方銀飛

(寧波市武嶺中學(xué) 浙江 寧波 315502)

雙縫干涉實(shí)驗(yàn)是光具有波動(dòng)性的有力證據(jù)，干涉實(shí)驗(yàn)在中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中占有重要地位.通常大部分學(xué)生可以在實(shí)驗(yàn)過程中觀察到光的干涉現(xiàn)象，但是也有不少心思細(xì)膩的學(xué)生不僅會(huì)觀察到條紋的等間距分布，還會(huì)觀察到許多奇怪的現(xiàn)象，比如：為什么條紋不是漸變的？為什么中央條紋會(huì)比較亮？為什么只能觀察到中間少數(shù)幾條亮紋？等等這些問題.由于考慮到中學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)比較匱乏，要從數(shù)學(xué)上解釋這些現(xiàn)象是行不通的，但是光用文字解釋這些現(xiàn)象卻又會(huì)顯得蒼白無力缺少證據(jù)，讓人無法信服，許多教師會(huì)選擇跳過這些現(xiàn)象，或者一筆帶過，這難免讓學(xué)生學(xué)得一頭霧水，容易造成學(xué)生對(duì)干涉實(shí)驗(yàn)理解的困惑，對(duì)學(xué)生的求知欲也是一種打擊.筆者借助C+ +程序仿真模擬了采用不同方法分析干涉實(shí)驗(yàn)，用一種全新的視角挖掘并解釋了這些現(xiàn)象，并將原理闡釋得更直觀化、具體化，讓學(xué)生更加容易理解和接受.

1 雙縫干涉原理介紹

雙縫干涉實(shí)驗(yàn)原理圖如圖1所示,利用單色光源入射狹縫S，使S成為縫光源發(fā)射單色光，在狹縫S前放置相距為d的狹縫S1和S2，由于S1,S2處產(chǎn)生的次級(jí)光源是由同一縫光源產(chǎn)生的，是兩列振動(dòng)方向相同、頻率相等、相位差恒定的相干光.這兩相干光源發(fā)出的兩列光波在空間上相互疊加發(fā)生干涉現(xiàn)象，在光屏上呈現(xiàn)一定的干涉圖樣[1].光屏上與兩個(gè)狹縫的距離是半波長(zhǎng)偶數(shù)倍的地方會(huì)出現(xiàn)亮條紋，距離是半波長(zhǎng)奇數(shù)倍的地方會(huì)出現(xiàn)暗條紋，最終在光屏上形成明暗相間的干涉條紋.這是光的波動(dòng)理論對(duì)于雙縫干涉現(xiàn)象的理論解釋.在具體的實(shí)驗(yàn)操作過程中會(huì)發(fā)現(xiàn)那些干涉條紋正好是等間距的，這可以根據(jù)光路圖的幾何關(guān)系算出光程差后得出，而且?guī)缀跛械慕滩亩紩?huì)解釋其中的原因.

圖1 雙縫干涉實(shí)驗(yàn)原理圖

2 采用近軸和遠(yuǎn)場(chǎng)近似處理

大多數(shù)教材分析條紋等間距問題時(shí)，均會(huì)利用近軸和遠(yuǎn)場(chǎng)近似條件，即利用L遠(yuǎn)大于雙縫間距d和L遠(yuǎn)大于光的波長(zhǎng)λ這兩個(gè)條件.在一定精度范圍內(nèi)這樣的近似處理可以極大地簡(jiǎn)化干涉條紋間距的計(jì)算[2].

(a) (b)

(λ=550 nm，L=1.0 m，d=0.5 mm)

雖然在計(jì)算過程中利用近軸和遠(yuǎn)場(chǎng)近似可以簡(jiǎn)化問題，而且在一定精度范圍內(nèi)也能解釋實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，但也因此掩蓋了一些實(shí)驗(yàn)事實(shí)，不利于學(xué)生更加全面地了解楊氏干涉實(shí)驗(yàn).那倘若不作近軸和遠(yuǎn)場(chǎng)近似，可以發(fā)現(xiàn)些什么不一樣的內(nèi)容呢？

3 不作任何近似處理

假如不作近軸和遠(yuǎn)場(chǎng)近似，可以將光路原理圖修改為圖3所示，此時(shí)光程差為[4]

圖3 不作近軸、遠(yuǎn)場(chǎng)近似的光路圖

(1)

其中y,z分別是P點(diǎn)的位置坐標(biāo).設(shè)小孔S1和S2處光源波函數(shù)為

(2)

(3)

A0為振幅,ω為角頻率,c為光速,φ1和φ2分別為初始相位.根據(jù)式(2)、(3)可知，P處波函數(shù)為

E=E1+E2=

(4)

其中

令φ2=φ1，可以得到

(5)

根據(jù)光強(qiáng)與振幅之間的關(guān)系，可得

(6)

I0為小孔S1和S2處光強(qiáng).

經(jīng)過程序仿真得到如圖4所示λ=550 nm，L=1.0 m，d=0.5 mm的干涉圖樣.

圖4 不作近似處理的C+ +模擬結(jié)果

可以發(fā)現(xiàn)：干涉條紋是呈典型雙曲線形狀，且對(duì)稱分布在中央明紋兩側(cè)，而不是等間距的直條紋分布.從上面的光路原理圖3和式(1)可以發(fā)現(xiàn)，光程差δ與L和d有關(guān)，而滿足r2-r1=常量的那些點(diǎn)構(gòu)成的軌跡實(shí)際上是以S1和S2為軸的雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面，反映在光屏上的干涉條紋就是對(duì)稱分布在中央明紋兩側(cè)的雙曲線形狀[5].

為了更清楚地展現(xiàn)這種彎曲現(xiàn)象，現(xiàn)以亮條紋中心位置為基準(zhǔn)，用C+ +程序?qū)Ρ确治霾煌瑓?shù)下±20級(jí)干涉條紋的情況.

