鹽城師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 (224002) 段志貴南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院 (210023) 陳馨悅

數(shù)學(xué)教育家喬治·波利亞在他的《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書中，構(gòu)畫了一幅具有指導(dǎo)價值的“我們該怎樣思考”解題思維導(dǎo)圖[1]．這幅圖以“菱形”為基本框架，位于菱形四個頂點的分別是“動員”、“組織”、“分離”和“組合”，四條邊則分別標(biāo)有“辨認(rèn)”、“回憶”、“充實”以及“重組”，位于菱形中心的是“預(yù)見”[2]．其中，“分離”與“重組”可謂是解題思維中的關(guān)鍵，它們直接影響著解題的進(jìn)程．如果把這幅圖與波利亞的“怎樣解題表”相比對，“分離”與“重組”相當(dāng)于“怎樣解題表”中的第二步——“擬定(解題)計劃”．在解題中，“分解”與“重組”是一對矛盾統(tǒng)一體，它們既互相對立，又相互轉(zhuǎn)化．分解是矛盾的主要方面，我們通過不斷地分離——重組，再分離——再重組，以至預(yù)見解題思路，形成解題策略和具體的解題方法．那么，在數(shù)學(xué)解題中，怎樣對問題進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆纸馀c重組呢？

1.拆分主干，化解解題難點

所謂拆分主干，指的是把待處理的復(fù)雜問題分解為若干個較簡單的或較為熟悉的小問題，再把所有這些小問題的解合并起來，求出原問題的解的一種方法．比如立體幾何中我們通過分割法去求一個幾何體的體積，就是把待求的幾何體分割成若干個可求的小幾何體，分別求出它們的體積，再累加起來．當(dāng)然這只是一種直觀的解釋，其實數(shù)學(xué)其它模塊問題的求解中我們同樣也可以通過拆分問題的主干化解難點，并逐個擊破，最后實現(xiàn)問題整體上的解決．

例1 已知a>0，b>0，c>0，求證：(a2+a+1)(b2+b+1)(c2+c+1)≥27abc.

2.分類討論，開啟解題通道

所謂分類討論，指的是在處理數(shù)學(xué)問題的過程中，當(dāng)問題所給出的對象不能統(tǒng)一研究時，需要根據(jù)對象本質(zhì)屬性的異同，將對象劃分成有限個相對具體、方便解決的不同情況，按照不同類別進(jìn)行分別研究與求解，然后綜合各種情況得到原問題的結(jié)論．分類討論是對問題進(jìn)行分解的常用方法.科學(xué)地對問題進(jìn)行分類討論，有助于將問題化難為易，化繁為簡[3]．

分析:本題參數(shù)a并沒有明確告知，給問題的求解帶來極大的麻煩．直接求解必然行不通，必須對參數(shù)a進(jìn)行分類討論．事實上，本題參數(shù)a決定了2a+1的符號和兩根-4a、6a的大小，故需要著眼于2a+1的正負(fù)性首先進(jìn)行討論，然后再結(jié)合解題過程中出現(xiàn)的-4a、6a的正負(fù)性(或取零)進(jìn)行討論．

當(dāng)a>0時，(x+4a)(x-6a)>0，解得x<-4a或x>6a；

當(dāng)a=0時，x2>0，解得x≠0；

例4 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=32n-n2，則數(shù)列{|an|}的前n項和是什么？

分析:雖然{an}是一個等差數(shù)列，但它的前16項為正項，從第17項起每項皆為負(fù)項，這就使得

{|an|}(n=1,2,…,16)與{|an|}(n≥17)成為兩個不同的數(shù)列.

3.局部變動，帶動解題突破

局部變動，是一種特殊而重要的分解方法，其處理方法是暫時固定問題中的一些可變因素，使之不變，在此基礎(chǔ)上先研究另一些可變因素對求解問題的影響，取得局部的成果后，再從原先保持不變的因素里取出一些繼續(xù)研究，直到問題全部獲解[4].

例5 求證：圓的所有內(nèi)接三角形中以正三角形之面積為最大.

分析:如圖1所示，圓的內(nèi)接三角形的三個頂點A、B、C均可在圓周上任意變動.根據(jù)題意，我們可以先把B、C暫時保持不動,只讓A點在圓周上任意變動，那么|BC|就暫時被認(rèn)為是定值，三角形面積的大小就取決于A點到BC的距離，即BC邊上的高AD.

