以橢圓為載體的圓錐曲線問(wèn)題不僅是高考的常見(jiàn)考點(diǎn)之一,也是同學(xué)們學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)。同學(xué)們?nèi)裟茉趶?fù)習(xí)備考前有針對(duì)性地總結(jié)出求解此類(lèi)問(wèn)題的策略,則可以在考場(chǎng)上節(jié)省很多思考的時(shí)間。下面就來(lái)探討一下求解此類(lèi)問(wèn)題的思路和方法。

一、垂直問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積為零的問(wèn)題

因?yàn)樵谥本€方程中,當(dāng)兩條有斜率的直線垂直時(shí),斜率的乘積為-1,但限于分母的存在,需要討論分母是否為零,所以求以橢圓為載體的圓錐曲線的垂直問(wèn)題時(shí),往往可以將其轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積為零的問(wèn)題。

例1已知橢圓C的左焦點(diǎn)F1(- 3,0),P為橢圓C上一點(diǎn),滿足|OP|=|OF1|,且|PF1|=2- 2。

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程。

(2)過(guò)點(diǎn)Q(0,2)的直線l交橢圓C于點(diǎn)A,B兩點(diǎn),若OA⊥OB,求l的方程。

解：(1)因 為|OP|=|OF1|,所 以∠F1PF2=90°。又 因 為,所以2+ 2。所以2a=|PF1|+|PF2|=4,b2=1,所以橢圓方程為

(2)由題意可知直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程：y-2=kx,與橢圓方程聯(lián)立得(1+4k2)x2+16kx+12=0。設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則因?yàn)樗詘1x2+y1y2=0,即(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=0。所以,所以k2=4,即k=±2,滿足Δ＞0。

二、角度問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為斜率問(wèn)題

與直線有關(guān)的角的問(wèn)題大多可以轉(zhuǎn)化為斜率問(wèn)題。

例2過(guò)點(diǎn)M(1,0)的直線l與橢圓C：相交于A,B兩點(diǎn)(直線l不與x軸重合),在x軸上是否存在定點(diǎn)N使x軸所在直線平分∠ANB? 若存在,則求出該點(diǎn);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：假設(shè)存在x軸上定點(diǎn)N,且設(shè)其坐標(biāo)為(n,0)。由題易知直線的斜率不會(huì)是0,可設(shè)直線l的方程：x-1=ty,與橢圓方程聯(lián)立得(t2+4)y2+2ty-3=0,顯然Δ＞0。因?yàn)閤軸所在直線平分∠ANB,所以kAN+kBN=0。所以即所以2t(n-4)=0,故n=4。故存在定點(diǎn)N(4,0)使x軸所在直線平分∠ANB。

三、范圍問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題

若以橢圓為載體的圓錐曲線問(wèn)題中沒(méi)有給出明確的不等關(guān)系,還讓求范圍時(shí),需要先根據(jù)已知條件,利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)和曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)確定不等關(guān)系,再構(gòu)造目標(biāo)函數(shù),把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或引入?yún)?shù)根據(jù)參數(shù)范圍求解。

例3已知橢圓方程0),它與S(1,1),T(2,3)兩點(diǎn)間的線段恒相交,求a的取值范圍。

解：由S(1,1),T(2,3)兩點(diǎn)確定直線ST的方程為y=2x-1(1≤x≤2),將其代入橢圓方程得6x2-4x+1-2a2=0,所以該方程在[1,2] 區(qū)間內(nèi)有解。因?yàn)槎魏瘮?shù)f(x)=6x2-4x+1-2a2在1,2[]上是增函數(shù),所以f(1)≤0,f(2)≥0,所以