趙騰飛，包 華，張 雷，楊垂瑋，周 賀，黃模佳*

(1.南昌大學(xué)工程力學(xué)系，南昌 330031；2.中國(guó)能源建設(shè)集團(tuán)安徽省電力設(shè)計(jì)院有限公司，合肥 230601)

特高壓(ultra high voltage,UHV)輸電線路中的導(dǎo)線多屬于懸索結(jié)構(gòu)，具有高柔性、大位移及非線性的特點(diǎn)[1-3]。導(dǎo)線弧垂是高壓架空輸電線路設(shè)計(jì)施工階段的重要參數(shù)之一，導(dǎo)線弧垂的大小直接影響到輸電線路的安全穩(wěn)定運(yùn)行，因此架空電線弧垂的設(shè)計(jì)是整個(gè)架空電線設(shè)計(jì)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)[4-6]。在以往高壓架空輸電線路設(shè)計(jì)中，文獻(xiàn)[7]通過(guò)懸鏈線法計(jì)算架空線的導(dǎo)線弧垂，但是僅針對(duì)未聯(lián)有耐張串的架空輸電線。對(duì)于聯(lián)有耐張絕緣子串的導(dǎo)線弧垂計(jì)算設(shè)計(jì)人員通常采用簡(jiǎn)支梁法，該方法存在假定，如將耐張絕緣子串假定為直棒形狀，耐張串的長(zhǎng)度近似為在兩懸掛點(diǎn)連線(斜檔距)上的投影長(zhǎng)度，以及耐張串和導(dǎo)線單位長(zhǎng)度自重沿導(dǎo)線兩端連線均勻分布，在耐張絕緣子串串長(zhǎng)和串重較大的特高壓線路中，這對(duì)導(dǎo)線弧垂的計(jì)算勢(shì)必會(huì)產(chǎn)生誤差[8-9]。文獻(xiàn)[10-11]采用有限單元方法對(duì)懸鏈線的線性及內(nèi)力進(jìn)行分析研究；文獻(xiàn)[12]研究了具有剛性端部的懸鏈線，并給出懸鏈線的形狀；文獻(xiàn)[13-16]研究了懸鏈線懸索的受力及成形的形式；文獻(xiàn)[17-19]對(duì)懸鏈線的成形方法進(jìn)行研究，給出相應(yīng)的計(jì)算方法。目前，對(duì)懸鏈線成形及受力的研究[12-21]僅考慮了懸鏈線為均勻密度分布，未考慮懸鏈線兩端存在不同密度懸鏈線的情況(兩端存在耐張串)。

根據(jù)耐張塔位置的不同，線路檔可分為孤立檔和連續(xù)檔兩種。孤立檔是指中間沒(méi)有直線塔兩端均為耐張塔的檔距，而連續(xù)檔則是在耐張塔中間存在著直線塔的檔距，兩耐張塔間全部檔距構(gòu)成一個(gè)耐張段，在考慮耐絕緣子串計(jì)算導(dǎo)線弧垂時(shí)，分為一端聯(lián)有耐張絕緣子串時(shí)導(dǎo)線弧垂計(jì)算和兩端聯(lián)有耐張絕緣子串時(shí)導(dǎo)線弧垂計(jì)算兩種情況。雖然考慮耐張串影響計(jì)算連續(xù)檔中耐張串相鄰檔導(dǎo)線弧垂的相關(guān)計(jì)算方法已有很多，但鮮有采用懸鏈線法進(jìn)行導(dǎo)線弧垂計(jì)算的文獻(xiàn)，而部分涉及孤立檔導(dǎo)線弧垂計(jì)算的文獻(xiàn)[22]計(jì)算過(guò)程過(guò)于簡(jiǎn)單，計(jì)算結(jié)果誤差較大。為了提高特高壓線路設(shè)計(jì)中導(dǎo)線弧垂計(jì)算的精確性，通過(guò)懸鏈線理論對(duì)導(dǎo)線和耐張串進(jìn)行分析，推導(dǎo)出導(dǎo)線弧垂的理論計(jì)算表達(dá)式，給出一種特高壓線路設(shè)計(jì)的新思路，具有一定的指導(dǎo)意義。

