姚夢真 馮 杰

(上海師范大學數(shù)理學院 上海 200234)

蔡志東

(鎮(zhèn)江高等?？茖W校丹陽師范學院 江蘇 鎮(zhèn)江 212300)

狹義相對論是愛因斯坦在前人的工作基礎上創(chuàng)立的全新的時空理論，它徹底顛覆了牛頓的絕對時空觀，改造了牛頓力學，修改了麥克斯韋電磁場理論.

狹義相對論的誕生，不僅推動了物理學的發(fā)展，還深化了人們對時空觀和因果關系的認識.本文從物理學史的角度，闡述了相對論的發(fā)展歷程及其給我們的啟示.

1 狹義相對論誕生的歷史背景

1.1 狹義相對論誕生的實驗基礎

1865年，麥克斯韋總結了前人的成果，提出了位移電流的假說，建立了系統(tǒng)的電磁理論.該理論中存在一個普適常數(shù)：真空中的光速，但是卻沒指出這個速度是相對于哪個參考系的.從牛頓的絕對時空觀出發(fā)，光速應當是相對于某一特殊參考系的速度.有些學者認為，存在一種絕對靜止的光的傳播媒介——以太，光速正是相對于以太參考系的速度.為了證明以太的存在，物理學家們設計了多個精密實驗來進行研究.然而，各個實驗所得結果卻相互矛盾，這迫使人們不得不重新審視牛頓的絕對時空觀[1]，建立新的時空觀.下面簡要介紹驗證“以太存在與否”的4個重要實驗.

1.1.1 雙星實驗

圖1 雙星實驗示意圖

則轉動的雙星在A點和B點時發(fā)出的光相對于地球觀察者的速度分別為

u=c+v

(1)

u′=c-v

(2)

星甲在A點發(fā)出的一束光到達地球的時刻為

(3)

星甲在B點發(fā)出的光到達地球的時刻為

(4)

在地球上的觀察者看來，該星從A點運動到B點所需的時間間隔為

(5)

(6)

因此，在地球觀察者看來，雙星運動的兩個半周期是不對稱的，星甲經(jīng)歷的時間比星乙經(jīng)歷的時間長一些，時間差為

(7)

但是實驗表明，雙星的兩個半周期是完全對稱的.因此，在A點和B點發(fā)出的光相對于地球上的觀察者其速度必須是相同的，即觀察者所測得的速度與光源速度無關，這與介質(zhì)波的性質(zhì)相似.如果光是一種介質(zhì)波，就應當有以太的存在.

1.1.2 光行差實驗

光行差現(xiàn)象是指當人們從地面上觀測恒星位置時，所看到的恒星位置將偏離恒星的真實位置[2].下面簡要說明這一現(xiàn)象.為簡單計，我們假定地球相對于以太的速度v沿x軸的正方向.如圖2所示，如果把望遠鏡TE對準恒星的真實位置A，那么將看不見恒星，只有把望遠鏡傾斜一個角度θ對準A′才能看見，A′叫做恒星的視位置[2].這一現(xiàn)象是英國天文學家布拉德雷在1927年首先發(fā)現(xiàn)的，他的測量結果表明，望遠鏡的傾斜角度θ=20.5″，下面簡要介紹其原理.

圖2 光行差現(xiàn)象示意圖

假設以太存在，地球相對于以太的速度v沿x軸正方向，而恒星光線相對于以太的速度c沿z軸負方向.依據(jù)牛頓力學可知，地球上的觀察者所看到的光線的傳播速度是x分量和z分量的合速度.x分量大小為v，方向沿x軸負方向；z分量大小為c，方向沿z軸負方向，如圖3所示.故光線的傳播方向與z軸負方向的夾角應為

圖3 光行差實驗原理圖

(8)

假定太陽相對于以太靜止，則地球相對于以太的速度即為地球的公轉速度v=3×106cm/s.將這一結果和c=3×1010cm/s一起代入式(8)中，即可得到θ≈10-4rad=20.5″，這一結果和布拉德雷的觀測結果符合得很好.

光行差實驗以強有力的證據(jù)表明：如果以太真的存在，那么它相對于太陽是靜止的.地球在以太中穿行時不會拖動以太，且光在以太中的速度各向同性且恒定不變.

1.1.3 邁克爾孫-莫雷實驗

為證明以太的存在，邁克爾孫和莫雷設計了一個非常精密的實驗，然而他們實驗的結果卻與光行差實驗所得出的結果相反：以太應完全為地球所帶動.

邁克爾孫-莫雷實驗的基本原理如圖4所示[3]，從某一單色光源S發(fā)出的光束到達半鍍鏡G后分為兩束，一束透射至反射鏡M2，在M2反射回G，又在G處反射到望遠鏡T.另一束在G處反射至反射鏡M1，再反射回G并直達望遠鏡T.兩束光重新相遇時會由于相位差而發(fā)生干涉現(xiàn)象，出現(xiàn)干涉條紋；如果相位差發(fā)生變化，則將出現(xiàn)干涉條紋的移動[3].

