劉 瑞，陳靜華

(宜春學院 數(shù)學與計算機科學學院，江西 宜春 336000)

拉普拉斯方程[1]，是由拉普拉斯(p.-s. Laplace)在1784年所提出來的，拉普拉斯方程是一種比較典型的橢圓型方程，它具有廣泛的應用背景，例如滿足此類橢圓型的方程有靜電學中的電勢。由于此方程是通過勢函數(shù)的方式來描寫了引力場和電場等一些物理對象的性質(zhì)，所以進行求解Laplace方程是我們在各種特殊領域中常常遇到的一類非常重要的問題[2]。

滿足拉普拉斯方程的函數(shù)叫調(diào)和函數(shù)[3]，調(diào)和函數(shù)在偏微分方程中的運用十分廣泛，因為它有很多好的性質(zhì)。其中一條性質(zhì)是調(diào)和函數(shù)滿足均值公式，但是在數(shù)學里面均值公式的證明非常詳細并且繁瑣，它是由拉普拉斯方程來的，在數(shù)學上有很多的應用，并且被研究得非常透徹，例如在偏微分方程中的應用等。但是很少有人考慮數(shù)學里面的均值公式和拉普拉斯方程的物理背景，那么拉普拉斯方程和均值公式具體有什么樣的物理意義呢？這就是我們這篇文章所要探討的，本文從最基本的牛頓萬有引力來推導拉普拉斯方程和均值公式。

下面我們引入本文將要出現(xiàn)的一些定義：

定義1 在引力場中有質(zhì)量為M的物體，某點處單位質(zhì)量物體所受到的引力為該點的萬有引力，記為F，即

其中G為萬有引力常數(shù)，r為兩個物體之間的距離。

定義2 在引力場中有質(zhì)量為M的物體，某點處單位質(zhì)量的物體對應的引力勢能為該點的引力勢，記為U，即

1 符號說明

本文所涉及到的符號作以下說明：

球BR：以R為半徑，以原點為球心的球；球：B(x,R)以R為半徑，以x為球心的球；球面?B(x,R)：以R為半徑，以x為球心的球面；Rn：n維歐式空間。

2 勢函數(shù)與拉普拉斯方程

勢理論首先建立在力學中，牛頓萬有引力定律建立之后，在18世紀，物理學的一個非常重要問題是確定一個物體與另一個物體引力之間的大小。例如：地球與外部質(zhì)點的之間引力；太陽與行星的之間的引力；地球與另一連續(xù)分布物體之間的引力等等。若不能把兩個物體都當作質(zhì)點，就必須要考慮不同物體的形狀和質(zhì)量主要分布的情況。

下面我們從萬有引力出發(fā)，通過具體公式來看各種情形的勢函數(shù)的表達式及性質(zhì)。

2.1 單個質(zhì)點的勢函數(shù)

由牛頓萬有定律可知，設在P0(x0,y0,z0)點有質(zhì)量為m0的質(zhì)點，p(x，y，z)點有質(zhì)量m的質(zhì)點，那么質(zhì)點p與質(zhì)點p0之間的萬有引力為:

若令

則該質(zhì)點對處于它周圍的質(zhì)點有引力的作用，該力的大小與質(zhì)量m成正比，與距離r成反比。

由勢函數(shù)定義可知，p點引力場的引力勢函數(shù)為:

那么，引力與引力場的勢函數(shù)有如下關系

所謂說勢函數(shù)是指把一個物體放在某個場里面，這個場就會對這個物體產(chǎn)生吸引力或排斥力，并且這個場在不同的位置產(chǎn)生的吸引力或排斥力也不同。

定理1 拉普拉斯發(fā)現(xiàn)，若p(x，y，z)是一個孤立的點，則其對應的勢函數(shù)u(x，y，z)為調(diào)和函數(shù)，即

Δu(x，y，z)=0.

證明：因為

其中G，m是常數(shù)，所以

因此，

=0.

