浙江省象山中學(xué) (315700) 王海挺

文[1]由一道具體的橢圓試題出發(fā)，探究得到關(guān)于橢圓的一個(gè)“奇異而有趣”的性質(zhì)，并將這一性質(zhì)延伸推廣到雙曲線與拋物線上，并分別予以解析證明.現(xiàn)將此文中的試題與相關(guān)的結(jié)果摘錄如下：

性質(zhì)3 在拋物線y2=2px(p>0)中，點(diǎn)P為其頂點(diǎn)，過點(diǎn)Q(0,2)的動(dòng)直線交拋物線于M,N兩點(diǎn)，則直線PM與直線PN的斜率之和為p.

筆者學(xué)習(xí)后，認(rèn)為三種圓錐曲線雖然外顯形態(tài)不同，但從定義、方程上看實(shí)際為和諧的統(tǒng)一體，直覺告訴筆者，文中所述的三個(gè)“奇異而有趣”的命題，應(yīng)該是圓錐曲線的一條統(tǒng)一性質(zhì)，這也激發(fā)筆者進(jìn)一步深入思考這一問題的興趣：這一性質(zhì)對圓錐曲線是否具有一般性，它又有什么幾何背景？

本文先從圓錐曲線的統(tǒng)一方程的角度表述此結(jié)論，并加以證明，然后逐步將其延伸拓展、以達(dá)研究揭示這一性質(zhì)背后所隱藏的幾何本質(zhì)的目的.

顯然，結(jié)論1的表述給人以更為統(tǒng)一整齊且美麗的感覺，讓人再次體驗(yàn)到圓錐曲線的統(tǒng)一和諧，也催人思考其蘊(yùn)涵著的更深層秘密.

坐標(biāo)方法是處理圓錐曲線問題的主要手段[2]，然而這一方法的局限性是明顯的，解析法將元素的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為純粹的代數(shù)運(yùn)算，既讓人畏苦運(yùn)算之繁難，也讓人難以看清楚問題的結(jié)構(gòu)所表現(xiàn)的幾何實(shí)質(zhì)，因此，利用較高層次的觀點(diǎn)能幫助我們更透徹地認(rèn)識問題背景.

根據(jù)以上分析，我們有如下結(jié)論.

結(jié)論2 點(diǎn)Q是圓錐曲線Γ在橫軸頂點(diǎn)P處的切線上與P不重合的定點(diǎn).若過點(diǎn)Q的直線與圓錐曲線Γ交于兩點(diǎn)M,N，則直線PM,PN的斜率之和等于點(diǎn)Q關(guān)于此圓錐曲線Γ的極線斜率的2倍.

下面用射影幾何知識證明此結(jié)論成立.

證明:如圖1，若點(diǎn)P為圓錐曲線Γ與x軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)Q作與直線PQ不重合的切線QA，切點(diǎn)為A.因?yàn)橹本€PQ與圓錐曲線Γ相切于點(diǎn)P，則直線PA為點(diǎn)Q的極線.則由二次曲線極線的定義[2]知，點(diǎn)Q,A1調(diào)和分割M,N，即(QA1,MN)=-1.

圖1

若點(diǎn)P為圓錐曲線Γ在縱軸上的頂點(diǎn)，只需實(shí)施坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，則知坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)(x,y)對應(yīng)變換為點(diǎn)(y,-x)，從而上述結(jié)論中對應(yīng)直線的斜率變換為坐標(biāo)變換前斜率值的倒數(shù)，進(jìn)而可得到如下結(jié)論3.

結(jié)論3 點(diǎn)Q為圓錐曲線Γ在縱軸頂點(diǎn)P處的切線上與P不重合的定點(diǎn).若過點(diǎn)Q的直線與圓錐曲線Γ交于兩點(diǎn)M,N，則直線PM,PN的斜率倒數(shù)之和等于點(diǎn)Q關(guān)于此圓錐曲線Γ的極線斜率倒數(shù)的2倍.

綜合考察這些結(jié)論，發(fā)現(xiàn)其中隱藏著點(diǎn)Q的極線過點(diǎn)P，則點(diǎn)P的極線過點(diǎn)Q，因而，結(jié)論的本質(zhì)就在于點(diǎn)線的構(gòu)形滿足配極原則，且對應(yīng)的線束、點(diǎn)列具有調(diào)和性；并且以上證明過程并不依賴于點(diǎn)Q在直線l上何處，也不依賴點(diǎn)P是否為圓錐曲線主軸的頂點(diǎn).這樣，上述結(jié)論可以再推廣.

結(jié)論4 若點(diǎn)P為圓錐曲線Γ的主軸垂線l的垂足，點(diǎn)Q為直線l上異于點(diǎn)P的定點(diǎn)，過點(diǎn)Q的直線與圓錐曲線Γ交于兩點(diǎn)M,N.

(1)若點(diǎn)P在橫軸上，則直線PM,PN的斜率之和等于點(diǎn)Q關(guān)于此圓錐曲線Γ的極線斜率的2倍；

(2)若點(diǎn)P在縱軸上，則直線PM,PN的斜率倒數(shù)和等于點(diǎn)Q關(guān)于此圓錐曲線Γ的極線斜率倒數(shù)的2倍.

證明完全與結(jié)論2的過程相同，為節(jié)省篇幅無需贅述.

如果點(diǎn)P在圓錐曲線Γ上，但非圓錐曲線的頂點(diǎn)時(shí)，如此瑰麗的性質(zhì)依然具有，還是有所變異？我們可以這樣想象，點(diǎn)P從圓錐曲線Γ的頂點(diǎn)處沿曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，一分為二，裂分關(guān)于主軸對稱的兩點(diǎn)，我們以此為基礎(chǔ)變造圖形，考慮點(diǎn)P,P1關(guān)于圓錐曲線的主軸x軸對稱，并構(gòu)造圓錐曲線Γ上的調(diào)和四邊形，以期一窺真相.

如圖2，點(diǎn)P,P1在圓錐曲線Γ上且關(guān)于主軸x對稱，點(diǎn)Q是以點(diǎn)P1為切點(diǎn)的圓錐曲線Γ切線上異于點(diǎn)P1的定點(diǎn)，過點(diǎn)Q分別作圓錐曲線Γ的切線與割線，切線QV與P1Q不重合，且切圓錐曲線Γ于點(diǎn)V，割線交圓錐曲線Γ于M,N.

圖2

結(jié)論5 過圓錐曲線Γ外一點(diǎn)Q分別作圓錐曲線的切線與割線.切線QP1,QV的切點(diǎn)為P1,V，割線交圓錐曲線于點(diǎn)M,N，點(diǎn)P是切點(diǎn)P1關(guān)于圓錐曲線Γ主軸的對稱點(diǎn).

(1)若點(diǎn)P1,P關(guān)于x軸對稱，則直線PM,PN的斜率之和等于直線PV斜率的2倍；

(2)若點(diǎn)P1,P關(guān)于y軸對稱，則直線PM,PN的斜率的倒數(shù)和等于直線PV斜率的倒數(shù)的2倍.

表面上看，所得結(jié)論5中的直線PV并非點(diǎn)Q關(guān)于圓錐曲線Γ的極線P1V，似乎結(jié)論的形式已然發(fā)生變化，但從運(yùn)動(dòng)的角度來認(rèn)識，當(dāng)點(diǎn)P,P1重合，由對稱性知，此時(shí)點(diǎn)P即為圓錐曲線Γ的頂點(diǎn)，PV則為點(diǎn)Q的極線，因而結(jié)論仍然是統(tǒng)一的，且結(jié)論5是結(jié)論2與結(jié)論3的一般化.