1 利用平衡條件建立導(dǎo)線和耐張串控制方程

在輸電線路上除了導(dǎo)線及耐張絕緣子串自重外，檔中一般不存在其他荷載。導(dǎo)線所受均布荷載時(shí)一般分為兩種形式，當(dāng)均布荷載沿著導(dǎo)線弦線均勻分布時(shí)導(dǎo)線呈拋物線形狀；當(dāng)均布荷載沿著導(dǎo)線的弧長(zhǎng)均勻分布時(shí)導(dǎo)線呈懸鏈線形狀。理論分析結(jié)果表明當(dāng)導(dǎo)線的垂度越小兩種形式的差別也就越小[23-24]，為了準(zhǔn)確計(jì)算出導(dǎo)線弧垂，采用將導(dǎo)線的形狀視為懸鏈線的方法進(jìn)行分析。采用簡(jiǎn)化的力學(xué)模型進(jìn)行分析，做以下假定。

(1)導(dǎo)線為既不能受壓也不可受彎的理想柔性材料，耐張串呈懸鏈線形狀，材料性質(zhì)和導(dǎo)線等同。

(2)導(dǎo)線和耐張串上無(wú)集中荷載。

(3)忽略導(dǎo)線和耐張串的橫截面面積及其自重在外荷載作用下的微小變化量[25-26]。

(4)導(dǎo)線與耐張絕緣子串連接處切線斜率相等，張力大小一樣。

首先推導(dǎo)出懸鏈線一般方程，懸鏈線受力示意圖如圖1所示，懸索線在X和Z方向受力的平衡方程分別為

φ為張力V與X軸的夾角；ρ為懸鏈線的密度；S為懸鏈線的弧長(zhǎng)；φ0為張力U與X軸的夾角；x為懸鏈線在X軸的投影長(zhǎng)度圖1 懸鏈線受力示意圖Fig.1 Schematic diagram of catenary force

(1)

曲線積分公式為

(2)

由式(1)平衡方程可得

(3)

(4)

則導(dǎo)線切線方程為

(5)

式中：U為導(dǎo)線的左端拉力；V為右端拉力；導(dǎo)線左端原點(diǎn)切線的斜率為tanφ0；導(dǎo)線右端切線的斜率為tanφ；ρ為導(dǎo)線單位長(zhǎng)度的質(zhì)量；S為導(dǎo)線在x長(zhǎng)度上的弧長(zhǎng)。

式(4)、式(5)對(duì)x求導(dǎo)，得

(6)

兩邊積分得

(7)

式(7)中：C1為任意的某個(gè)常數(shù)。

(8)

arcsh(tanφ0)=C1

(9)

聯(lián)合式(7)和式(9)，得

(10)

式(10)積分，得

(11)

式(11)中：C2為任意的某個(gè)常數(shù)。

考慮到z|x=0=0，得

(12)

將式(12)代入式(11)，得

(13)

令

(14)

式(14)中：k為簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程中的替換變量。

則z的積分公式為

(15)

懸鏈線長(zhǎng)度S為

(16)

2 聯(lián)有耐張串導(dǎo)線弧垂的計(jì)算方法研究

當(dāng)導(dǎo)線聯(lián)有耐張絕緣子串后，由于耐張絕緣子串單位長(zhǎng)度自重比導(dǎo)線單位長(zhǎng)度自重大得多，此時(shí)耐張串的狀態(tài)可以等效于懸鏈線，利用導(dǎo)線和耐張串接點(diǎn)處的一致性，即導(dǎo)線和耐張串接點(diǎn)處的切線相同，張力大小也相同，通過(guò)連續(xù)性條件求解出聯(lián)有耐張絕緣子串導(dǎo)線弧垂的精確解。

2.1 一端聯(lián)有耐張串導(dǎo)線弧垂的計(jì)算

連續(xù)檔耐張段可分為含三擋及其以上的長(zhǎng)連續(xù)檔耐張段和“耐-直-耐”耐張段兩種[27]，文獻(xiàn)[27-28]驗(yàn)證了耐張串對(duì)連續(xù)檔耐張段中耐張塔相鄰檔弧垂的影響，說(shuō)明了計(jì)算導(dǎo)線弧垂時(shí)考慮耐張串的必要性。為了便于分析，先建立導(dǎo)線一端聯(lián)有耐張串絕緣子的數(shù)學(xué)模型，如圖2所示，A、E為其中一檔導(dǎo)線兩懸掛點(diǎn)，AD為導(dǎo)線，DE為耐張絕緣子串，B為檔距中點(diǎn)處在導(dǎo)線上一點(diǎn)，C為導(dǎo)線上最低點(diǎn)。

