福建省莆田第二中學(xué) (351131) 盧 妮 蔡海濤

近年高考解析幾何直線與圓錐曲線位置關(guān)系的試題中，頻頻考查拋物線的切線問題.這類試題對(duì)學(xué)生來說，是個(gè)不小的挑戰(zhàn)，實(shí)測(cè)中考生得分率很低.這引發(fā)筆者思考，該如何提高學(xué)生解決這類問題的能力?本文從一道高考題談起，研究其破解之道.

評(píng)析：首先利用求導(dǎo)的方法求出在點(diǎn)A、B處的切線方程，然后通過類比得到直線AB的參數(shù)方程，最后證明直線過定點(diǎn).本試題的背景是拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍的三角形，這個(gè)三角形稱為阿基米德三角形．

1.阿基米德三角形的常用性質(zhì)

近年高考試題，以阿基米德三角形為背景的拋物線切線問題研究的基本是焦點(diǎn)在y軸上的拋物線，下面以x2=2py(p>0)型的拋物線為例介紹阿基米德三角形的常用性質(zhì).

如圖1,拋物線為x2=2py(p>0)，焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，過A、B的切線相交于點(diǎn)D,△DAB稱作阿基米德三角形.該三角形具有以下常用性質(zhì)：

圖1

性質(zhì)1D點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；

性質(zhì)2FD⊥AB；

性質(zhì)3DA⊥DB；

性質(zhì)4 若AB中點(diǎn)M,則DM平行(重合)于拋物線的對(duì)稱軸；

性質(zhì)5 一般地,過拋物線為x2=2py(p>0)準(zhǔn)線上點(diǎn)作拋物線的兩條切線，與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，直線AB過拋物線焦點(diǎn).

以上性質(zhì)也適合其它型的拋物線，性質(zhì)的證明過程從略.

不難發(fā)現(xiàn)，引例的命題實(shí)則是性質(zhì)1的逆命題，也是性質(zhì)5的直接應(yīng)用.如果在解題過程中能有這種知識(shí)儲(chǔ)備，問題將輕松獲解.

2.阿基米德三角形性質(zhì)的應(yīng)用

例2 (2014年遼寧卷理科第10題)已知A(-2,3)在拋物線C：y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B,記C的焦點(diǎn)為F,則直線BF的斜率為( ).

例3 (2018年全國Ⅲ卷理科第16題)已知點(diǎn)M(-1，1)和拋物線C：y2=4x，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若∠AMB=90°，則k=．

例4 (2008年山東數(shù)學(xué)高考理科試題第22題(1))如圖2,設(shè)拋物線C：x2=2py(p>0)，M為直線y=-2p上任意一點(diǎn),過M引拋物線的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B.求證:A,M,B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

圖2

評(píng)析：本題的背景即阿基米德三角形性質(zhì)4.

正因?yàn)榘⒒椎氯切芜@顆閃亮的明珠,數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中不斷閃爍出真理的光輝.這個(gè)兩千多年的圖形，如同一個(gè)題庫，藏著各級(jí)各類數(shù)學(xué)命題素材[1].因此,教師若能在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中融入其中，不但可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還能豐富解題方法，進(jìn)一步提高解題效率，達(dá)到事半功倍的效果.