圖1

當(dāng)高AD通過圓心時，其值最大，即知當(dāng)AB=AC時三角形面積最大；再把A、C固定，讓B點變動，同樣可得AB=BC時三角形面積最大．根據(jù)兩次變動的結(jié)果可知只有當(dāng)AB=BC=CA時三角形面積最大.

例6 試求任一三位數(shù)與其各位數(shù)字之和的商的最小值.

分析:不妨設(shè)三位數(shù)為100x+10y+z，它與其各位數(shù)字之和的商為w，其中1≤x≤9，1≤y≤9，

4.逐步逼近，沖擊解題目標(biāo)

所謂逐步逼近指的是為了解決一個數(shù)學(xué)問題，首先從與該問題的實質(zhì)內(nèi)容有著本質(zhì)聯(lián)系的某些容易著手的條件或某些減弱的條件出發(fā)，再逐步地擴大(或縮小)范圍，逐步逼近，以至最后達(dá)到問題所要求的解[5].

例7 在503后面添三個數(shù)字，使所得的六位數(shù)能被7、9、11整除．

分析:本題如果用常規(guī)方法，從整數(shù)的整除性特征入手去考慮，所得的六位數(shù)如何才能被7、9、11整除，解答起來比較困難．不妨著眼于整體，采用逐步逼近的方法考慮．

事實上，該六位數(shù)既然能被7、9、11整除，也應(yīng)該被7、9、11的最小公倍數(shù)693整除，反過來，如果這個六位數(shù)能被693整除，那么它一定能被7、9、11整除．于是，可以建立解題目標(biāo)：503□□□÷693=A①，其中A表示的是一個值為整數(shù)的商．

設(shè)法在503的后面添入適當(dāng)?shù)臄?shù)字使①成立．不妨設(shè)添入的三個數(shù)是999(最大的三個數(shù)字)，得到503999÷693=727……188②.再觀察②，發(fā)現(xiàn)②比①多了余數(shù)188，這時只要在999中減去188就能整除，而999-188=811．于是有503811÷693=727③.③與解題目標(biāo)①相一致了，由503811得到題目的一個解——811，由于811大于693，因此還可以從811中再減去693，得到118，于是又得到問題的另一個解．

基于上述解題過程可以看到，企圖一次性求得答案是不現(xiàn)實的．而利用逐步逼近法，首先找到公倍數(shù)，建立解題目標(biāo)，然后嘗試得到符合條件的一個較大的數(shù)，在此基礎(chǔ)上，再尋找其他符合條件的答案，逐步實現(xiàn)解題目標(biāo)．

例8 設(shè)f(x)是一個定義在有理數(shù)數(shù)集上的實值函數(shù)，對于任意的x和y，都滿足f(x+y)=f(x)+f(y).求證：對一切有理數(shù)，都有f(x)=kx，其中k為實常數(shù).

分析:在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=1，則f(2)=2f(1)；若取x=y=0，就有f(0)=2f(0)，即有f(0)=0=f(1)×0．由此猜測k=f(1)，即對一切有理數(shù)x，有f(x)=f(1)×x.

我們首先從正整數(shù)切入，采用逐步逼近的方法漸進(jìn)解題目標(biāo)．

(1)首先考慮x為任意正整數(shù)n的情形，f(n)=f(1)×n，可以用數(shù)學(xué)歸納法證明成立，這里略去不證.

(2)接著證明x為任意負(fù)整數(shù)時亦成立.事實上，0=f(0)=f[n+(-n)]=f(n)+f(-n)，知f(-n)=-f(n)=f(1)×(-n).至此，對一切整數(shù)x，都有f(x)=f(1)×x.

可以看到，本例證明過程被分解為逐層遞進(jìn)的幾個階段，每一個階段都有一個小目標(biāo)，每個小目標(biāo)的實現(xiàn)即形成接近下一個小目標(biāo)的臺階，沿著臺階拾級而上，逐步逼近了問題獲解的總目標(biāo).

需要強調(diào)的是研究分解與重組，不能脫離整體.恰恰相反，科學(xué)的分解與重組都應(yīng)該是在整體思想指導(dǎo)下進(jìn)行．只要我們善于觀察，從做中學(xué)，在學(xué)中做，勤于總結(jié)其中的規(guī)律，就一定能把這一策略靈活運用到數(shù)學(xué)解題之中，為順利解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題打下堅實的基礎(chǔ)．