龔夕霞，盧琴芬

(浙江大學 電氣工程學院，杭州 310027)

0 引 言

磁懸浮列車的車體與軌道無直接接觸，相比傳統(tǒng)輪軌交通，不存在摩擦阻力，速度能大幅度提升，非常適用于高速交通。目前常用的懸浮方式有電磁懸浮(EMS)與電動懸浮(EDS)，EMS是需要控制的主動懸浮，而EDS是不需要控制的被動懸浮，屬于自穩(wěn)定系統(tǒng)。

EDS具有多種結構，懸浮氣隙各不相同，其中能實現(xiàn)大氣隙懸浮的是超導電動懸浮系統(tǒng)。超導電動懸浮系統(tǒng)中，車載超導磁極產(chǎn)生的強磁場與8字形懸浮線圈的感應磁場相互作用產(chǎn)生懸浮力，該懸浮力隨著速度增加而增大，當車輛速度超過一定值后，懸浮力就能與車體重量相平衡，實現(xiàn)車輛懸浮。

超導電動懸浮系統(tǒng)一直是研究的熱點，包括結構與計算。前者主要在于采用低成本的高溫超導磁極來替代目前高成本的低溫超導磁極；后者主要在于優(yōu)化分析方法。一般的分析方法包括有限元算法、解析算法(如諧波分析法、短時傅里葉變換法、動態(tài)電路理論等)。對于EDS系統(tǒng)來說，系統(tǒng)尺寸大，有限元方法雖然精度高，但是計算時間長，不利于進行大量的計算；解析法模型簡單，計算方便，但精度不高，因此需要對解析法進行修正改進。

解析過程中，提出互感計算公式、保證互感計算精確度至關重要。文獻[1]基于場-路結合的解析方法，計算分析了交叉連接的8字形零磁通線圈與超導線圈組成的懸浮、導向系統(tǒng)。文獻[2]采用諧波近似法，忽略了磁通的高次諧波分量，基于場-路-運動耦合模型，得到了正弦規(guī)律變化的環(huán)路電流。

本文針對超導EDS系統(tǒng)，為解決開放式磁場造成的有限元模型龐大、仿真時間長的問題，提出了一種有限元-解析耦合算法，基于動態(tài)電路原理對系統(tǒng)進行了解析建模，再采用有限元法計算模型的電參數(shù)，以達到修正解析法的目的，最后基于該方法計算并分析了懸浮系統(tǒng)的性能。

1 系統(tǒng)結構與工作原理

圖1顯示了超導EDS系統(tǒng)，包括8字形閉合線圈和極性交替變換的車載超導磁極。車載超導磁極提供了實現(xiàn)懸浮所需的強磁場，線圈勵磁電流很大，可采用低溫超導磁極或高溫超導磁極。前者已經(jīng)應用于日本的MLX01型高速磁懸浮列車，優(yōu)點是磁場穩(wěn)定性好；后者是目前的研究熱點，因為制冷成本低。無論采用哪種方式，從懸浮力計算的角度來說，其作用都是提供強磁場，并不影響計算模型。

圖1 單側8字形線圈與車載超導磁極模型

超導電動磁懸浮系統(tǒng)具有自穩(wěn)定特性，懸浮與導向都無需人為控制，圖2顯示了懸浮與導向的工作原理。

圖2 懸浮與導向原理示意圖

懸浮原理：當超導磁極跟隨著車輛快速前進時， 8字形線圈中匝鏈的磁場快速變換。根據(jù)楞次定律，8字形線圈將會產(chǎn)生感應電流，由于上下兩環(huán)交叉環(huán)繞，因此感應出的電流大小相同、方向相反，產(chǎn)生的磁場方向則相反。下環(huán)感應電流所產(chǎn)生的磁場極性與超導線圈一致，而上環(huán)相反，兩者相互作用便產(chǎn)生了懸浮力。

導向原理：當車體偏離軌道中心線時，由楞次定律知，距離變小的一側8字形線圈會感應出電流產(chǎn)生斥力，距離變大的一側8字形線圈感應出電流產(chǎn)生吸引力，最終使得車輛穩(wěn)定在軌道中心線位置。