將干涉儀兩臂GM2與GM1垂直放置，GM2臂方向與地球公轉方向一致，lGM1=lGM2=l.設光相對于以太的傳播速度為c，在與以太(或太陽)相對靜止的觀察者看來，光從G→M2運動時有ctGM2=l+vtGM2(注：光在向右運動時，除了要經(jīng)過l這段距離，還要加上鏡子M2向右運動了vtGM2的距離，才是光走的實際距離).光從M2→G時有ctM2G=l-vtM2G(注：光在向左運動時，因為G向右運動了vtM2G的距離，所以實際距離為l-vtM2G)，往返時間為

(a) (b)

(9)

用t2表示光經(jīng)路徑GM′1G′的時間.靜止在以太上的觀察者看來，半鍍鏡G和反射鏡M1都隨地球一起向右運動，光走的路徑是斜上斜下而不是直上直下[見圖4(b)]，故

(10)

解出t2

(11)

故由于光源和干涉儀的運動引起光在兩臂間傳播的時間差為

(12)

即光沿著水平方向往返一次要比豎直方向往返一次時間長，即

tGM2G>tGM1G

(13)

(14)

實驗中所使用的單色光的波長為

λ=5×10-7m

干涉臂長為

l=10 m

v=3×104m/s

c=3×108m/s

將其代入式(14)可得Δn≈0.4.但是實驗結果卻是Δn=0[4].

需要說明的是，干涉條紋的移動與否是一個客觀事實，與觀察者無關.邁克爾孫-莫雷實驗說明，如果以太真的存在，那么地球會完全拖曳以太，這和光行差實驗結果正好相反.當然還有一種解釋是，以太并不存在，光速與光源運動無關.

1.1.4 菲佐實驗

菲佐在1851年做過流水對光速影響的實驗，如圖5所示，光源S發(fā)出的光在半透鏡M處因反射和透射分成兩束，一束光的傳播方向與水流方向一致，另一束光的傳播方向與水流方向相反，最終兩束光匯聚在同一觀測點O,如圖5所示[2].

圖5 菲佐實驗原理圖

(15)

其中n為水的折射率，v為水流速度，L為管子的長度.水流速度不同，光程差不同，干涉條紋不同.根據(jù)條紋數(shù)的變化可以求出以太隨水運動的拖曳系數(shù)k，k=1表示完全被拖動，k=0表示不被拖動.實驗結果是 0

1.2 狹義相對論誕生的理論基礎

1.2.1 物理基礎

(1)伽利略相對性原理與牛頓力學

牛頓力學主要由兩部分組成：牛頓三定律和萬有引力定律.這兩部分都是建立在牛頓的絕對時空觀之上的，牛頓認為，由于本性而均勻地、與外界事物無關地、自身地流逝著的是絕對時間，就其本身而言，和外界任何事物無關[1]；所謂絕對空間，即存在一個與任何事物無關、與時間無關、均勻而各向同性的、獨立而永恒存在的無限大的“容器”.在絕對時空觀的概念里，時間和空間是完全分離的，具有獨立性，這也是大多數(shù)人所接受并當作常識的觀點.

在絕對時空觀的概念下，可推出牛頓力學在任何慣性系中都成立.換言之，一切慣性系在力學上是完全等價的，這就是著名的伽利略相對性原理.在經(jīng)典物理學中，速度變換滿足經(jīng)典速度變換關系.狹義相對性原理正是在這一原理的基礎上推廣而來的.

(2)麥克斯韋電磁理論

真空中麥克斯韋方程組為[5]

(16)

在自由空間中，ρ=0,J=0，式(16)變?yōu)?/p>

(17)

取式(17)第一式的旋度并利用第二式可得

(18)

×(×E)=(·E)-2E=-2E

代入式(18)可得電場E的偏微分方程

(19)

同理，在方程組(17)中對第二式求旋度，然后把第一式的結果代入，可得磁場B的偏微分方程

(20)

(21)

上式即為真空中電磁場的波動方程，其中c是電磁波在真空中的傳播速度，ε0與μ0分別是真空中的介電常數(shù)和磁導率.因所有的電磁實驗都是在地面參考系中進行的，因而導出的結論原則上也僅適用于地面參考系，但是實驗表明，光速與參考系無關[6].狹義相對論中的光速不變原理正是基于實驗和電磁理論兩方面的考慮而引入的.

