呂輝 楊坤 黃曉婷 袁煜 李沛航

(1.華南理工大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣東 廣州 510640；2.華南理工大學(xué)廣州學(xué)院 汽車與交通工程學(xué)院， 廣東 廣州 510800)

動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)(Powertrain Mounting System，PMS)是汽車結(jié)構(gòu)的重要組成部分。受制造工藝、測(cè)量誤差和材料老化等的影響，PMS的參數(shù)在工程實(shí)際中不可避免地存在著不確定性[1]，因而很有必要開展含參數(shù)不確定性的PMS可靠性與優(yōu)化設(shè)計(jì)研究。

針對(duì)PMS存在的參數(shù)不確定性，謝展[2]基于隨機(jī)模型和拉丁超立方抽樣對(duì)PMS進(jìn)行了多目標(biāo)穩(wěn)健性設(shè)計(jì)；時(shí)培成等[3]基于隨機(jī)模型和蒙特卡洛法提出了一種PMS的穩(wěn)健性設(shè)計(jì)方法。Cai等[4]將PMS不確定參數(shù)視為區(qū)間變量，基于切比雪夫多項(xiàng)式和頂點(diǎn)法，提出了一種PMS固有特性區(qū)間響應(yīng)的數(shù)值分析與優(yōu)化方法；此外，Wu[5]基于區(qū)間模型對(duì)PMS的固有特性進(jìn)行了區(qū)間穩(wěn)健性優(yōu)化。

目前關(guān)于不確定條件下的PMS設(shè)計(jì)研究主要基于隨機(jī)或區(qū)間模型開展，可能還存在一些關(guān)鍵問題需解決。一方面，汽車結(jié)構(gòu)可能還存在模糊不確定性[6]。模糊性是指客觀事物差異的中間過渡中的“不分明性”。例如，在對(duì)PMS參數(shù)取值進(jìn)行合理匹配時(shí)，合理與不合理之間是模糊的，二者之間并不存在絕對(duì)明確的分界線，即是不確定的。諸如此類的不確定情形難以運(yùn)用現(xiàn)有的隨機(jī)和區(qū)間方法處理。另一方面，為使不確定條件下的PMS優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)一步完善和系統(tǒng)化，很有必要探討其他不確定情形下的PMS可靠性分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)，使得工程師能根據(jù)工程實(shí)際選擇更為合適的分析方法。

模糊理論是在美國(guó)著名自動(dòng)控制專家Zadeh[7]提出的模糊集合的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。目前，模糊理論已在熱傳遞分析[8]和制動(dòng)尖叫[6]等工程領(lǐng)域中得到有效應(yīng)用，但尚未應(yīng)用于PMS的分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)。有鑒于此，文中開展了含模糊不確定性的PMS固有特性的可靠性分析與優(yōu)化，以期為具有模糊特性的汽車PMS設(shè)計(jì)提供理論參考和工程指導(dǎo)。

1 PMS的固有特性

1.1 固有頻率

圖1給出了某橫置前驅(qū)汽車的PMS動(dòng)力學(xué)六自由度模型[2]。圖中，G0為動(dòng)力總成質(zhì)心，Ei為懸置元件的彈性中心，ui、vi和wi(i=1,2,…，N為懸置個(gè)數(shù))分別為懸置元件的主軸方向。

圖1 PMS動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Dynamical model of a PMS

系統(tǒng)振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)微分方程為

(1)

φj=[(φj)1,(φj)2,…,(φj)6]T。

1.2 解耦率

當(dāng)系統(tǒng)以第j階固有頻率fj和振型φj振動(dòng)時(shí)，第k個(gè)廣義坐標(biāo)占系統(tǒng)總能量的百分比[9]為

(2)

式中，(φj)k和(φj)l分別為φj的第k和l個(gè)分量，Mkl為質(zhì)量矩陣第k行第l列的元素。

與第j階模態(tài)對(duì)應(yīng)的解耦率定義為

(3)

當(dāng)dj=100%時(shí)，系統(tǒng)第j階振動(dòng)的能量都集中在第k個(gè)廣義坐標(biāo)上，該階振動(dòng)完全解耦。

2 PMS的模糊不確定性分析與優(yōu)化

對(duì)于參數(shù)樣本信息具有模糊特性的情形，可采用模糊變量[10]對(duì)其進(jìn)行描述。

(4)

圖2 三角模糊變量的隸屬度函數(shù)Fig.2 Membership function of triangular fuzzy variables

(5)

隸屬度從1到0變化時(shí)，對(duì)應(yīng)的水平截集取值范圍在變量主值附近由小逐漸增大，反映了參數(shù)在其名義值附近逐漸發(fā)生變化的過渡狀態(tài)。

(6)

(7)

2.1 模糊-蒙特卡洛法

FMCM需要抽取足夠多的樣本數(shù)量來獲得較為精確的響應(yīng)結(jié)果，計(jì)算效率往往較低。因此，有必要探尋另一種相對(duì)高效的數(shù)值方法。

2.2 模糊攝動(dòng)-中心差分法

(8)

(9)

式中，ΔXp為一個(gè)趨近于0的微小增量,ΔXp=[0,…,ΔXp,…,0]T。

(10)

(11)

2.3 模糊可靠性分析與優(yōu)化

(12)

(13)

(14)

(15)

對(duì)于PMS解耦率，一般僅要求其下界大于某一值。根據(jù)式(12)、(14)和(15)，同理可得解耦率響應(yīng)的模糊可靠度η(dj)。

傳統(tǒng)的可靠性分析[8]只關(guān)注“最壞情況”，可靠度值僅為0或1。這種評(píng)價(jià)方式忽略了響應(yīng)區(qū)間的過渡信息，結(jié)果過于保守。文中引入的模糊可靠性分析有效利用了區(qū)間的過渡信息，求得的可靠度可介于0和1之間。

當(dāng)PMS固有特性響應(yīng)不滿足設(shè)計(jì)要求時(shí)，需對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化。文中將優(yōu)化目標(biāo)設(shè)為最大化解耦率的加權(quán)值，優(yōu)化約束設(shè)為固有特性的模糊可靠度不小于給定值，設(shè)計(jì)變量定義為模糊變量的主值，因此，PMS的模糊可靠性優(yōu)化模型可表示為

(16)

s.t.

