孫傳慶

(常州信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 常州 213164)

0 引 言

伺服電機由于具有高速和高可靠性等特點而被廣泛應(yīng)用于各種高精度場合，包括高精密數(shù)控機床、微電子器件、工業(yè)機器人等[1]。永磁直線同步電機(Permanent Magnet Linear Synchronous Motor, PMLSM)采用高性能永磁體，工作時表現(xiàn)出損耗低、推力高、響應(yīng)快等特點，具有廣泛的應(yīng)用范圍。在驅(qū)動伺服系統(tǒng)時，永磁直流同步電機設(shè)計時除去螺桿、齒輪等零件，因此使得系統(tǒng)在運行時具有較好的靈敏度和反應(yīng)速度。然而這種直接驅(qū)動系統(tǒng)的方式會在伺服系統(tǒng)的負載擾動、參數(shù)攝動、非線性擾動等因素作用下對PMLSM的靜、動態(tài)特性產(chǎn)生一定程度的影響，同時還受到齒槽效應(yīng)以及端部效應(yīng)等因素的局限，導(dǎo)致系統(tǒng)控制變得愈加困難[2-3]。因此，為有效改善PMLSM位置跟蹤的準確性，在進行系統(tǒng)設(shè)計時需要認真選擇控制器，從而減弱影響系統(tǒng)運行的不確定因素的作用效果[4]。

由于PMLSM通常被應(yīng)用于執(zhí)行重復(fù)任務(wù)，因此具有周期性重復(fù)性的擾動會對系統(tǒng)造成極大地影響[5]。迭代學(xué)習(xí)控制(Iterative Learning Control, ILC)是一種針對重復(fù)運行系統(tǒng)的前饋控制方法，這種控制方法工作時能夠直接對被控對象進行精確跟蹤，從而略去了被控對象的精確數(shù)學(xué)模型，具有極強的魯棒性，可以實現(xiàn)有限區(qū)間內(nèi)的完全跟蹤，因此受到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注[6]。對于P型、PD型和PID性迭代學(xué)習(xí)控制，其參數(shù)的選取需要采用試湊法，這就需要依照設(shè)計者經(jīng)驗而選取，費時費力。文獻[7]設(shè)計了基于奇異值分解的PID型參數(shù)優(yōu)化迭代學(xué)習(xí)控制方法，優(yōu)化了系統(tǒng)參數(shù)，從而提高了系統(tǒng)的性能。文獻[8]設(shè)計了魯棒迭代學(xué)習(xí)控制器優(yōu)化傳統(tǒng)的ILC，通過引入μ分析框架，有效的提高了系統(tǒng)的收斂速度，但其方法設(shè)計過程較為復(fù)雜。文獻[9]將遺傳算法與PID型ILC相結(jié)合，保證了系統(tǒng)的單調(diào)收斂，且具有較好的迭代效果。文獻[10]將IIR線性濾波器與ILC相結(jié)合，針對系統(tǒng)輸出誤差中的不確定性部分，首先采用IIR濾波器對其進行濾波，獲得其遞推表達式，在此基礎(chǔ)上設(shè)計迭代學(xué)習(xí)控制器，實驗結(jié)果證明該方法減少隨機擾動累積，保證了系統(tǒng)的魯棒性。

為解決PMLSM伺服系統(tǒng)執(zhí)行重復(fù)性任務(wù)時易受不確定性擾動影響的問題，同時避免PID型ILC參數(shù)選取困難的情況，設(shè)計一種將分數(shù)階微積分理論與PID型ILC相結(jié)合的分數(shù)階迭代學(xué)習(xí)控制(Fractional-order Iterative Learning Controller , FO-ILC)方法。FO-ILC兼顧了二者的優(yōu)點，相對于一階ILC來說，F(xiàn)O-ILC新增了兩個可調(diào)參數(shù)，從而擴大了參數(shù)的整定范圍，實現(xiàn)對被控對象的靈活控制，進而改善伺服系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)定性。實驗結(jié)果表明，該方法切實可行，提高了系統(tǒng)的收斂速度和位置跟蹤精度。

1 PMLSM數(shù)學(xué)模型

在構(gòu)建PMLSM的d-q坐標教學(xué)模型前，應(yīng)先做出這幾種假設(shè)：

(1)氣隙分布足夠均勻；

(2)無鐵心飽和；

(3)無齒槽效應(yīng)和端部效應(yīng)；

(4)無磁滯損耗以及渦流損耗；

(5)三相繞組處于對稱關(guān)系并且分布均勻；

(6)僅考慮初級磁動勢的基波分量，其空載反電動勢為正弦。

在上述假設(shè)的基礎(chǔ)上，在磁場定向控制下，PMLSM電壓方程為

(1)

