付相球, 潘旦光,2, 柳 藝

(1.北京科技大學(xué) 土木與資源工程學(xué)院,北京 100083; 2.同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國家重點實驗室,上海 200092; 3.中鐵十六局集團(tuán)有限公司,北京 100018)

0 引 言

文獻(xiàn)[7]對北京地鐵八王墳車輛段平臺及平臺上建筑物進(jìn)行計算和分析,采用直接積分法計算了建筑物上各點在地鐵列車振動荷載下的位移反應(yīng)時程;文獻(xiàn)[8]對比分析了采用振型疊加法和直接積分法計算軌道交通引起的環(huán)境振動問題,結(jié)果表明直接積分法具有更高的計算效率。這是由于振型疊加法計算時,應(yīng)使所采用最高振型的頻率大于振動輸入頻率主要范圍的最大值,一般認(rèn)為應(yīng)達(dá)到其2倍[9],而土體固有頻率超過100 Hz通常需要幾千階甚至更多的模態(tài),模態(tài)分析的計算時間將非常長。但事實上,振型疊加法計算中存在大量的無效模態(tài),因而影響了計算效率。為避免無效模態(tài)的影響,文獻(xiàn)[10]提出Ritz向量疊加法,該法兼具振型疊加法將耦合方程解耦為單自由度方程的優(yōu)點,同時考慮到外力荷載的空間分布;文獻(xiàn)[11-12]分別應(yīng)用Ritz向量疊加法分析機械結(jié)構(gòu)及橋梁地震反應(yīng),分析結(jié)果表明Ritz向量疊加法具有很高的計算效率。

但Ritz向量疊加法的計算精度與Ritz向量個數(shù)有關(guān),存在模態(tài)截斷誤差,因此,在進(jìn)行分析前,需要判斷多少階Ritz向量參與計算。文獻(xiàn)[13]分析比較了地震反應(yīng)中的模態(tài)截斷方法,但列車荷載與地震荷載形式及卓越頻率均存在差異;文獻(xiàn)[14]提出基于荷載參與系數(shù)的模態(tài)截斷指標(biāo);文獻(xiàn)[15-16]給出了基于外荷載空間分布的Ritz向量截斷指標(biāo)。對于軌道交通引起的環(huán)境振動這類計算模型很大的問題,關(guān)于模態(tài)截斷指標(biāo)的選擇,以及Ritz向量疊加法的計算效率需進(jìn)一步研究。為此,本文采用二維分析方法,首先分析了不同Ritz向量截斷指標(biāo)的截斷誤差與時程反應(yīng)峰值誤差隨Ritz向量階數(shù)的變化規(guī)律,討論不同模態(tài)截斷指標(biāo)的合理性;然后對比分析了振型疊加法和直接積分法的計算效率,通過不同激振頻率下的計算結(jié)果驗證了研究結(jié)論的適用性,所得結(jié)果可供類似分析參考。

1 模態(tài)截斷指標(biāo)

實際列車荷載引起的振動經(jīng)鋼軌、道床傳播至周圍土體,為了簡化分析,以土體為分析對象,把經(jīng)由鐵軌和路基傳至下方土體表面的荷載作為列車荷載,即列車-軌道-道床系統(tǒng)整體作為外力激勵,列車荷載作用下的土體動力反應(yīng)可簡化為二維土體單點激勵的分析模型[17],此時,N個自由度的土體結(jié)構(gòu)運動方程為:

(1)

(2)

(3)

通常,Ritz向量疊加法采用少數(shù)低階Ritz向量進(jìn)行計算,即可得到滿足計算精度要求的結(jié)果,因此計算效率高,但由此存在截斷誤差。為使截斷誤差控制在合理的范圍內(nèi),需要截取足夠的Ritz向量個數(shù)n。因此,在應(yīng)用Ritz向量疊加法計算時,需要提前判斷n的取值,目前常用的截斷方法[14-16]可以歸納為基于動力貢獻(xiàn)和基于外力分布2種。

1.1 基于動力貢獻(xiàn)截斷方法

基于動力貢獻(xiàn)Ritz向量截斷方法假定(1)式、(3)式左邊只有動力項,只有慣性力抵抗外部荷載,即

(4)

(5)