基于FMCM求解上述優(yōu)化模型會(huì)出現(xiàn)多層嵌套，而基于FPCDM可有效避免優(yōu)化嵌套，進(jìn)而提高優(yōu)化效率?；贔PCDM的PMS模糊可靠性優(yōu)化流程如圖3所示。

3 應(yīng)用分析

3.1 PMS模型

文中以某四缸橫置發(fā)動(dòng)機(jī)三點(diǎn)懸置系統(tǒng)為例進(jìn)行應(yīng)用分析，且僅選取懸置剛度為研究參數(shù)。懸置初始剛度ku、kv和kw如表1所示。

3.2 PMS固有特性計(jì)算

PMS中懸置剛度參數(shù)的設(shè)計(jì)值與實(shí)測(cè)值之間的誤差往往并非穩(wěn)定在某個(gè)確定值[14]，而是可能處在一個(gè)過渡變化的范圍。此外，由于測(cè)試數(shù)據(jù)樣本有限，用隨機(jī)模型描述其不確定性并不一定準(zhǔn)確，采用區(qū)間模型描述則會(huì)完全忽略已知的部分樣

圖3 PMS優(yōu)化流程圖Fig.3 Flow chart of optimization of PMS

表1 懸置剛度取值Table 1 Stiffness values of mounts

本信息。因此，文中將懸置剛度視為模糊變量進(jìn)行研究。

由FMCM和FPCDM求得的系統(tǒng)固有特性模糊響應(yīng)如圖4所示。

圖的模糊響應(yīng)

當(dāng)抽樣次數(shù)足夠多時(shí)，蒙特卡洛法能達(dá)到非常高的計(jì)算精度，因而很多研究將其作為參考方法[15]。為了驗(yàn)證FPCDM計(jì)算的有效性，文中以FMCM求得的結(jié)果作為參考，用于評(píng)價(jià)FPCDM的計(jì)算精度。

FPCDM計(jì)算得到的相對(duì)誤差er表示為

(17)

式中，yFMCM為FMCM求得的值，yFPCDM為FPCDM求得的值。

根據(jù)式(17)，將圖4所示計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)化為FPCDM計(jì)算得到的相對(duì)誤差曲線，如圖5所示。

隸屬度值“1”左側(cè)表示區(qū)間下界對(duì)應(yīng)的隸屬度， 隸屬度值“1”右側(cè)表示區(qū)間上界對(duì)應(yīng)的隸屬度

總體而言，無論是固有頻率還是解耦率，F(xiàn)PCDM計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差均小于5%，在工程可接受的精度范圍內(nèi)。因此，F(xiàn)MCM和FPCDM的求解結(jié)果具有較好的一致性，即FPCDM的計(jì)算精度能滿足一般工程需求。

此外，在計(jì)算效率方面，同一臺(tái)計(jì)算機(jī)上求解固有特性響應(yīng)的離散區(qū)間，F(xiàn)MCM用時(shí)33 043.4 s，而FPCDM僅用時(shí)15.2 s，說明FPCDM具有很高的計(jì)算效率。

綜上所述，文中提出的FPCDM在求解PMS固有特性的模糊響應(yīng)時(shí)具有良好的計(jì)算精度和較高的計(jì)算效率，因此可用于后續(xù)優(yōu)化研究。

3.3 PMS模糊可靠性分析與優(yōu)化

表2 優(yōu)化前的模糊可靠度Table 2 Fuzzy reliabilities before optimization

s.t.

根據(jù)圖3的優(yōu)化流程，采用遺傳算法對(duì)該模型進(jìn)行可靠性優(yōu)化。優(yōu)化后的剛度參數(shù)如表3所示，優(yōu)化后固有特性滿足設(shè)計(jì)要求的模糊可靠度如表4所示。圖6給出了優(yōu)化前后固有特性模糊響應(yīng)曲線的對(duì)比。

表3 優(yōu)化后的懸置剛度Table 3 Stiffness of mounts after optimization

表4 優(yōu)化后的模糊可靠度Table 4 Fuzzy reliabilities after optimization

圖6 優(yōu)化前后的響應(yīng)對(duì)比

4 結(jié)論

文中針對(duì)汽車PMS存在模糊不確定性的情形，推導(dǎo)了求解系統(tǒng)固有特性模糊響應(yīng)的FMCM和FPCDM方法，并基于FPCDM提出了PMS固有特性的模糊可靠性分析與優(yōu)化方法。分析結(jié)果表明：1)以FMCM為參考，F(xiàn)PCDM能高效地求解PMS固有特性的模糊響應(yīng)，且具有較高的計(jì)算精度，說明FPCDM可有效應(yīng)用于優(yōu)化設(shè)計(jì)研究；2)所提出的可靠性分析與優(yōu)化方法能有效分析PMS固有特性響應(yīng)滿足設(shè)計(jì)要求的模糊可靠度，并能可靠地優(yōu)化PMS的模糊響應(yīng)。