(2)

λq=Lqiq

(3)

λd=Ldid+λPm

(4)

ωe=npωr

(5)

式中，vd和vq分別為d軸和q軸電壓；id和iq分別為d軸和q軸電流；Rs為相繞組；Ld和Lq分別為d軸和q軸電感；ωr為動子角速度且ωr=πv/，為極距；ωe為電角速度；λPM為永磁體磁鏈；np為極對數(shù)。

PMLSM電磁推力方程為

Fe=Kfiq

(6)

Kf=3πnpλPM/2

(7)

式中，Kf為PMLSM的電磁推力系數(shù)。

PMLSM動態(tài)方程為

(8)

式中，M為動子總質(zhì)量；B為粘性摩擦系數(shù)；FL為外部擾動，包括參數(shù)變化、摩擦力等。

2 FO-ILC設(shè)計

2.1 傳統(tǒng)ILC算法

迭代學(xué)習(xí)控制(Iterative Learning Control，ILC)工作原理是根據(jù)被控系統(tǒng)現(xiàn)有輸出誤差信息以及以往的控制經(jīng)驗對之后的控制輸入進行調(diào)整，所以對于有強非線性的重復(fù)的位置控制系統(tǒng)，ILC更加適用于PMLSM系統(tǒng)?；赑ID型ILC的PMLSM伺服系統(tǒng)如圖1所示。PMLSM位置速度雙閉環(huán)控制系統(tǒng)。其中位置環(huán)運用PID型ILC方法；而速度環(huán)則是采用PI控制器，比例環(huán)節(jié)能夠使系統(tǒng)得到快速響應(yīng)進而有效減弱動態(tài)負載對系統(tǒng)控制準確性的影響，積分環(huán)節(jié)能夠使系統(tǒng)在最短時間內(nèi)消減外部干擾進而提高系統(tǒng)對輸入信號進行無偏差追蹤的準確性。微分環(huán)節(jié)用于減小系統(tǒng)超調(diào)量，進一步提高系統(tǒng)的控制性能。

圖1 基于PID型ILC的PMLSM伺服系統(tǒng)框圖

圖中，yd(t)和yj+1(t)分別代表PMLSM伺服系統(tǒng)的期望位置信號與第j+1次系統(tǒng)實際輸出位置；φ[·]代表迭代學(xué)習(xí)律；uj(t)代表第j次迭代的控制輸入；ej+1(t)代表j+1次迭代跟蹤誤差。PMLSM伺服系統(tǒng)位置環(huán)PID型ILC設(shè)計為：

(9)

式中，KP、KI和KD分別為PID型ILC的比例、積分和微分學(xué)習(xí)增益。第j+1次迭代的跟蹤誤差ej+1(t)=yd(t)-yj+1(t)。

2.2 FO-ILC設(shè)計

本文設(shè)計的FO-ILC將分數(shù)階微積分理論同迭代學(xué)習(xí)控制相互結(jié)合，這種結(jié)合方式新增了兩個可調(diào)參數(shù)，從而擴大了參數(shù)的整定范圍，實現(xiàn)對被控對象的靈活控制，進而改善伺服系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)定性。

分數(shù)階微積分算子符號定義如下:

(10)

分數(shù)階微積分有Riemann-Liouville (R-L)、Caputo和Grunwald-Letnikov (G-L)三種定義方法。其中Caputo定義的積分同整數(shù)階的微積分相同，對實際工程具有更高的適用價值。所以本文主要的論述對象是基于Caputo定義的分數(shù)階迭代學(xué)習(xí)控制器設(shè)計。

(11)

式中，分數(shù)階階次n-1<μ

Caputo分數(shù)階積分的定義為

(12)

式中，n-1<μ

由式(8)，將PMLSM系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程表示為：

(13)

式中，t∈[0,T]，初始狀態(tài)為v(0)，v(t)∈R，PMLSM系統(tǒng)控制輸入u(t)∈R以及系統(tǒng)輸出y(t)∈R。

假設(shè)PMLSM系統(tǒng)在區(qū)間[0,T]上各次迭代時的初始狀態(tài)可重置，且給定區(qū)間[0,T]上可微的理想輸出yd(t)，t∈[0,T]，存在唯一理想輸入ud(t)，使系統(tǒng)的狀態(tài)和輸出為理想值vd(t)和yd(t)。

