許 娟，張 輝

（安慶師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽安慶246133）

在?3中磁場(chǎng)微極流方程組描述如下：

在無(wú)窮遠(yuǎn)處假設(shè)

其中，u(x,t)∈?3，表示未知的速度場(chǎng)；b(t,x)∈?3，表示未知的磁場(chǎng)；w(t,x)∈?3，表示微旋轉(zhuǎn)速度場(chǎng)；p(t,x)∈?，表示未知的壓力；(u0,w0,b0)是給定的初始值，且在分布意義下滿足??u0=??b0=0。

磁場(chǎng)微極流方程組是非常重要的流體力學(xué)方程組，它不僅反映了重要的物理現(xiàn)象，而且結(jié)構(gòu)上還耦合了許多重要的流體力學(xué)方程組，如（Magneto-hydrodynamics）（MHD）方程組、微極流方程組、Navier-Stokes方程組等。類似于Navier-Stokes方程組的解的情形，在文獻(xiàn)[1-2]中已經(jīng)論證了方程組在三維情形下強(qiáng)解的局部存在性與Leary-Hopf型弱解的整體存在性。一個(gè)自然的想法就是能否將Navier-Stokes方程組的一些正則性準(zhǔn)則或爆破準(zhǔn)則推廣到磁場(chǎng)微極流方程組。最近有一些文獻(xiàn)[4-8]研究了磁場(chǎng)微極流方程組弱解的正則性準(zhǔn)則和強(qiáng)解的爆破性準(zhǔn)則，但是，需要指出的是，在討論部分分量正則性準(zhǔn)則時(shí)，會(huì)出現(xiàn)許多本質(zhì)上的困難，這是由于速度場(chǎng)和磁場(chǎng)以及微旋度場(chǎng)的非線性耦合。

1 磁場(chǎng)微極流方程組的正則性準(zhǔn)則

本文的目的是討論帶有部分速度分量和磁場(chǎng)分量的正則性準(zhǔn)則。研究的動(dòng)機(jī)來(lái)源于不可壓Navier-Stokes 方程組和MHD 方程組的相關(guān)研究，文獻(xiàn)[9-10]對(duì)Navier-Stokes 方程組給出了只涉及速度場(chǎng)水平分量的正則性準(zhǔn)則：

文獻(xiàn)[11]對(duì)MHD方程組給出了涉及速度場(chǎng)和磁場(chǎng)的部分分量的正則性準(zhǔn)則：

一個(gè)自然的想法就是探討式（5）（6）能否推廣到磁場(chǎng)微極流方程組。通過(guò)能量估計(jì)的方法獲得了如下結(jié)論。

定理1假設(shè)初值(u0,w0,b0)∈H1(?3)，且在分布意義下有div u0=div b0=0，三元函數(shù)(u,w, b)是磁場(chǎng)微極流方程組(1)(2)的弱解，如果滿足

則(u,w, b)在存在區(qū)間[0,T)上是唯一的強(qiáng)解。

注1磁場(chǎng)微極流方程組在一定條件下可以退化成Navier-Stokes方程組和MHD方程組，因此定理1的結(jié)論是Navier-Stokes方程組和MHD方程組相關(guān)結(jié)果的推廣。

注2 正則性準(zhǔn)則與微旋度場(chǎng)無(wú)關(guān)，對(duì)應(yīng)的微極流方程組

在無(wú)窮遠(yuǎn)處假設(shè)

那么定理1又蘊(yùn)含著如下的正則性準(zhǔn)則。

定理2假設(shè)初值(u0,w0)∈H1(?3)，二元函數(shù)(u,w)是方程組（9）（10）的弱解，且滿足：

則(u,w)實(shí)際是存在區(qū)間[0,T)上的唯一強(qiáng)解。

注3為了簡(jiǎn)便，本文中函數(shù)的Lp范數(shù)用‖ · ‖p表示，Hs范數(shù)用‖ · ‖Hs表示，常數(shù)用C表示，它可能涉及某些已經(jīng)假定的量，如初值。

2 光滑解的先驗(yàn)估計(jì)證明

為了證明定理，先對(duì)光滑解給出如下的先驗(yàn)估計(jì)。

引理令(u,w, b)是方程組（1）（2）在[0,T)上的光滑解，若滿足條件（7）或（8），則有

證明將方程組（1）中u-方程、w-方程、b-方程分別與-Δu、w、-Δb做L2內(nèi)積，則有

下面對(duì)式（12）進(jìn)行逐項(xiàng)估計(jì)，對(duì)于I1項(xiàng)，由[9-10]并結(jié)合Ho¨lder不等式和Young不等式有

其中，指標(biāo)滿足如下條件：

其中，指標(biāo)滿足下面條件：

接著估計(jì)I2。將I2分解成2個(gè)部分：

結(jié)合Ho¨lder不等式和Young不等式將I21、I22兩項(xiàng)分別估計(jì)如下：

I2還可以這樣估計(jì)，先將I2分解成4個(gè)部分：

然后對(duì)這4項(xiàng)分別估計(jì)如下：

由于I3，I4在形式上與I2類似，所以省略兩種具體的分解方法，有

最后，我們估計(jì)I5，I6。利用Ho¨lder不等式和Young不等式有

同時(shí)利用Gagliardo-Nirenberg不等式

且通過(guò)適當(dāng)選取參數(shù)λi，i=1,2,3,…,9，并綜合上面的各式便可得到：

或者

利用Gronwall不等式，立即可以得到引理的證明。

3 正則性準(zhǔn)則的證明

由于磁場(chǎng)微極流方程組的弱解如果滿足H.da Veiga型準(zhǔn)則，則弱解是[0,T]上的強(qiáng)解。具體地說(shuō)，原保全[4]給出了如下的正則性準(zhǔn)則：

上述結(jié)果表明，方程組解的奇性可以由速度場(chǎng)單獨(dú)控制，因此只要能夠說(shuō)明在條件（7）或（8）下，速度場(chǎng)滿足式（13），則完成定理的證明。通過(guò)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的光滑過(guò)程，并結(jié)合引理的結(jié)論，可以得出當(dāng)方程組（1）（2）的弱解滿足條件（7）或（8）時(shí)，速度場(chǎng)?u ∈L∞(0,T;L2(?3))，至此完成定理的證明。

4 結(jié) 論

本文研究了磁場(chǎng)微極流方程組的正則性準(zhǔn)則問(wèn)題，利用能量估計(jì)的方法證明了速度場(chǎng)和磁場(chǎng)的水平方向滿足條件

時(shí)，弱解在(0,T]上便是唯一的強(qiáng)解。結(jié)果表明，可以僅通過(guò)部分的速度場(chǎng)和磁場(chǎng)的分量來(lái)控制方程的奇性發(fā)展，這個(gè)結(jié)果展示了微旋度場(chǎng)似乎是一個(gè)“好”的物理量。