姚 波, 葉倩玉, 武全勝, 王福忠, 何 新

(1.沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034;2.朝陽師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)系, 遼寧 朝陽 122000; 3.沈陽工程學(xué)院 基礎(chǔ)部, 沈陽 110036)

隨著現(xiàn)代工業(yè)系統(tǒng)對安全性和可靠性需求的不斷增加,尤其是飛機(jī)、航天器和核電站等系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和可靠控制器設(shè)計(jì)的綜合問題吸引了越來越多的研究者的關(guān)注[1-4]。在實(shí)際系統(tǒng)中,由于傳感器或執(zhí)行器的老化和電磁干擾等問題,故障經(jīng)常會發(fā)生,可能會導(dǎo)致系統(tǒng)性能無法承受[5]。因此,引入了可靠控制方法[6-8]來應(yīng)對執(zhí)行器和傳感器的故障,并進(jìn)一步保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能指標(biāo)。傳感器容易發(fā)生故障,而且與執(zhí)行器相比,傳感器故障可能會導(dǎo)致更嚴(yán)重的情況。因此,為了提高系統(tǒng)的可靠性和安全性,已開發(fā)出各種可靠的控制技術(shù),以補(bǔ)償傳感器故障并保持閉環(huán)系統(tǒng)的性能。文獻(xiàn)[9]針對不確定線性系統(tǒng)執(zhí)行器出現(xiàn)混合故障的模型,通過求解線性矩陣不等式完成狀態(tài)反饋可靠控制器的設(shè)計(jì)。然而狀態(tài)反饋控制器在實(shí)際控制工程中,往往不能直接觀測得到,對系統(tǒng)進(jìn)行控制是難以實(shí)現(xiàn)的。那么,考慮輸出反饋對系統(tǒng)進(jìn)行控制,其中動態(tài)輸出反饋控制器有消耗資源過大的弊端[10],所以靜態(tài)輸出反饋控制器是一種基于控制理論的有效控制策略,被廣泛應(yīng)用于飛行器和工業(yè)控制過程中[11-12]。這一方法的好處在于可直接測量獲得數(shù)據(jù),但所得到的結(jié)論難于求解。此外,系統(tǒng)的瞬態(tài)性能對于實(shí)際工程中也是至關(guān)重要的,主要取決于系統(tǒng)極點(diǎn)的位置。將系統(tǒng)的極點(diǎn)分配到某些特定區(qū)域,則可以獲得相應(yīng)的良好瞬態(tài)性能[13-15]。

本文利用凸組合方法處理故障[16],通過數(shù)學(xué)方法把結(jié)論轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式(LMI)形式,應(yīng)用MATLAB中LMI工具箱求解線性矩陣不等式,獲得可行解。將極點(diǎn)約束在特定的圓盤區(qū)域內(nèi),以獲得相應(yīng)的良好瞬態(tài)性能。無論是否發(fā)生傳感器單故障,系統(tǒng)的極點(diǎn)均配置在特定的圓盤區(qū)域內(nèi)且保持漸近穩(wěn)定。

1 問題描述

考慮線性定常系統(tǒng):

(1)

其中:x(t)∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)變量;y(t)∈Rm為系統(tǒng)的測量輸出變量;u(t)∈Rp為系統(tǒng)的控制輸入變量;A,C為適維矩陣;B為適維列滿秩矩陣。

傳感器連續(xù)增益單故障矩陣模型為yf(t)=Fsy(t)。其中y(t)∈Rm為傳感器正常信號向量,yf(t)∈Rm為考慮傳感器單故障的信號向量,Fs為傳感器單故障矩陣,其形式為

其中,fsi為第i條傳感器通道上的增益值,且滿足

考慮傳感器故障的信號向量yf(t)就可以表示為

yf(t)=[y1(t),…,yi-1(t),fsiyi(t),yi+1(t),…,ym(t)]T

這種故障形式稱為任意單一故障。任意單一故障具有如下2個特點(diǎn):1)在m個傳感器中,任意一個傳感器都可能出現(xiàn)故障;2)最多只有一個傳感器出現(xiàn)故障。

故障處理(凸組合法)

考慮傳感器單故障,設(shè)

設(shè)集合

以上描述的傳感器單故障矩陣集合可以推廣到任意傳感器多故障矩陣集合中,因此在實(shí)際應(yīng)用中,傳感器部件從單一故障到多故障均可采用此方法設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行可靠控制,并且大大減小了只從多故障角度設(shè)計(jì)控制器的保守性。