(1)λ=500 nm，d=0.5 mm，L分別為0.5 m,1.0 m,1.5 m,2.0 m的分布情況,如圖5所示.

圖5 不同L對(duì)干涉條紋彎曲度的影響

(2)λ=500 nm，L=1.0 m，d分別等于0.3 mm，0.5 mm，0.7 mm，0.9 mm的分布情況,如圖6所示.

圖6 不同d對(duì)干涉條紋彎曲度的影響

(3)d=0.5 mm，L=1.0 m，λ分別為400 nm，500 nm，600 nm，700 nm的分布情況,如圖7所示.

圖7 不同λ對(duì)干涉條紋彎曲度的影響

對(duì)比上述模擬結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：在一定的范圍內(nèi)，L,d和λ對(duì)干涉條紋彎曲度均有影響，L越大、d越大、λ越小，則干涉條紋越趨近于直條紋，并且干涉條紋級(jí)數(shù)越低條紋越直.那為什么往往在實(shí)驗(yàn)中觀察到的干涉條紋總是筆直的呢？這是因?yàn)檠苌湫?yīng)的影響，使得大家只能觀察到少數(shù)處于中心位置的條紋，而處于中心位置的低級(jí)干涉條紋一般是比較直的；更重要的是實(shí)驗(yàn)觀察視角非常的窄(約10條明暗條紋的寬度)，在有限的觀察范圍內(nèi)條紋幾乎就是筆直的，這完全可以將圖4的z軸取值范圍縮短至毫米量級(jí)時(shí)得到驗(yàn)證.而且實(shí)驗(yàn)操作時(shí)設(shè)置的L往往比較長(zhǎng)，彎曲現(xiàn)象進(jìn)一步被削弱了.綜合這幾方面因素，干涉實(shí)驗(yàn)觀察到的條紋可以認(rèn)為是直的，在一定范圍內(nèi)用遠(yuǎn)場(chǎng)和近軸近似處理雙縫干涉問題是沒有問題的，況且遠(yuǎn)場(chǎng)和近軸處理還極大地簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)計(jì)算.

4 考慮衍射調(diào)制

另外，在學(xué)生具體實(shí)驗(yàn)操作過程中會(huì)發(fā)現(xiàn)：通常只能看到若干條處于中間位置低級(jí)別干涉條紋，越往兩側(cè)條紋越暗，甚至消失了.很多教師可能會(huì)將其解釋為理想實(shí)驗(yàn)和實(shí)際操作在正常范圍內(nèi)的“差異”，或者直接忽略了這個(gè)現(xiàn)象.

實(shí)際上在雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中，假如縫隙寬度足夠小(或者認(rèn)為d?λ)，那么光屏上確實(shí)應(yīng)該可以看到無數(shù)條干涉條紋，但是考慮到雙縫本身也是具有一定寬度的，無法滿足d?λ，因此就需要考慮衍射效應(yīng)給實(shí)驗(yàn)結(jié)果帶來的影響.假設(shè)光是平行直射到雙縫擋板的，光屏放置在雙縫正對(duì)面L處，那么該實(shí)驗(yàn)實(shí)際上就成了菲涅耳雙縫衍射了，或者可以理解成衍射調(diào)制的雙縫干涉，光場(chǎng)強(qiáng)度分布情況可以用菲涅耳-基爾霍夫衍射積分公式計(jì)算[6]

圖8 考慮了衍射效應(yīng)后的雙縫干涉

筆者還對(duì)比了相同條件下不同縫隙寬度對(duì)干涉結(jié)果的影響.根據(jù)圖9可以發(fā)現(xiàn)：縫隙寬度b對(duì)光強(qiáng)分布影響非常大.縫隙寬度越大，能觀察到的條紋數(shù)目就越少，有時(shí)甚至只能觀察到中央零級(jí)明條紋，而且縫隙寬度越大，中心明紋與兩側(cè)次級(jí)明紋之間的光強(qiáng)分布差距也越大；與之相反，縫隙寬度較小時(shí)，不僅光強(qiáng)分布較為均勻，能夠觀察到的亮紋數(shù)目也多.顯然縫隙寬度越小，衍射效應(yīng)對(duì)干涉結(jié)果的調(diào)制就越弱，這是符合理論分析的，但傳統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)儀器是很難通過調(diào)節(jié)縫隙寬度揭示這個(gè)現(xiàn)象的，這也正是計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的意義所在.

圖9 λ=550 nm，L=1.0 m，d=0.5 mm

5 總結(jié)

本文先分析了雙縫干涉的形成原理，用C+ +程序模擬了近軸、遠(yuǎn)場(chǎng)近似下的楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了明暗條紋寬度計(jì)算公式的正確性，并與未作近似處理的模擬圖樣進(jìn)行了一定的比較，說明了在一定范圍內(nèi)用近軸和遠(yuǎn)場(chǎng)近似解決雙縫干涉問題的合理性，解釋了未作近似處理的條紋為何有些彎曲而實(shí)際觀察到的條紋卻是筆直的.本文還用程序模擬仿真了不同縫寬對(duì)干涉條紋總數(shù)的影響，揭示了由于衍射調(diào)制導(dǎo)致中心明條紋較亮、兩邊明條紋較暗的現(xiàn)象，剝離了分析傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)難以消除的干擾因素，幫助學(xué)生更加正確、全面、深入地理解雙縫干涉實(shí)驗(yàn).盡管有些知識(shí)超出了中學(xué)物理教學(xué)范圍，但作為教師,為學(xué)生疏通心中疑惑，解釋這些現(xiàn)象背后的原因是有必要的，況且借助仿真模擬極大地降低了理解的難度.