邱立軍（江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院鹽城機(jī)電分院，江蘇鹽城 224000）

1 引言

微分方程在科學(xué)研究和工程應(yīng)用中得到廣泛的使用，可以通過(guò)方程的解來(lái)描述不同的現(xiàn)象結(jié)果，但由于微分方程的計(jì)算過(guò)程中往往會(huì)忽視大部分有用的信息，從而導(dǎo)致不能準(zhǔn)確描述實(shí)際現(xiàn)象，例如彈力力學(xué)[1].而非線性方程則可以通過(guò)偏微分與誤差估計(jì)等方式求出精確解，在流體力學(xué)、空間離子等領(lǐng)域具有重大的應(yīng)用[2，3].例如，在非壓縮或接近條件下，描述彈性桿的縱向形變波傳播可用非線性的Pochhammer-Chree方程（非線性P-C方程）表示為utt-uttxx-當(dāng)p=3或5時(shí)，它表示了質(zhì)點(diǎn)兩種不同結(jié)構(gòu)[1].特別當(dāng)p=3時(shí)，即

表示的縱向形變孤立波相互作用是非彈性的.此外，求非線性方程的精確解也逐漸出現(xiàn)許多方法，如（G′/G）方法、F-展開法、齊次平衡法、反散射方法、EXP-函數(shù)法等等[4-8].EXP-函數(shù)法已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于求解非線性發(fā)展方程.本文通過(guò)運(yùn)用EXP-函數(shù)法求解方程（1），包括孤波解、周期解，從而豐富了EXP-函數(shù)法在求解非線性方程的精確解中的應(yīng)用.

2 EXP-函數(shù)法求解的方法簡(jiǎn)述

EXP-函數(shù)法求解非線性偏微分方程的一般步驟如下：考慮非線性偏微分方程

其中x，t為變量，u為因變量.為了求方程（2）的行波解，作變換

其中c為待定常數(shù).將式（3）代入方程（2）中，可將（2）式化為一個(gè)常微分方程

假設(shè)方程（2）的解 u（ξ）可以表示為 exp（ξ）的有限冪級(jí)數(shù)，即

其中f，g，p，q是待定正整數(shù)；an，bm是待定常數(shù).為了確定f和p的關(guān)系，平衡方程（4）的非線性項(xiàng)和最高階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的最高次；同理平衡方程（4）的非線性項(xiàng)和最高階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的最低次，便得到g和q的關(guān)系.再把f和p，g和q取一些特殊值，就可以將方程（4）的左邊化為 exp（nξ）的多項(xiàng)式.再令含 exp（nξ）（其中 n=0，±1，±2，…）項(xiàng)的系數(shù)為零，得到相應(yīng)的一組代數(shù)方程組，應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件Maple求解這個(gè)代數(shù)方程組，可求出待定系數(shù)an，bm（n，m=0，±1，±2，…）.將這些結(jié)果代入式（5）便得到方程（2）用exp（nξ）表示的行波解的一般形式.

3 非線性Pochhammer-Chree方程的精確解

利用EXP-函數(shù)法求解方程（1）的精確解，將式（3）代入方程（1）得到下列常微分方程

設(shè)方程（6）的解可以表示為式（5）的形式，則為了確定 f，g，p，q 之間的關(guān)系，首先平衡（6）式中 u（4）和 u2u″的最高次，由（5）式可得

其中 Ai是常數(shù)，比較（7）和（8）式，令 f+5p=3f+3p，得 p=f.

再平衡（6）式中 u（4）和 u2u″的最低次，由（5）式可得

其中 Bi是常數(shù)，比較（9）和（10）式，令 -（g+5q）=-（3g+3q），得 g=q.

3.1 情形Ⅰ

令 p=f=1，q=g=1，則由（5）式，得

其中 ai，bi為待定常數(shù).將（11）式代入方程（6），并利用 Maple計(jì)算得到

3.2 情形Ⅱ

圖1 兩雙曲函數(shù)解u23的波形圖（其中 c=0.5，-10≤t≤15，-2≤x≤2）

圖2 兩雙曲函數(shù)解u23的波形圖（其中 c=1.5，-6≤t≤2，-6≤x≤2）

圖3 兩雙曲函數(shù)解u29的波形圖（其中 3≤t≤9，-9≤x≤15）

圖4 兩雙曲函數(shù)解u45的波形圖（其中 a2=0.5，-8≤t≤5，-5≤x≤5）

當(dāng)參數(shù) b0滿足（54）時(shí)，解（51）為兩個(gè)孤立波解

3.3 情形Ⅲ

令 p=f=3，q=g=3，則由（5）式，得

4 結(jié)論

利用EXP-函數(shù)法結(jié)合齊次平衡法原理，并借助數(shù)學(xué)軟件再次研究了p=3時(shí)的非線性Pochhammer-Chree方程.本文首先求出了方程的指數(shù)函數(shù)解，再將其中一些參數(shù)取特殊值，就可以把指數(shù)函數(shù)解化為雙曲函數(shù)解.通過(guò)比較，解（42）、（43）、（68）、（69）的結(jié)構(gòu)與文獻(xiàn)[1]、[4]中的解的結(jié)構(gòu)相同；同時(shí)還出現(xiàn)了大量與現(xiàn)有文獻(xiàn)中解的結(jié)構(gòu)不相同的解，表明本文不僅進(jìn)一步證明了文獻(xiàn)中精確解的有效性，而且豐富了相關(guān)文獻(xiàn)中解的類型.