h為懸鏈線A點(diǎn)到X軸的垂直距離；f為懸鏈線中點(diǎn)弧垂值；f1為懸鏈線弧垂最低點(diǎn)到X軸的垂直距離；f2為耐張串D點(diǎn)到X軸的垂直距離；ρ1、S1為懸鏈線ABCD的密度和弧長(zhǎng)，ρ2、S2為耐張串DE的密度和弧長(zhǎng)；L1為懸鏈線弧垂最低點(diǎn)到懸鏈線A點(diǎn)的水平距離；L2為懸鏈線弧垂最低點(diǎn)到懸鏈線B點(diǎn)的水平距離；L為懸鏈線ABCDE的水平距離，a為耐張串D點(diǎn)到 E點(diǎn)的水平距離；θ為懸鏈線A、E點(diǎn)連線與X軸的夾角圖2 導(dǎo)線一端聯(lián)有耐張串絕緣子的模型Fig.2 Model of strain string insulator at one end of conductor

取導(dǎo)線最低點(diǎn)C點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)進(jìn)行分析，此時(shí)φ0=0，由式(15)得

(17)

對(duì)導(dǎo)線局部進(jìn)行分析,如圖3所示。

SCD為懸鏈線CD的弧長(zhǎng)圖3 導(dǎo)線部分受力示意圖Fig.3 Part force schematic diagram of wire

當(dāng)x=L1時(shí)，得

(18)

當(dāng)x=L2-a時(shí)，得

(19)

對(duì)隔離體CD導(dǎo)線進(jìn)行受力分析，其中導(dǎo)線CD長(zhǎng)度為

(20)

(21)

則

(22)

再對(duì)隔離體DE耐張絕緣子串進(jìn)行受力分析，此時(shí)取D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖4所示。

圖4 耐張絕緣子串受力示意圖Fig.4 Force diagram of anti-tensor insulator string

此時(shí)

(23)

式(23)中：k1為簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程中的替換變量。

由式(16)對(duì)隔離體DE絕緣子串弧長(zhǎng)積分，得

(24)

此時(shí)x=a，有

(25)

結(jié)合式(18)、式(19)、式(24)及式(25)，求解出未知數(shù)f1、f2、L2、a，即得到導(dǎo)線檔距中央弧垂f，如式(26)所示:

(26)

式(26)中:zBC為懸鏈線中B點(diǎn)和C點(diǎn)間的垂直距離，計(jì)算表達(dá)式為

(27)

2.2 兩端聯(lián)有耐張串導(dǎo)線弧垂計(jì)算

孤立檔由于兩端均為耐張塔，所以檔內(nèi)兩端都聯(lián)有耐張絕緣子串，同樣為了便于分析，先建立導(dǎo)線兩端聯(lián)有耐張絕緣子串的數(shù)學(xué)模型，如圖5所示，A、F為兩懸掛點(diǎn)，C為檔距中心處在導(dǎo)線上一點(diǎn)，D為導(dǎo)線最低點(diǎn)，AB和EF為耐張絕緣子串，BE為導(dǎo)線部分。

f3為懸鏈線弧垂最低點(diǎn)到X軸的垂直距離；a2為耐張串E、F點(diǎn)的水平距離圖5 導(dǎo)線兩端聯(lián)有耐張絕緣子串的模型Fig.5 Model of anti-tensor insulator strings connected at both ends of conductor

首先對(duì)其中隔離體BD及DE導(dǎo)線部分進(jìn)行分析，如圖6所示，此時(shí)φ0=0，利用式(15)、式(16)得以下公式。

圖6 導(dǎo)線部分受力示意圖Fig.6 Force diagram of anti-tensor insulator string

當(dāng)x=L1-a1時(shí)，有

(28)

式(28)中：SBD為懸鏈線BD的弧長(zhǎng)。

(29)

當(dāng)x=L2-a2，有

(30)

式(30)中：SDE為懸鏈線DE的弧長(zhǎng)。

(31)

根據(jù)力的平衡方程，有

(32)

(33)

式中：V1、V2分別為懸鏈線B點(diǎn)、E點(diǎn)的張力，α1、α2分別為懸鏈線B點(diǎn)、E點(diǎn)的切線與X軸的夾角。

則

對(duì)隔離體AB、EF耐張絕緣子串進(jìn)行受力分析,如圖7所示，利用式(14)對(duì)隔離體AB和EF絕緣子串弧長(zhǎng)積分，得

圖7 耐張絕緣子串受力示意圖Fig.7 Force diagram of anti-tensor insulator string

(34)