(3)洛倫茲收縮

1.2.2 數(shù)學基礎

(1)閔可夫斯基四維時空

(2)張量分析

通常，標量描述一個物體整體的、籠統(tǒng)的性質(zhì)(如溫度、體積等)，矢量描述一個質(zhì)點的特性(如質(zhì)點的位移、速度、加速度等)或場中某一點的特性(電場強度、磁感應強度等).要精確描述物體內(nèi)部各部分之間的相互作用，需要用到張量.如彈性力學中的應力張量，電磁理論中的電磁場張量等.用電磁場張量可以把電場強度和磁感應強度作為一個整體統(tǒng)一起來，精確地描述電磁場的特性，并把麥克斯韋方程組寫成協(xié)變形式(任何慣性系中數(shù)學形式相同).張量分析為相對論提供了一個強有力的數(shù)學工具.

1.3 狹義相對論誕生的哲學基礎

1.3.1 馬赫的哲學思想

馬赫從經(jīng)驗論出發(fā)，批判了牛頓絕對時間、絕對空間的概念[7].馬赫認為，首先這些概念不是從經(jīng)驗中來的，也無法用經(jīng)驗證實.他們是抽象的、不可觀察的，是思想的產(chǎn)物.時間和空間概念是通過觀察世界上事物間的相互聯(lián)系獲得的，但絕對時間和絕對空間都不能和經(jīng)驗觀測相聯(lián)系[7].因此，絕對時間和絕對空間就成了沒有實際意義的形而上學概念.

此外，物體的運動也是相對的，只有在一個確定的參考系下才能描述某個物體的運動，如果用以判斷該物體運動的參照物不存在，就無法得到物體的運動特性.馬赫的相對時空觀和相對運動觀，為愛因斯坦徹底拋棄牛頓的絕對時空，創(chuàng)立相對論指明了正確的方向.

1.3.2 龐加萊的哲學思想

龐加萊在1903-1904年間曾經(jīng)指出：“以任何動力學或電磁學的觀測去檢查絕對的勻速運動，是不可能的”[3]，這體現(xiàn)了其相對性原理的思想.1904年他指出光速c是動力學的極限速度，即光速是速度的極限[8].可以說，龐加萊已經(jīng)走到了創(chuàng)立相對論的大門，只差一步.這些思想對愛因斯坦具有一定的啟發(fā)作用.

1.4 狹義相對論誕生的問題基礎

1.4.1 愛因斯坦16歲時的追光問題

愛因斯坦在16歲時想到一個問題：如果能追上一束光，它看起來會像什么樣子的？

按照牛頓力學中的速度疊加定理，光看起來應該是靜止不動的波紋.愛因斯坦認為，根據(jù)直覺，光波沒有理由靜止不動.這個問題始終縈繞在他的心頭，最終促使他在26歲時創(chuàng)立了狹義相對論，徹底解決了這個問題.

1.4.2 同時的相對性

洛倫茲和龐加萊兩人已經(jīng)走到了相對論的門口，只差最后一步.為什么他們兩人沒能創(chuàng)立相對論呢？ 除了不愿拋棄以太這個概念之外，還有更重要的一點，那就是他們兩人都沒有認識到(異地)同時的相對性.愛因斯坦是在一次和朋友的討論中猛然領悟到這一點的.在牛頓力學中，同時是絕對的，一個觀察者觀察到兩個事件是同時發(fā)生的，那么任何其他人都認為也是同時發(fā)生的.愛因斯坦認識到，由于光速的有限，同時具有相對性.在一個慣性系中觀察到是同時發(fā)生的事件，在另一個相對于他做勻速運動的慣性系中不是同時的.相對論中的許多效應如尺縮、鐘慢效應，都源于同時的相對性，它是牽住相對論這個“牛鼻子上的一根韁繩”，抓住了它，一切都可以迎刃而解.

2 狹義相對論的基本假設及理論核心

2.1 狹義相對論的兩條基本假設

愛因斯坦在總結了新的實驗事實后，在1905年提出了兩條相對論的基本假設[5].

(1) 光速不變原理：真空中的光速相對于任何慣性參考系沿任一方向恒為c，并與光源的運動無關.

(2) 相對性原理：即慣性系之間完全等價不可區(qū)分，或物理規(guī)律在所有慣性系中都相同.

此外，還有一個約定(假設)，在任何慣性系中，時空是均勻的、各向同性的.