其中,M為對角矩陣。由(4)式可以得到單位荷載作用下擬加速度的精確解,由(5)式可以得到單位荷載作用下擬加速度的近似解,由此得到基于動力貢獻(xiàn)的Ritz向量截斷誤差指標(biāo)[14]可以表示為:

(6)

1.2 基于外力分布截斷方法

根據(jù)遞推迭代得到的Ritz向量矩陣Γ,外力荷載的空間分布向量S′可以表示為:

(7)

其中,aj為展開式系數(shù);M1/2為M對角元素的平方根矩陣。當(dāng)n=N時S′即為S;僅保留n個Ritz向量時,相當(dāng)于計算結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)時只考慮了荷載的部分影響。

文獻(xiàn)[15]中定義的激振力截斷誤差指標(biāo)為:

(8)

文獻(xiàn)[16]中提出的基于外荷載空間分布的截斷誤差指標(biāo)定義為:

(9)

2 模態(tài)截斷方法的影響

2.1 算例模型

二維均勻土體計算模型如圖1所示,根據(jù)文獻(xiàn)[4]結(jié)果,土體研究區(qū)域取寬50 m、深20 m的范圍,橫向邊界只約束寬度方向,底面邊界剛性約束,土體為對稱模型,取1/2土體進(jìn)行分析。

圖1 二維均勻土體模型

線彈性范圍內(nèi),列車荷載可采用Fourier變換分解為一系列簡諧函數(shù)的和[18],因此,本文將列車荷載簡化為簡諧函數(shù),即

P(t)=SAsin(2πft)

(10)

其中,A為列車峰值荷載;f為激振頻率。

土體采用二維平面單元離散,有限元模型單元劃分如圖2所示。

圖2 有限元模型單元劃分

單元的長度控制要求為:

土體密度取2 000 kg/m3,彈性模量取200 GPa,泊松比取0.35,則土體的剪切波速vs≈200 m/s。當(dāng)f取為主要的激振頻率50 Hz時,λmin=4 m,則l≤(0.5～1.0) m即可滿足要求。因此,圖2中有限元模型的單元長度均不超過1.0 m,靠近激勵點單元劃分加密,模型共包含2 376個節(jié)點,4 550個自由度。

因為列車運行產(chǎn)生的環(huán)境振動中,表面波占主要地位,所以計算模型主要分析土體表面1#到6#點的位移反應(yīng),其中1#～6#點距離荷載施加點水平距離依次為0、2、4、6、8、10 m,1#～6#點的豎向位移分別定義為體系的第1個到第6個自由度。

2.2 Ritz向量疊加法計算結(jié)果及截斷誤差分析

基于簡化的二維土體模型,考慮所有N個Ritz向量疊加,得到2個荷載周期內(nèi)1#～6#點位移時程反應(yīng)的精確解,如圖3所示。從圖3可以看出,列車荷載在土體表面衰減很快,距離激勵位置1#點水平距離為10 m的6#點峰值位移衰減到1#點的5%左右,進(jìn)一步驗證了土域范圍取值合理。

圖3 1#～6#點位移時程反應(yīng)曲線

(11)

則1#～6#點豎向位移時程反應(yīng)峰值誤差分別記為e1、e2、e3、e4、e5、e6。

各自由度誤差和截斷指標(biāo)小于5%時,n的取值見表1所列。

表1 誤差控制在5%以內(nèi)時n的取值

不同自由度的位移反應(yīng)峰值誤差e1～e6以及基于動力貢獻(xiàn)的截斷誤差D和外力分布的截斷誤差λ隨Ritz向量個數(shù)n的變化如圖4所示。

圖4 Ritz向量截斷誤差

從圖4和表1可以看出:① 1#～6#點峰值位移反應(yīng)誤差ei在前幾個Ritz向量下存在起伏,整體趨勢隨著n增加而減小,超過65個Ritz向量后峰值位移反應(yīng)誤差均低于5%且很快收斂至接近于0;② Ritz向量截斷誤差低于5%時,選取的模態(tài)階數(shù)依據(jù)D為126階,依據(jù)λ為2 600階,其截斷誤差均大于峰值位移反應(yīng)誤差,但基于λ選取的n比實際所需的多出太多,增加了大量多余的計算量,而基于D截取的n略大于實際所需的向量數(shù)目,適合作為列車荷載下Ritz向量疊加法進(jìn)行模態(tài)截斷的依據(jù)。