引理1 已知S是n×n正定矩陣,B是n×m列滿秩矩陣(m≤n),則矩陣BTSB可逆。

證明 利用反證法,及S是n×n正定矩陣,可得BTBX=0有非零解;又因B是列滿秩矩陣,所以BTBX=0只有零解,矛盾。所以BTSB可逆。

2 主要結(jié)論

2.1 基于圓盤約束的線性系統(tǒng)靜態(tài)輸出反饋控制器設(shè)計(jì)

對線性系統(tǒng)(1)引入靜態(tài)輸出反饋控制器:

u(t)=Ky(t)

(2)

由此得到閉環(huán)系統(tǒng):

(3)

定理1 對于閉環(huán)系統(tǒng)(3),存在靜態(tài)輸出反饋控制器(2),使所有特征值均在半徑為r,圓心為(-q,0),(r>0,q>0)的圓盤中的充分必要條件是對于正定矩陣P和矩陣U,W使得下列線性矩陣不等式組(LMI):

(4)

存在可行解。如果可行解為(P,U),則相應(yīng)的靜態(tài)輸出反饋控制器增益矩陣K=W-1U。

其中,W可以由PB=BW求得。

證明 由引理2可知,存在正定矩陣P使閉環(huán)系統(tǒng)(3)的極點(diǎn)配置在指定的圓盤區(qū)域內(nèi),令PB=BW,WK=U,可得式(4)。

下證W可逆:

由B為列滿秩矩陣,對等式PB=BW兩邊左乘以BT得BTPB=BTBW,則W=(BTB)-1BTPB,即BTPB可逆,由引理1可知BTPB可逆,故W可逆。

綜上,定理得證。

2.2 基于圓盤約束的線性系統(tǒng)傳感器故障的靜態(tài)輸出反饋可靠控制器設(shè)計(jì)

當(dāng)線性系統(tǒng)發(fā)生傳感器故障,系統(tǒng)可以描述為

(5)

對系統(tǒng)(5)引入靜態(tài)輸出反饋控制器:

u(t)=Kyf=KFsy(t)=KFsCx(t)

(6)

由此得到閉環(huán)系統(tǒng):

(7)

定理2 對于閉環(huán)系統(tǒng)(7),存在靜態(tài)輸出反饋可靠控制器(6),使所有特征值均在半徑為r,圓心為(-q,0),(r>0,q>0)的圓盤中的充分必要條件是對于正定矩陣P和矩陣U,W使得下列線性矩陣不等式組(LMIs):

(8)

i=1,2,…,m;j=1,2

存在可行解。如果可行解為(P,U),則相應(yīng)的靜態(tài)輸出反饋控制器矩陣增益K=W-1U,其中W可以由PB=BW求得。

證明 由引理2可知,存在正定矩陣P使閉環(huán)系統(tǒng)(7)的極點(diǎn)配置在指定的圓盤區(qū)域內(nèi)必須滿足

即

令PB=BW,WK=U,得

(9)

故有

W可逆的證法與定理1相同(故省略)。綜上,定理得證。

3 數(shù)值仿真

考慮系統(tǒng):

易知開環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)為λ={0.732 1 -2.000 0 -2.732 1},因此系統(tǒng)不穩(wěn)定,其中極點(diǎn)0.732 1不在半徑為r=3.6,中心為(-3.6,0)的圓盤中。

圖1 極點(diǎn)配置在圓盤區(qū)域內(nèi)

再考慮傳感器發(fā)生單故障情況F=diag(fs1,fs2),其中0.1≤fs1≤2.4,0.2≤fs2≤1.4,在原有的反饋控制器的作用下,閉環(huán)系統(tǒng)的部分極點(diǎn)跳出特定圓盤區(qū)域,如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)發(fā)生傳感器故障,部分極點(diǎn)跳出圓盤區(qū)域

圖3 帶有可靠控制器的系統(tǒng),全部極點(diǎn)落在圓盤區(qū)域

4 結(jié) 論

針對線性系統(tǒng),研究了具有傳感器連續(xù)增益單故障的情況下,采用線性矩陣不等式(LMI)處理方法,利用連續(xù)故障模型凸組合方法,給出了閉環(huán)系統(tǒng)在圓盤約束下的可靠控制器的設(shè)計(jì)。數(shù)值仿真將傳感器各通道可能發(fā)生的故障情況均展現(xiàn)出來,靜態(tài)輸出反饋可靠器均能保證系統(tǒng)的極點(diǎn)在圓盤約束內(nèi)且系統(tǒng)保持漸近穩(wěn)定,保證了工程領(lǐng)域的高精度要求。