2.2 狹義相對論的理論核心

2.2.1 洛倫茲變換

如圖6所示，假設有兩個慣性參考系S和S′，起始時兩參考系的坐標原點重合且S′系相對于S系沿x方向的速度為v.S系和S′系同時從零開始計時，計時起將位于原點處的點光源發(fā)射一光脈沖.在S系中 ，光脈沖以速度c向各個方向傳播，波前到達(x,y,z)所需的時間間隔為

圖6 S′和S為兩原點重合慣性系，O(O′)處出現(xiàn)光脈沖

(22)

等式兩邊平方后移項可得

x2+y2+z2-c2t2=0

(23)

故在S′系中同樣可觀測到光脈沖以速率c向各個方向傳播，則t′時刻，波前到達(x′,y′,z′)的球面方程為

x′2+y′2+z′2-c2t′2=0

(24)

為了簡單計算，令x軸與x′軸重合，且新舊坐標滿足線性關系(時空的均勻和各向同性可以確保變換關系是線性的).即x′=αx+βt,y′=y,z′=z,t′=γx+δt，兩邊求Δ或微分，注意運動的相對性，即O處的人看O′(Δx′=0)以速度v向右運動，由此得

(25)

2.2.2 四維動力學方程

正如牛頓第二定律是牛頓力學的核心一樣，相對論動力學方程也是狹義相對論力學的核心，它把牛頓第二定律改造成了具有洛倫茲協(xié)變性的方程[5]

(26)

2.2.3 四維電磁張量和四維矢勢——麥克斯韋方程的協(xié)變形式

除了用電場強度E和磁感應強度B，從力的角度來描述電磁場之外，還可以用矢勢A和標勢φ，從能的角度來描述電磁場，兩者的關系為

(27)

□Aμ=-μ0Jμ

(28)

(29)

于是，我們可以把真空中麥克斯韋方程組中的第二和第三個方程合并為一個張量方程

(30)

把真空中麥克斯韋方程組中的第一個和第四個方程合并為另一個張量方程

(31)

這樣就把麥克斯韋方程修改成了協(xié)變形式，使之在任何慣性系中都具有相同的形式.

式(30)中采用了愛因斯坦求和約定：相同指標表示求和.

2.2.4 四維間隔的絕對性

在洛倫茲變換下，矢量和張量一般都會發(fā)生變化，但有一些量會保持不變，因而稱之為洛倫茲變換的不變量.因為洛倫茲變換在幾何學上表現(xiàn)為“閔氏時空”的轉動，在坐標軸轉動時，矢量的“長度”或“模”是不變的，因此，四維間隔(無限靠近的兩點之間的“閔氏空間距離”)具有不變性，“距離或間隔”的平方自然也不變，即

這就是四維間隔的絕對性(不變性)，它是光速不變原理、狹義相相對性原理、時空均勻且各向同性三者的集成(數(shù)學表示)，在相對論中具有核心地位，堪稱相對論的基石.

3 狹義相對論的誕生歷程給我們的啟示

(1)注意繼承與創(chuàng)新的關系

狹義相對論和其他科學理論一樣，都是科學技術和生產(chǎn)水平發(fā)展到一定階段的必然產(chǎn)物.它是在牛頓力學和麥克斯韋電磁理論的基礎上創(chuàng)立的一個新理論.它拋棄了“以太”的概念和絕對時空觀，把伽利略(力學)相對性原理推廣為狹義(物理)相對性原理，把光速不變作為一條基本原理，由此導出了洛倫茲變換公式，得出了“尺縮、鐘慢、質(zhì)增”效應以及質(zhì)能公式等.狹義相對論的誕生并沒有徹底否定牛頓力學，只是給它劃定了一個適用范圍：宏觀低速.

(2)重視哲學的指導作用

哲學揭示的是世界上事物發(fā)展最一般的規(guī)律，是指導我們認識世界和改造世界最基本的思想武器.正如愛因斯坦所說，馬赫的哲學思想曾直接或間接地給他以啟發(fā)，是馬赫對絕對時空的批判讓他捕捉到時間的“可疑”.哲學不僅對相對論的誕生有著指導作用，它所揭示的關于物質(zhì)和運動的關系；運動和靜止的關系；物質(zhì)運動和時空的關系等對整個物理學乃至整個自然科學都有著指導作用.

(3)注重數(shù)學和實驗的基礎地位

物理學是一門以實驗為基礎，以數(shù)學為工具的科學.物理學理論的建立一般都經(jīng)歷：實驗—假說—數(shù)學推理—實驗檢驗—建立理論—拓展應用等幾個階段.如果把科學研究比作一只鳥，那么實驗和數(shù)學就是鳥的兩個翅膀.近代科學的基本特征就是把實驗和數(shù)學引入科學，因此，掌握實驗技能和先進的數(shù)學工具，對物理研究和物理教學都極為重要.

(4)重視問題的啟發(fā)作用

愛因斯坦從16歲開始思考追光問題，直到1905年26歲發(fā)表著名的《論動體的電動力學》，才算最終解決此問題.他曾說過“提出一個問題比解決一個問題更重要，因為解決一個問題只需要數(shù)學或實驗的技巧，而提出一個問題卻需要非凡的想象力和創(chuàng)造力.”

問題好比發(fā)動機，有了問題才有探索的動力，無論是物理研究還是物理教學，都要重視問題的啟發(fā)作用，做到敢于質(zhì)疑、善于提問，在一個個為什么中找到研究的方向.