3 不同算法計算效率對比

為了對比不同方法的計算效率,對圖2的計算模型,分別應(yīng)用Ritz向量疊加法、振型疊加法和直接積分法進(jìn)行計算。

對于振型疊加法,考慮常阻尼比,通過計算得到不同模態(tài)截斷階數(shù)n下1#～6#點豎向峰值位移誤差ej,如圖5所示。

圖5 振型疊加法截斷誤差

從圖5可以看出,當(dāng)計算超過4 000階模態(tài)時,e1～e6都在5%以內(nèi),因此,振型疊加法可以取4 000階模態(tài)進(jìn)行時程反應(yīng)分析。

對于直接積分法,考慮經(jīng)典瑞利阻尼矩陣,根據(jù)文獻(xiàn)[8]直接積分法計算軌道交通振動的結(jié)論,可以取第1階固有頻率和荷載頻率計算瑞利阻尼系數(shù)。

Ritz向量疊加法按D<5%時計算,即計算126個Ritz向量。精確解為采用Ritz向量疊加法計算全部N個Ritz向量的分析結(jié)果。

1#點3種方法計算結(jié)果與精確解在1個荷載周期內(nèi)位移時程反應(yīng)如圖6所示,1#～6#點峰值位移結(jié)果如圖7所示。

從圖6、圖7可以看出,3種方法計算結(jié)果接近,均可滿足計算精度要求。

圖6 1#點位移時程反應(yīng)

圖7 1#～6#點峰值位移

3種方法在相同軟硬件環(huán)境下的計算時間見表2所列。

從表2可以看出，對于本文算例模型,Ritz向量疊加法僅需12 s,計算時間遠(yuǎn)小于其他2種方法,其計算效率明顯高于其他2種方法;振型疊加法計算效率最低,直接積分法計算效率居中。

表2 3種方法計算耗時對比

4 不同激振頻率計算結(jié)果

地鐵荷載頻率成分復(fù)雜,真實地鐵荷載是不同頻率成分的疊加,主要頻率范圍在30～80 Hz之間,為了驗證上述研究結(jié)論在列車荷載主要頻率范圍內(nèi)的適用性,對比分析(10)式中f為10、30、50、70、90 Hz下的計算結(jié)果。其中,D和λ與荷載頻率無關(guān),f不同取值下結(jié)果和50 Hz情況相同。ej控制在5%以內(nèi)時，n的取值見表3所列。

從表3可以看出,隨著f增大,n增加,但均略小于基于D截取的126個Ritz向量個數(shù),基于λ選取的Ritz向量個數(shù)仍比實際所需的多出太多,因此在列車荷載頻率范圍內(nèi),D適合作為模態(tài)截斷的依據(jù)。

表3 ej控制在5%以內(nèi)時n的取值

Ritz向量疊加法與直接積分法的計算效率和f無關(guān),不同f下計算耗時也與50 Hz一致,振型疊加法的計算耗時隨f的變化結(jié)果見表4所列。

從表2、表4可以看出,地鐵荷載頻率范圍內(nèi),不同f對振型疊加法計算效率影響不大,Ritz向量疊加法計算效率仍然明顯高于其他2種方法。

表4 不同f下振型疊加法計算耗時

5 結(jié) 論

本文研究Ritz向量疊加法在軌道交通引起土體振動中的應(yīng)用及相應(yīng)的Ritz向量截斷問題,首先分析模態(tài)截斷指標(biāo)和土層峰值位移反應(yīng)誤差隨向量階數(shù)的變化規(guī)律,討論不同模態(tài)截斷指標(biāo)的合理性,然后對比分析了Ritz向量疊加法、振型疊加法及直接積分法3種方法的計算效率,最后通過不同激振頻率下的計算結(jié)果驗證了研究結(jié)論的適用性。

(1) 基于動力貢獻(xiàn)的截斷指標(biāo)與Ritz向量截斷誤差的變化規(guī)律相同,且由截斷指標(biāo)所得向量數(shù)目略大于實際所需的向量,適合作為Ritz向量截斷的依據(jù)。

(2) 在計算精度基本相同的情況下,振型疊加法的計算耗時最長、直接積分法次之,Ritz向量疊加法最短。