福建省龍巖市高級(jí)中學(xué) (364000) 謝盛富

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)六大主干知識(shí)之一，是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)，同時(shí)也有易錯(cuò)易混點(diǎn)，比如平均變化率與瞬時(shí)變化率、指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的積與商的運(yùn)算法則、極值與最值等.本文通過教材中的例習(xí)題、高考試題或其改編題舉例闡述學(xué)習(xí)中易錯(cuò)解之處，提醒學(xué)生警醒自已，變錯(cuò)為寶.

例2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y=e5； (2)y=5x； (3)y=(5x-e)6.

錯(cuò)解：由(xα)′=αxα-1得(1)y′=5e4，(2)y′=x·5x-1，(3)y′=6(5x-e)5.

糾錯(cuò)：在錯(cuò)解(1)中，把常數(shù)與字母混淆，y=e5是常函數(shù)，故y′=(e5)′=0；(2)中把指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)混淆，y=5x是指數(shù)函數(shù)，y=x5才是冪函數(shù)，所以y′=(x5)′=5x4，而y′=(5x)′=5xln5.(3)是復(fù)合函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)忘記求導(dǎo)，因此y′=6(5x-e)5×(5x-e)′=30(5x-e)5.

例3 已知函數(shù)f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1處有極值0，求mn的值.

錯(cuò)解：f′(x)=3x2+6mx+n，所以

糾錯(cuò)：初看起來，解題過程似乎無懈可擊，其實(shí)，問題在于“駐點(diǎn)”，導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)未必是原函數(shù)的極值點(diǎn)，而函數(shù)的極值點(diǎn)是其導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，所以需要檢驗(yàn).當(dāng)m=1，n=3時(shí)，f′(x)=3x2+6x+3=

3(x+1)2≥0，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，沒有極值，應(yīng)舍去；當(dāng)m=2，n=9時(shí)，f′(x)=3x2+12x+9，易得f(x)在(-∞,-3)和(-1,+∞)上單調(diào)遞增，在(-3,-1)上單調(diào)遞減，所以f(x)的極大值點(diǎn)是-3，極小值點(diǎn)是-1，滿足題意.

例4 函數(shù)f(x)=xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間是．

A．[-1,+∞)B．(-1,+∞)

C．(-∞,-1]D．(-∞,-1)

糾錯(cuò)：在由單調(diào)性轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與恒成立問題時(shí)，雖有意識(shí)取等號(hào)，卻認(rèn)為g(x)的最小值取不到g(-1)，忽略了區(qū)間端點(diǎn)導(dǎo)致b的取值范圍不全.由導(dǎo)數(shù)正負(fù)號(hào)求單調(diào)區(qū)間時(shí)是沒有包含端點(diǎn)，其實(shí)是可以包含也可以不包含，除非端點(diǎn)本身沒有意義.在求解三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要習(xí)慣性包含端點(diǎn).所以本題應(yīng)包含區(qū)間端點(diǎn)，x∈[-1,+∞)，故可以取到b=-1，即b≤-1，選C.

例6 求曲線x3-y=0過點(diǎn)P(2,8)的切線的方程.

糾錯(cuò)：曲線上在某點(diǎn)處的切線，該點(diǎn)必為切點(diǎn)；而曲線過某點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必在曲線上，也未必為切點(diǎn).所以錯(cuò)解把點(diǎn)P(2,8)僅看成是切點(diǎn)，導(dǎo)致漏解.因此要另設(shè)切點(diǎn)(a,a3)，求得斜率k=3a2，切線方程為y-a3=3a2(x-a).又點(diǎn)P(2,8)在切線上，所以8-a3=3a2(2-a)，化簡(jiǎn)得a3-3a2+4=0.解得a=-1或a=2.故切線方程為12x-y-16=0或3x-y+2=0.

例7 已知函數(shù)f(x)=-x3+x-1，若方程f(x)=-2x+m在x∈(0,2)只有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

錯(cuò)解：由f(x)=-2x+m得-x3+3x-1=m．令g(x)=-x3+3x-1，x∈(0,2)，則g′(x)=-3x2+3．由g′(x)>0得0

糾錯(cuò)：本題考查函數(shù)的極值、零點(diǎn)問題，化歸為直線與曲線的交點(diǎn)問題.錯(cuò)解解題過程方向明確，思路清晰，但欠缺考慮特殊位置，結(jié)合圖形可知在極大值點(diǎn)處也只有一個(gè)交點(diǎn)，故答案遺漏了m=1.

例8 已知函數(shù)f(x)=aex-x(a∈R)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

本文從導(dǎo)數(shù)的定義與定義域、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)、極值、單調(diào)區(qū)間及其端點(diǎn)、切點(diǎn)與切線方程、遺漏特殊情況、忘記分類討論、混淆常數(shù)與字母、混淆指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)等方面進(jìn)行糾錯(cuò)，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中要注意易錯(cuò)易混點(diǎn)，糾錯(cuò)防錯(cuò)，逐步獲得解題的寶貴經(jīng)驗(yàn)，不斷積累，厚積薄發(fā)，學(xué)好基礎(chǔ)知識(shí)，扎實(shí)鞏固，提升能力.