角動(dòng)量守恒的一個(gè)很好的例證。陀螺儀有兩個(gè)特性：進(jìn)動(dòng)性和定軸性，這兩種特性都是建立在角動(dòng)量守恒的原則下[3]。陀螺儀的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不隨時(shí)間變化，如果將陀螺儀的轉(zhuǎn)軸指向某一個(gè)方向，當(dāng)轉(zhuǎn)子繞自身的對(duì)稱軸以固定角速度高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，無論如何改變框架的方位，其中心軸空間取向始終保持不變，從而具有導(dǎo)航能力[4]。隨著科技的發(fā)展，陀螺儀從最早的航海導(dǎo)航到現(xiàn)在的航空和國防工業(yè)。陀螺儀的基本特點(diǎn)是它的進(jìn)動(dòng)性和穩(wěn)定性。利用這些性質(zhì)，陀螺儀能被用來作信號(hào)傳感器，它能提供準(zhǔn)確的位置信息、速度和加速度信息，這些信息被用來控制導(dǎo)彈或探測火箭的飛行姿態(tài)和飛行軌道。陀螺儀也可以作為穩(wěn)定器被安裝在衛(wèi)星相機(jī)上。

在經(jīng)典力學(xué)中，角動(dòng)量已經(jīng)很重要了，我們都知道，對(duì)孤立運(yùn)動(dòng)體系而言，它的總角動(dòng)量是常量。當(dāng)然，在某些情況下或一些約束條件下，非孤立系統(tǒng)的總角動(dòng)量也可以是一個(gè)常量。對(duì)于角動(dòng)量在經(jīng)典力學(xué)中的這些性質(zhì)，在量子力學(xué)中有等價(jià)結(jié)果。比如有經(jīng)典類比的軌道角動(dòng)量，比如沒有經(jīng)典類比的自旋角動(dòng)量（屬于基本粒子的內(nèi)稟角動(dòng)量）。當(dāng)然，量子力學(xué)中的角動(dòng)量理論完全建立在一些對(duì)易關(guān)系上，這就意味著角動(dòng)量的三個(gè)分量不可能同時(shí)測量。

由此可知，無論是經(jīng)典力學(xué)還是量子力學(xué)，角動(dòng)量都是一個(gè)非常值得思考和重視的物理量。

參考文獻(xiàn)

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[3] 邵懷華，卓玉霖.陀螺進(jìn)動(dòng)中的“角動(dòng)量不守恒”問題[J].物理與工程，2018，28（6）：39-42.

[4] 王志剛，張立換，徐建軍.角動(dòng)量理論在現(xiàn)代技術(shù)中的應(yīng)用[J].現(xiàn)代物理知識(shí)，2017（1）：10-13.