FO-ILC與一次迭代學(xué)習(xí)控制相類似，當前次的控制輸入與上一次系統(tǒng)執(zhí)行的控制輸入相關(guān)，其不同點在于PIλDμ型FO-ILC基于上個輸入，運用本次跟蹤誤差的λ階積分以及μ階微分和誤差數(shù)值對本次輸入進行修正。PIλDμ型迭代學(xué)習(xí)律表示為：

(14)

式中，t∈[0,T]，j=0,1,2,3,…，(μ)表示關(guān)于t的μ階Caputo微分，0<λ,μ<1，ej+1(t)=yd(t)-yj+1(t)表示第j+1次迭代系統(tǒng)的跟蹤誤差，yj+1(t)表示第j+1次迭代的系統(tǒng)輸出。KP、KI和KD分別比例、積分和微分學(xué)習(xí)增益。

當PMLSM系統(tǒng)中的控制輸入利用控制律(14)表示時，對應(yīng)的系統(tǒng)為：

(15)

該系統(tǒng)若滿足以上假設(shè)條件，且系統(tǒng)參數(shù)和學(xué)習(xí)增益都能夠符合以下幾種條件[11]：

條件2：

則在Lebesgue-p范數(shù)下，當?shù)螖?shù)j→∞時，跟蹤誤差單調(diào)趨于零。即：

(16)

因此

(17)

3 系統(tǒng)實驗與分析

基于TI公司生產(chǎn)的DSP實驗平臺，將PIλDμ型FO-ILC應(yīng)用于PMLSM伺服系統(tǒng)中進行實驗驗證所提方法的有效性。DSP型號為TMS320 F28335,基于DSP的PMLSM控制系統(tǒng)實驗平臺圖如圖2所示。

圖2 基于DSP的PMLSM控制系統(tǒng)實驗平臺

實驗中所選PMLSM參數(shù)：np=3，Rs=2.1 Ω，λPM=0.09 Wb，Ld=Lq=41.4 mH，D=8.0 N·s/m，=32 mm，M=16 kg。另外，在系統(tǒng)速度環(huán)中的PI控制器參數(shù)選取為KP=15，KI=0.15，設(shè)置初始迭代次數(shù)為15次，初始控制輸入u0(t)=0。為驗證所提方法的有效性，將其與一階PID型ILC進行對比實驗分析。對PMLSM伺服系統(tǒng)給定幅值為10 mm，頻率為π的周期性正弦波。在一階PID型ILC下的系統(tǒng)位置跟蹤誤差曲線如圖2所示。由圖3可知，在經(jīng)過15次迭代之后，系統(tǒng)跟蹤誤差幅值穩(wěn)定在-10～12 μm。

圖3 基于一階PID型ILC控制的PMLSM伺服系統(tǒng)位置跟蹤誤差曲線(μ=1，λ=1)

在相同的給定位置下，采用PIλDμ型FO-ILC應(yīng)用于PMLSM伺服系統(tǒng)。選取不同分數(shù)階微積分算子所對應(yīng)的PMLSM伺服系統(tǒng)位置跟蹤誤差曲線如圖4所示。

圖4 基于分數(shù)階ILC控制的PMLSM伺服系統(tǒng)位置跟蹤誤差曲線

從圖3可以看出，與一階PID型ILC相比，PIλDμ型FO-ILC明顯減小了系統(tǒng)的位置跟蹤誤差。對于μ和λ值的選取，我們采用多次調(diào)整參數(shù)以選取最佳效果的方法。在此，僅給出μ=0.85，λ=0.9和μ=0.55，λ=0.8的位置跟蹤誤差曲線圖。對比圖3(a)和圖3(b)可以看出，在圖3(b)中的位置跟蹤誤差曲線更為平滑，其跟蹤誤差約穩(wěn)定在-0.5～0.5 μm。因此，針對PMLSM伺服系統(tǒng)，所設(shè)計的FO-ILC方法能夠有效提高位置跟蹤精度，減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

4 結(jié) 語

本文就如何消除PMLSM系統(tǒng)受到摩擦力、參數(shù)變化等因素影響下跟蹤精度下降的現(xiàn)象，提出一種PIλDμ型FO-ILC方法保證系統(tǒng)的跟蹤精度。利用FO-ILC改善一階PID型ILC的收斂精度和收斂速度，從而保證PMLSM伺服系統(tǒng)的控制性能。從實驗結(jié)果可看出，該方法行之有效，可極大地抑制不確定性因素對系統(tǒng)的影響，對于PMLSM高速高精應(yīng)用場合具有重要意義。