福建省德化第一中學(xué) (362500) 林貴謀 吳志鵬

直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問(wèn)題、位置關(guān)系是高考的重要考點(diǎn)，內(nèi)容豐富、考查方式多樣，本文從一道例題的解答中獲得深入研究的靈感并加以拓展與推廣最終獲得兩個(gè)實(shí)用的一般性結(jié)論.

解：設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，聯(lián)立

由此我們獲得了以下結(jié)論：

例1 (2013年泉州市質(zhì)檢)已知點(diǎn)F為拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，M(4,t)(t>0)為拋物線C上的點(diǎn)，且|MF|=5.

(1)求拋物線C的方程和點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)如圖1，過(guò)點(diǎn)M引出斜率分別為k1,k2的兩直線l1,l2，l1與拋物線C的另一交點(diǎn)為A，l2與拋物線C的另一交點(diǎn)為B，記直線AB的斜率為k3.

圖1

(ⅰ)若k1+k2=0，試求k3的值；

解：(1)拋物線C:y2=4x,M(4,4)．(過(guò)程略)

進(jìn)一步探究：

已知 過(guò)拋物線x2=2py(p>0)上一點(diǎn)P(x0,y0)做兩條直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，如圖2，記直線PA、PB、AB的斜率分別為k1、k2、k，求k1+k2-k的值？

特別地，當(dāng)點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)即x0=0時(shí)，k1+k2-k=0即k1+k2=k.

例2 (2011年浙江省高考題)已知拋物線C1:x2=y，圓C2:x2+(y-4)2=1的圓心為點(diǎn)M.

(1)求點(diǎn)M到拋物線C1的準(zhǔn)線的距離；(2)已知點(diǎn)P是拋物線C1上一點(diǎn)(異于原點(diǎn))，過(guò)點(diǎn)P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A,B兩點(diǎn)，若過(guò)M,P兩點(diǎn)的直線l垂直于AB，求直線l的方程.

綜上，拋物線具有這樣的性質(zhì)：過(guò)拋物線上任意一點(diǎn)P(x0,y0)作兩條直線分別與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，記直線PA、PB、AB的斜率分別為k1、k2、k，

在求解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，有許多看似偶然的結(jié)論，卻存在必然的聯(lián)系，只要我們能善于觀察、發(fā)現(xiàn)、大膽猜想、求證.數(shù)學(xué)是“美麗”的，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)“美”的過(guò)程更能“引人入勝”.