2 分析方法

超導EDS系統(tǒng)一般的分析方法為有限元與解析算法，各有優(yōu)缺點。

2.1 有限元法

有限元法的計算精度較高，基本理念是將一個研究對象分解成多個離散的小單元，對這些小單元進行線性計算，并且通過迭代將單元間的差值控制在合理的范圍之內(nèi)，這樣的處理方式有助于解決各類難以計算的微分方程，將解析解轉變?yōu)閿?shù)值解。

經(jīng)分析可知，該磁懸浮結構不適合簡化成2D模型進行分析，而3D模型仿真則需要消耗大量的時間。同時，由于該EDS結構中沒有鐵磁材料，因此磁路將在空氣中閉合形成回路，形成開放式磁場。在回路較為分散的情況下，為保證計算精度，需要在建模時將空氣部分的范圍設置成結構體范圍的若干倍，從而造成了模型龐大、仿真時間長、參數(shù)調(diào)整不方便等問題。

2.2 解析法——動態(tài)電路原理

動態(tài)電路原理根據(jù)一系列與時間、空間相關的電參數(shù)，利用一組矩陣形式的微分方程來計算分析電動系統(tǒng)。由于動態(tài)電路原理通常用來求解時域中的電流，因此該方法非常適用于磁懸浮列車、電磁發(fā)射器等系統(tǒng)的瞬態(tài)及動態(tài)分析。

2.2.1 無交叉系統(tǒng)

文獻[3]介紹了EDS懸浮系統(tǒng)中的動態(tài)電路理論應用，提供了合理的數(shù)學模型，可用于計算機代碼開發(fā)。該模型如圖3所示，n個8字線圈(2n個線圈環(huán)路)作為直線電機的定子，m個超導線圈作為動子。值得一提的是，該模型只取了電動磁懸浮列車的半側進行建模分析，這是因為磁懸浮列車兩側的豎直懸浮系統(tǒng)相距較遠，兩側8字形線圈的相互作用可以忽略不計。

圖3 無交叉系統(tǒng)動態(tài)電路原理計算模型

計算過程中，需進行如下假設：

(1)超導線圈中的電流保持恒定。

(2)忽略yz平面的運動，即超導線圈只沿著x軸方向運動。

根據(jù)動態(tài)電路原理，可以得到以下微分方程求解8字線圈中的感應電流。

(1)

根據(jù)求解得到的8字線圈感應電流值，可以進一步求解得到系統(tǒng)在x，y，z三個方向上的電磁力。

(2)

(3)

(4)

2.2.2 交叉系統(tǒng)

文獻[4]介紹了超導EDS系統(tǒng)兩側8字形懸浮線圈交叉連接后的計算模型，如圖4所示。在與無交叉系統(tǒng)相同的假設條件下，基于動態(tài)電路原理同樣可以得到感應電流與電磁力的計算公式。

圖4 交叉系統(tǒng)動態(tài)電路原理計算模型

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

M11(i,j)=M33(i,j)=2mi,j-2mi,n+j

(11)

其中i=1,n;j=1,n;當i=j時，mi,j=L

M22(i,j)=2mi,j

(12)

其中,i=1,n;j=1,n;當i=j時，mi,j=L

M12(i,j)=M21(i,j)=M23(i,j)=
M32(i,j)=mi,n+j-mi,j

(13)

其中,i=1,n;j=1,n;當i=j時，mi,j=L

(14)

(15)

(16)

ib j=ic j(i=1,n)

(17)

ib n+1=ic n+j-ic j(j=1,n)

(18)

ib 2n+j=ic 2n+j-ic n+j(j=1,n)

(19)

ib 3n+j=-ic 2n+j(j=1,n)

(20)

(21)

(22)

(23)

3 電感計算

由以上公式可以看到，基于動態(tài)電路原理的方法進行求解時需要進行大量的電感、電感關于坐標軸導數(shù)的計算，顯然計算結果的正確性很大程度上取決于電感的準確性。電感的計算可采用有限元方法以及解析算法。

3.1 有限元計算

采用有限元軟件JMAG可以對線圈電感進行仿真計算，且無需對線圈形狀進行簡化，計算精度相對較高。不過有限元只能得到數(shù)值解，無法獲悉解析解，求解互感關于坐標軸的導數(shù)值較為復雜，一般采用擬合的方式得到互感解析式，再進行相應的求導計算。

