福建省廈門第一中學(xué) (361003) 王淼生

1.重心性質(zhì)

在ΔABC中，D、E、F分別是邊AB、BC、CA的中點，連接AE、BF、CD，則AE、BF、CD必相交于一點G，我們把點G稱為三角形的重心．(注：本文圖略.)

三角形重心有以下一些常見、基本、熟悉的性質(zhì)：

性質(zhì)2 從線段長度的視角：GA=2GE，GB=2GF，GC=2GD；

三角形重心是一個重要概念．有些問題僅從表面上看，似乎與三角形重心毫不相干．倘若我們善于巧妙構(gòu)造三角形重心并綜合利用上述基本性質(zhì)，尤其關(guān)注性質(zhì)1(性質(zhì)1是構(gòu)造三角形重心的重要依據(jù))，往往使問題獲得妙不可言的解答．

2.精彩演繹

2．1 平面幾何方面的應(yīng)用

案例1 點P在ΔABC內(nèi)，求PA2+PB2+PC2取得最小值時的點P的具體位置．

剖析：案例1是一道耳熟能詳?shù)慕?jīng)典試題，不少教輔資料干脆直接將它作為三角形重心性質(zhì)或結(jié)論．一般采用建立直角坐標系，然后借助坐標運算湊配成二次函數(shù)來處理．倘若借助上述性質(zhì)1可以得到以下精致的解答，具體解答過程如下：

2．2 立體幾何方面的應(yīng)用

案例2 在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AD=AP=2，AB=BC=1，點E是棱PD的中點，PC與平面ABE的交點為F，設(shè)PF=λPC，則λ=( ).

剖析：案例2源自廈門市2018—2019學(xué)年度第一學(xué)期高二年級理科數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題．可以通過建立空間直角坐標系借助坐標來處理；也可以利用空間向量中四點(A、B、E、F)共面定理來處理，但運算量較大、過程較復(fù)雜，構(gòu)造重心讓人賞心悅目！

具體解答過程如下：

值得說明的是：通過構(gòu)造三角形重心來處理案例2不僅簡捷，而且沒有利用題中所給條件“PA⊥平面ABCD；AB⊥AD”，從一個側(cè)面也說明這些條件是多余的．命題專家之所以在命制試題時給出這些條件，緣于命題專家先入為主，默認需要建立空間直角坐標系來處理，這也是專家命制數(shù)學(xué)試題時經(jīng)常出現(xiàn)的瑕疵．

2．3 解三角形方面的應(yīng)用

剖析：案例3是一道經(jīng)典試題，源自2008年江蘇高考試題．案例3有許許多多的解法，如將AD看作變量建立目標函數(shù)，然后借助二次函數(shù)或?qū)?shù)處理；可以將∠BAC看作變量建立目標函數(shù)，然后借助斜率或三角函數(shù)有界性、萬能公式等手段處理；可以以BC所在直線為x軸，以線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，借助橢圓知識、或橢圓參數(shù)方程或均值不等式或柯西不等式等手段處理；還可以以BD所在的直線為x軸，以線段BD的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，借助圓的知識處理(注：這個圓就是著名的阿波羅尼斯圓)．其實，構(gòu)造三角形重心更為簡捷，讓人拍案叫絕．

具體解答過程如下：

2．4 三角函數(shù)方面的應(yīng)用

案例4 若0≤α<β<γ<2π，cosα+cosβ+cosγ=0，sinα+sinβ+sinγ=0．證明：2β=α+γ．

剖析：案例4源自一道奧林匹克問題．一般來說都是借助三角公式進行三角恒等變形處理，倘若構(gòu)造三角形重心，則可以獲得新穎別致的解答，具體解答過程如下：

由已知條件的結(jié)構(gòu)特征，我們構(gòu)造單位圓，顯然點A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，C(cosγ，sinγ)均在單位圓O上，故ΔABC的外心就是原點O．依據(jù)上述性質(zhì)4可得ΔABC的重心坐標為

2．5 平面向量方面的應(yīng)用

A．2∶1B．3∶2C．3∶1D．5∶3

剖析：案例5源自2004年全國高中數(shù)學(xué)競賽試題.案例5有多種解法，其中巧妙構(gòu)造三角形重心不僅簡捷，而且具有啟迪功能，具體解答過程如下：

案例5是一道極其經(jīng)典試題，我們可以將上述案例5推廣到一般情況：

其實，上述推廣1還可以進一步拓展得到更加一般的規(guī)律：

當然，三角形重心還有其它許多方面的應(yīng)用，比如解析幾何、物理學(xué)(物體的重心)等方面．本文所舉案例，權(quán)當拋磚引玉，不當之處，敬請批評指正．