(35)

當(dāng)x=a1，有

(36)

當(dāng)x=a2，有

(37)

結(jié)合式(29)、式(31)、式(34)～式(37)，求解出未知數(shù)f1、f2、f3、L2、a1、a2，即得到導(dǎo)線檔距中央弧垂f為

(38)

式(38)中：zCD為懸鏈線C點(diǎn)和D點(diǎn)間的垂直距離，計(jì)算表達(dá)式為

(39)

2.3 懸鏈線法的驗(yàn)證

為了驗(yàn)證懸鏈線法計(jì)算弧垂推導(dǎo)過(guò)程和結(jié)果的準(zhǔn)確性，假設(shè)耐張絕緣子串單位長(zhǎng)度質(zhì)量和導(dǎo)線單位長(zhǎng)度質(zhì)量相等，則此時(shí)導(dǎo)線一端聯(lián)有耐張絕緣子串和兩端聯(lián)有耐張絕緣子串計(jì)算得到的檔距中央弧垂相等，且等于無(wú)耐張串時(shí)導(dǎo)線檔距中央弧垂。

先利用懸鏈線法推導(dǎo)無(wú)耐張串導(dǎo)線弧垂，如圖8所示，A、D為兩懸掛點(diǎn)，B為導(dǎo)線中點(diǎn)，C為導(dǎo)線最低點(diǎn)。

圖8 導(dǎo)線示意圖Fig.8 Conductor diagram

由式(17)可得

(40)

(41)

f1=f2+h

(42)

根據(jù)式(40)～式(42)平衡方程求解出3個(gè)未知量f1、f2、a，則

(43)

式(43)中：zBC為懸鏈線B點(diǎn)和C點(diǎn)間的垂直距離，計(jì)算表達(dá)式為

(44)

為了驗(yàn)證公式的正確性，令導(dǎo)線與絕緣子串的密度相同(即ρ1=ρ2)，設(shè)高差為10 m，耐張串串長(zhǎng)為20 m，導(dǎo)線單位長(zhǎng)度重量為40 N/m，驗(yàn)證有無(wú)絕緣子串的計(jì)算結(jié)果是否相同，則導(dǎo)線弧垂計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 懸鏈線法計(jì)算導(dǎo)線弧垂驗(yàn)證Table 1 Verification of catenary method for calculating sag of conductor

表1數(shù)據(jù)表明，當(dāng)ρ1=ρ2時(shí)，有無(wú)絕緣子串的計(jì)算結(jié)果是相同的，證明利用懸鏈線法計(jì)算導(dǎo)線弧垂的公式是正確無(wú)誤的，可以用于和簡(jiǎn)支梁法計(jì)算導(dǎo)線弧垂進(jìn)行對(duì)比分析。

3 懸鏈線法和簡(jiǎn)支梁法差異比較

簡(jiǎn)支梁法計(jì)算一端聯(lián)有耐張串時(shí)檔距中央弧垂公式為

(45)

兩端聯(lián)有耐張絕緣子串孤立檔的檔距中央弧垂計(jì)算公式為

(46)

式中：λ為耐張絕緣子串長(zhǎng)度，m；L為懸鏈線的水平距離；ω0為耐張串單位長(zhǎng)度所受質(zhì)量，N/m；ω為導(dǎo)線單位長(zhǎng)度所受質(zhì)量，N/m；F為導(dǎo)線最低點(diǎn)所受水平張力，N；h為檔內(nèi)兩端導(dǎo)線懸掛點(diǎn)高，m；θ為線檔兩端掛點(diǎn)高差角，°。

取特高壓直流線路上處于典型氣象區(qū)為參照，選取導(dǎo)線型號(hào)的氣象條件為氣溫15 ℃，耐張串絕緣子串長(zhǎng)度為18.26 m，質(zhì)量為7 291 kg。選取500 m為耐張段的代表檔距，高差為15 m。

3.1 氣象條件和設(shè)計(jì)參數(shù)

(1)導(dǎo)線型號(hào):導(dǎo)線采用JL1/G2A-1250 /100 鋼芯鋁絞線，安全系數(shù)2.5，單位長(zhǎng)度質(zhì)量4.25 kg/m，平均運(yùn)行張力占拉斷力比值25%。