2.2 多個質(zhì)點的勢函數(shù)

若現(xiàn)在考察的質(zhì)點有許多個，例如在點a1，a2…al處有質(zhì)量分別為M1，M2…Ml的l個質(zhì)點，則該l個質(zhì)點所產(chǎn)生的引力場勢函數(shù)為:

其中G是重力常數(shù)。同理，該勢函數(shù)也是調(diào)和函數(shù)。

2.3 連續(xù)分布的勢函數(shù)

如果我們考慮的質(zhì)點是連續(xù)質(zhì)點，例如它的質(zhì)量均勻的分布在一個球上，并且質(zhì)點分布的的密度函數(shù)為ρ(x)，則它對應的勢函數(shù)為:

其中Ω表示連續(xù)分布的質(zhì)點代表的幾何圖形。此處積分是對y積分，因此求拉普拉斯算子可以證明該勢函數(shù)也為調(diào)和函數(shù)。

定理2 在物理上，實際上勢函數(shù)是把單位質(zhì)量物體移到無窮遠處做的功，即

前面我們已經(jīng)知道了勢函數(shù)的各種表現(xiàn)形式，那么對于一些特殊分布的質(zhì)點它的勢函數(shù)是怎樣的呢？

定理3 單位球的勢函數(shù)與單個質(zhì)點的勢函數(shù)一樣，即

(r表示質(zhì)點到單位球球心的距離)。

證明：若質(zhì)點均勻分布在單位球BR上，其總質(zhì)量為M，如圖

令u(x)=u(r)，|x|=r.其中r表示p點到球心的距離，和定理1一樣證明，可得

Δu=0.

則

可以發(fā)現(xiàn)上式是一個簡單的常微分方程，可采用變量分離的方法求解，所以

等同于求解

則

lnu′(r)=-2lnr+c，

兩邊同時取指數(shù)

對上式兩邊取不定積分，則

(1)

又因為

(2)

綜合(1)(2)式，則

c=-GM，D=0

即

結(jié)論：說明球體物體的勢函數(shù)與質(zhì)量成正比，與距離r成反比，即與單個質(zhì)點的勢函數(shù)一樣。

2.4 球殼外的勢函數(shù)

定理4 對于一個質(zhì)量均勻分布的球殼{R1<|x|

證明：略(和定理3一樣證明)。

2.5 球殼內(nèi)的勢函數(shù)

定理5 對于一個質(zhì)量均勻分布的球殼{R1<|x|

u(x，y，z)=c.

(其中c為常數(shù))。

證明：如圖

設p是球殼內(nèi)任意一點，我們考慮球殼在p點處的勢函數(shù)，不失一般性，設p點處的坐標為p(0，0，r)；r

dv=Rsinθdφ·Rdθ·dR，

=R2sinθdφdθdR.

因此，該處的勢函數(shù)為:

其中

l2=R2+r2-2Rrcosθ.

因此，勢函數(shù)為：

=(R2-R1)2πGρ(y)R

=c

因為密度均勻分布，ρ(y)是一個常數(shù)。

3 均值公式

現(xiàn)在設Ω是Rn上的一個開集，且u是Ω上的一個調(diào)和函數(shù)，我們將從勢函數(shù)的角度來推導調(diào)和函數(shù)的均值公式，它說明函數(shù)u在點x∈Ω上的取值u(x，y，z)等于u在球面?B(x,R)上的平均值，也等于它在球B(x,R)上的平均值。[1]

定理6 假設u是調(diào)和函數(shù)，并在B(x,R)={y∈Rз|(zhì)x-y|

則

接下來我們利用勢函數(shù)

來證明均值公式，為計算方便，設Gm為常數(shù)1，令

由定理1可知

Δu(x，y，z)=0.

由上述推導可知，要證明均值公式，即證

也就是要證

也就是需要證明在空間a點處關于單位質(zhì)量的球面?B(x,R)的勢函數(shù)等于在x處單位質(zhì)量所產(chǎn)生的引力在空間a點處的引力勢。

證明：如圖

由于空間a點是空間中任意的一點，為不失一般性，則設a點的坐標為(0，m，0)，球面任意一個微元圈的圓心記為E(0，e，0)，由于球的半徑為R，則小圓環(huán)半徑為r=Rcosθ，點a到小圓環(huán)圓心E處的距離為d=m-Rcosθ，則

小圓環(huán)周長：2πr=2πRsinθ.

小圓環(huán)面積：S=2πR2sinθdθ.

點a到球面上的微元圈的距離為：

因此，在空間a點處的勢函數(shù)為：

因此，定理得證。