經(jīng)Matlab中Cftool工具擬合發(fā)現(xiàn)，該互感可以用式(24)表示。

(24)

式中,pi(i=1,2,3,4,5),qi(i=1,2,3,4) 為未知數(shù)，x為8字線圈中心點與超導線圈中心點在x軸方向上的距離，擬合效果如圖5所示。

圖5 8字形線圈單環(huán)與超導線圈互感擬合效果圖

3.2 解析算法

解析算法中，為便于計算，需要對模型的形狀進行簡化，如圖4所示，將兩端呈圓弧狀的超導磁極長環(huán)簡化成一個矩形(根據(jù)文獻[5]中面積不變的原則確定等效后的長度)，于是計算所需的互感就轉變?yōu)楦鱾€矩形線圈間的互感值。

3.2.1 矩形截面的矩形線圈的電感[6]

若矩形線圈的匝數(shù)為ω，截面尺寸為a×r，中心線匝的尺寸為b×c(b

圖6 8字線圈單環(huán)圖

(25)

就正方形線圈而言 ，則公式變?yōu)?/p>

(26)

3.2.2 同一平面兩個相距較遠的矩形回路的互感

當線圈相距較遠，間距為線圈尺寸的3倍及以上時，可采用泰勒級數(shù)法求解互感[6]

(27)

式中,u=cosθ，v=sinθ，Sk、Si為兩個矩形的面積；r為矩形中心點的距離；θ為兩個矩形中心連線與平面水平線的夾角。

3.2.3 兩個各邊相互平行的矩形線圈的互感[7]

如圖7所示，當兩個矩形線圈的對應邊相互平行，并且與矩形線圈總體尺寸相比，其截面尺寸能忽略時，可利用聶以曼公式求解線圈互感。

圖7 8字線圈與超導線圈模型

(28)

(29)

4 耦合算法及驗證

4.1 耦合算法

基于以上分析，結合有限元與解析法，本文提出了一種有限元-解析耦合算法，其利用動態(tài)電路原理建立計算模型，借助有限元軟件計算模型中的電感參數(shù)，便于提高模型參數(shù)的準確性以及計算精度。

以無交叉系統(tǒng)為例，耦合算法可分為兩種方案，方案一中一半電感來自于有限元結果，方案二中全部電感都來自于有限元結果：

(1)方案一：L與mi,j采用有限元計算。

(2)方案二：L、mi,j及Mi,j、Gi,j都采用有限元計算。

4.2 算法驗證

圖8顯示了一個超導EDS系統(tǒng)的示意圖，包括8字形線圈與車載超導線圈，具體模型參數(shù)如表1所示。

圖8 8字形線圈與車載超導線圈模型尺寸示意圖

表1 模型參數(shù)表

基于前述的有限元分析法、解析法與二種耦合算法，可以計算出系統(tǒng)的懸浮力特性。圖9顯示了75 mm懸浮高度、500 km/h速度下的計算結果。由于有限元模型更接近實際模型，結果將更準確，因此以JMAG有限元仿真結果作為標準，得到各方法與有限元仿真結果的誤差大小，如表2所示。

表2 懸浮力誤差對比

圖9 懸浮力隨懸浮高度的結果對比

解析法的誤差比較大，是因為計算過程中所用的互感公式帶有誤差，如部分公式中忽略了線圈的厚度；而且圖形的簡化使得計算模型與實際模型具有一定的差異，如將超導線圈簡化成了矩形、將8字形線圈單環(huán)的邊長簡化成了最外側與最內(nèi)側邊長的平均值。

盡管基于JMAG的有限元分析結果最為準確，但是當模型較大時，需要消耗漫長的仿真時間，效率不高；完全采用解析法進行計算快速且方便，但具有較大的誤差；耦合方案一通過有限元計算得到了定子部分的自感、互感，而8字線圈與超導線圈的互感采用解析法進行分析，雖然方案一在解析法的基礎上增加了有限元仿真的工作量，但增大了計算的精度，在定子結構不變的情況下，只需要進行一次有限元仿真即可；耦合方案二中的電感參數(shù)都來自于有限元模型，計算量增多，但結果誤差跟方法一相差不大。因此耦合方案一比較合適，以下采用該方法對懸浮系統(tǒng)的動態(tài)特性進行分析。