(2)氣象條件:基本風(fēng)速27 m/s，覆冰15 mm，年平均氣溫15 ℃，最低氣溫-15 ℃，最高氣溫40 ℃。

(3)耐張串:選用串長(zhǎng)18.26 m(孤立檔時(shí)設(shè)兩端耐張串串長(zhǎng)相等)、串重7 291 N的耐張絕緣子串。

3.2 檔距中央弧垂計(jì)算表達(dá)式

架空工況取15 ℃，選取500 m為耐張段的代表檔距。采用簡(jiǎn)支梁法和懸鏈線法分別計(jì)算不同檔距下一端和兩端聯(lián)有耐張絕緣子串的檔距中央導(dǎo)線弧垂，計(jì)算結(jié)果如表2、表3所示。

表2 不同檔距下的連續(xù)檔耐張段內(nèi)耐張塔相鄰檔弧垂對(duì)比Table 2 Comparison of the conductor sag of tension tower in continuous stage tension section of different spans

表3 不同檔距下的孤立檔竣工弧垂對(duì)比Table 3 Comparison of isolated span conductor sag in different spans

從表2、表3可以看出，不論是連續(xù)檔耐張段內(nèi)耐張塔相鄰檔還是孤立檔利用2.1節(jié)和2.2節(jié)中懸鏈線法計(jì)算導(dǎo)線弧垂和簡(jiǎn)支梁法計(jì)算導(dǎo)線弧垂所得的弧垂值基本一致，差值較小。對(duì)于連續(xù)檔耐張段內(nèi)耐張塔相鄰檔，當(dāng)超過(guò)一定檔距后，其中弧垂差值隨著檔距的增大隨之增大，且高差越大，弧垂差值也越大；而對(duì)于孤立檔，當(dāng)超過(guò)一定檔距后，其中弧垂差值隨著檔距的增大也隨之增大，而高差對(duì)弧垂差值幾乎無(wú)影響。

3.3 檔距中央弧垂與工程測(cè)量結(jié)果的對(duì)比

利用全站儀對(duì)4基耐張塔相鄰檔導(dǎo)線弧垂進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量，如圖9所示。

圖9 弧垂測(cè)量現(xiàn)場(chǎng)Fig.9 Sag measurement site

采用懸鏈線法對(duì)現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量的4基耐張塔相鄰檔導(dǎo)線弧垂進(jìn)行計(jì)算，基準(zhǔn)溫度均選取本次現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量時(shí)溫度。計(jì)算值與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)值進(jìn)行對(duì)比結(jié)果，如表4所示。根據(jù)表4的對(duì)比結(jié)果，懸鏈線法與實(shí)測(cè)結(jié)果最大相差1.97%，理論計(jì)算精確度高，證明了懸鏈線法計(jì)算兩端聯(lián)有耐張絕緣子串導(dǎo)線弧垂的可靠性。

表4 檔距中央弧垂對(duì)比Table 4 Sag comparison of center span

4 結(jié)論

利用懸鏈線模型的平衡條件建立導(dǎo)線和耐張串控制方程，并進(jìn)一步建立導(dǎo)線一端和兩端分別聯(lián)有耐張串絕緣子的數(shù)學(xué)計(jì)算模型，推導(dǎo)得到相應(yīng)導(dǎo)線弧垂的理論計(jì)算方法，并結(jié)合工程實(shí)際，得到以下結(jié)論。

(1)通過(guò)與工程實(shí)際結(jié)合，驗(yàn)證了懸鏈線法導(dǎo)線弧垂的理論計(jì)算公式的正確性，為一端或兩端聯(lián)有耐張絕緣子串導(dǎo)線弧垂的計(jì)算提供了一種更符合實(shí)際的方法。

(2)在檔距較大且高差較大的情況下，通過(guò)與簡(jiǎn)支梁法的計(jì)算結(jié)果比較，推導(dǎo)得到的導(dǎo)線弧垂的理論計(jì)算公式，對(duì)一端或兩端聯(lián)有耐張絕緣子串導(dǎo)線弧垂的計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確。

(3)提出的聯(lián)有耐張絕緣子串導(dǎo)線弧垂的計(jì)算公式更加符合實(shí)際情況，通過(guò)對(duì)比分析驗(yàn)證了其正確性及可行性，具有一定的工程參考價(jià)值。