福建省永春第五中學(xué) (362000) 許智輝福建省泉州第五中學(xué) (362000) 楊蒼洲

近年的高考題，數(shù)列試題中經(jīng)常涉及一類含有an與Sn遞推關(guān)系的問題，這是一類熱點(diǎn)問題．本文探討求解此類問題的有效策略.

1.從一個(gè)高考題談起

題目(2018全國卷Ⅰ理14)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Sn=2an+1，則S6=.

本題是蘊(yùn)含an,Sn遞推關(guān)系的數(shù)列問題.求解此類問題，往往有兩個(gè)思路.一是消掉Sn，留an，從而把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的遞推數(shù)列問題.二是消掉an，留Sn，從而把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于Sn的遞推數(shù)列問題.因此可得下述兩種解法.

解法一：當(dāng)n=1時(shí)，S1=2a1+1，所以a1=-1．

解法二：當(dāng)n=1時(shí)，S1=2a1+1，所以S1=-1．

2.含an與Sn遞推關(guān)系的求解策略

一類是已知Sn與n關(guān)系式，即Sn=f(n)，可以通過關(guān)系式an=Sn-Sn-1(n≥2)，消去Sn，從而得到an=f(n)-f(n-1)，整理可求得an的表達(dá)式；

另一類是已知an與Sn兩者之間的遞推關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵在于應(yīng)用an=Sn-Sn-1(n≥2)，消去遞推關(guān)系中的an(或消去遞推關(guān)系中的Sn)，從而把問題轉(zhuǎn)化為an,an-1的遞推關(guān)系(或Sn,Sn-1的遞推關(guān)系)，并通過研究數(shù)列{an}(或{Sn})的遞推關(guān)系，求出an(或Sn)的表達(dá)式.消元時(shí)，消去an還是消去Sn，往往都是可行的方法，解題者可根據(jù)題目的形式結(jié)合解題經(jīng)驗(yàn)選擇最佳的解法.

3.含an與Sn遞推關(guān)系的試題新編

思路探析:本題是數(shù)列中an與Sn的關(guān)系問題，可以通過求出{an}的通項(xiàng)進(jìn)而求出S6，或是把{Sn}看成一個(gè)數(shù)列，通過求出{Sn}的通項(xiàng)進(jìn)而求出S6．

數(shù)列中an與Sn遞推關(guān)系是本質(zhì)上是關(guān)于n的隱函數(shù)關(guān)系，因此，解題時(shí)要善于以函數(shù)的觀點(diǎn)進(jìn)行思考.