5 動態(tài)特性

5.1 懸浮高度與速度的關系

當車輛速度增加時，電動磁懸浮列車的懸浮力不斷增大，直至懸浮力與列車自身重量相等時，列車達到穩(wěn)定懸浮狀態(tài)(交叉與非交叉系統(tǒng)在軌道中心線位置，即無導向偏差時，懸浮力大小相差無幾)。圖10為采用耦合方案一得到的懸浮高度與速度的特性曲線。由圖10可見，車輛提速到一定程度之后，其穩(wěn)定懸浮的高度基本不變，意味著在該結構下，磁懸浮列車加速的過程中具有一定的懸浮穩(wěn)定性，尤其是在高速階段，其懸浮氣隙基本保持恒定，因此該懸浮方式可適用于高速與超高速的運行狀態(tài)。

圖10 懸浮高度與運行速度的關系曲線

5.2 導向偏差對懸浮高度的影響

在運行過程中，列車的導向出現(xiàn)偏差時，車輛將偏離軌道中心線，并造成車輛與兩側8字形懸浮線圈距離不等的現(xiàn)象。此時線圈之間的互感發(fā)生變化，線圈電流、列車懸浮力改變，距離減小的一側產(chǎn)生的懸浮力增大，距離增大的一側反之，由于增大程度高于減小的程度，因此偏移后兩側懸浮合力增加、穩(wěn)定懸浮高度增大。圖11為無交叉系統(tǒng)不同速度、不同導向偏移時的穩(wěn)定懸浮高度，符合上述規(guī)律，并且可以看出，在高速情況下，穩(wěn)定懸浮高度相差不大。

圖11 無交叉系統(tǒng)中速度、導向偏差對懸浮高度的影響

另外，據(jù)文獻可知，兩側8字線圈交叉連接的方式，相比無交叉系統(tǒng)具有更好的懸浮剛度[1]，因此針對兩種連接方式進行了比較分析。圖12為交叉與無交叉系統(tǒng)在不同導向偏差時的懸浮高度，圖13為交叉與無交叉系統(tǒng)不同導向偏差時兩側懸浮力的差值大小。顯然，當偏移的距離增大時，兩側的懸浮合力增幅越來越大，導致了穩(wěn)定懸浮高度逐步提升，但交叉系統(tǒng)懸浮高度的增幅較小，且左右側懸浮力差值較小，相比之下更加穩(wěn)定。

圖12 不同導向偏差對懸浮高度的影響

圖13 不同導向偏差對兩側懸浮力差值的影響

5.3 運行阻力

懸浮系統(tǒng)產(chǎn)生懸浮力的同時，也會產(chǎn)生制動力。由圖14可知，交叉系統(tǒng)在低速狀態(tài)下的制動阻力更大，若采用交叉連接方式，則需要更大的驅動力。同時，相比低速的運行情況，高速前進時車輛的制動力較小，因此該懸浮方式可應用于高速和超高速的運行模式。

圖14 不同速度情況下懸浮線圈的制動力

6 結 論

本文針對超導電動磁懸浮系統(tǒng)，提出了有限元-解析耦合算法，方案一通過有限元計算解析模型中的部分電感，方案二通過有限元計算了全部電感。結果表明，兩種方案都能夠把計算誤差從約24%降低到6%以下，懸浮高度越小時誤差越小，但前者計算速度更快速?；谠擇詈夏Ｐ?，快速計算了不同運行速度、不同懸浮高度與不同導向偏差時的懸浮高度，以及不同速度下的制動力。

該方法解決了有限元仿真模型仿真時間長、不易進行參數(shù)化分析等問題，能夠實現(xiàn)準確且快速的計算，實現(xiàn)模型的優(yōu)化設計與性能分析。另外，該方法還可運用于超導磁懸浮列車的牽引系統(tǒng)中，完成牽引線圈與超導磁極之間相互作用力的計算。