在新課程標準下,同學們要重視數(shù)學解題思想的架構,并結合自己的實際情況,確定有效的解題思路,以促使自身數(shù)學思維的形成。

一、數(shù)形結合思想

例如：直線l的方程為橢圓的中心為點,焦點在x軸上,其長半軸和短半軸分別為2,1,左頂點為,分析p的具體取值范圍,使得橢圓上有四個不同的點,它們中的每一個點到B的距離等于該點到直線l的距離。

在解答該題時,可以基于拋物線的含義來分析,思考“在p的數(shù)值為多少時,以B為焦點、l為準線的拋物線和橢圓的交點為四個”。具體解決步驟如下：

已知a=2,b=1,,設拋物線和橢圓的方程分別為y2= 2px,將y消掉,得x2+拋物線與橢圓有四個交點,等價于上述關于x的一元二次方程有兩個相異的正根,其充要條件為在p＞0 的條件下,解此不等式組,得,故所求的p的范圍為

數(shù)形結合思想能將抽象的數(shù)學知識和直觀的圖像相結合,如代數(shù)問題體現(xiàn)幾何化,幾何問題轉變?yōu)榇鷶?shù)問題,都能為數(shù)學問題的解決提供有效方法。

二、分類探討思想

例如：體育教師在3個箱子中分別放入9個相同的足球,其編號分別為1,2,3,…,9,求在每個箱子中放入的個數(shù)多于編號時,不同的放球方法。

首先,將2號盒子中放入1個球,將2個小球放入到3號盒子中,剩下的6個小球排列為○○○○○○,在這6個小球的5個空位中,可以插入2個擋板,其排列為○○|○○|○,每個放法都為一種方法,其放法共有C25=10(種)。

分類討論思想的主要表現(xiàn)是化整為零。在實際解題中,通過對該思想的使用,能予以對象和全體范圍的思考,確立出分類的標準,實現(xiàn)分級探討,也能獲得有效結果。

三、函數(shù)方程思想

例如：設a＞0,a≠1,已知方程loga(x-),分析實數(shù)k的取值范圍。

解答該題時可以通過換底公式換底,當出現(xiàn)同底后實現(xiàn)等價轉換獲得方程。根據分離參數(shù)分析式子,基于三角換元法分析出三角函數(shù)的值域。原方程化為loga(x-ak)=①x-ak＞0;②x-ak=所以,則k=f(θ)=cscθ-時,得出f(θ)=,所以k＜-1。當時,得出f(θ)=cscθ-cotθ=,所以0＜k＜1。

函數(shù)方程思想是基于函數(shù)的概念和函數(shù)的性質來分析問題的,在用于解答問題時,大家要明確數(shù)量關系,利用數(shù)學語言來轉換條件,促使數(shù)學模型的形成,如方程、不等式等,最終實現(xiàn)對問題的充分解決。