廣東省佛山市順德區(qū)第一中學(xué) (528300) 常 艷

在解決立體幾何問(wèn)題時(shí)，常常使用到補(bǔ)形法，即結(jié)合題干條件，將其補(bǔ)形為規(guī)則的幾何體.利用規(guī)則幾何體的對(duì)稱性及相關(guān)性質(zhì)快速地求解原問(wèn)題.但在補(bǔ)形的過(guò)程中，需注意補(bǔ)形的前提條件，以及補(bǔ)形的可能性.本文研究了一道補(bǔ)形問(wèn)題，其最終答案正確，在推理的過(guò)程中卻存在瑕疵.現(xiàn)將思考過(guò)程整理如下，以饗讀者.

一、題目與原解

題目三棱錐A-BCD內(nèi)接于半徑為2的球上，若AB=CD=2，求該三棱錐體積的最大值.

圖1

該解法構(gòu)思精巧，獨(dú)辟蹊徑，通過(guò)補(bǔ)形的思想，將三棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體.再根據(jù)對(duì)稱性求得兩者的外接球一樣，通過(guò)長(zhǎng)方體的外接球計(jì)算公式，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體“長(zhǎng)、寬、高”三者的關(guān)系，再借助長(zhǎng)方體實(shí)現(xiàn)三棱錐體積的運(yùn)算.但在求解的過(guò)程中，存在如下的一個(gè)問(wèn)題，即所有的三棱錐都可以補(bǔ)形為長(zhǎng)方體嗎？對(duì)于不能補(bǔ)形為長(zhǎng)方體的三棱錐，它的體積能否取到到更大的值呢？所以該解法是不嚴(yán)密的，本題還需考慮不能補(bǔ)形為長(zhǎng)方體時(shí)的情況.

注：所有的三棱錐都可補(bǔ)形為平行六面體，不能保證補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，而一般的平行六面體不一定有外接球.

二、題目的新解與推廣

圖2

為了便于計(jì)算，移動(dòng)點(diǎn)B,F使得BF為直線l1,l2的公垂線，如圖3，過(guò)點(diǎn)B做l2的平行線l3，記由點(diǎn)B及直線l2所構(gòu)成的平面為α，過(guò)點(diǎn)A作l3的垂線，垂足為D，根據(jù)三垂線定理易得AD⊥平面α.

圖3

三、變式練習(xí)

變式1 如圖4，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=2，AB=BB1=1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF=1，求三棱錐A-BEF的體積.

圖4 圖5 圖6

總結(jié)上面的編制過(guò)程，我們還可以利用外接球?yàn)闂l件提供兩條異面直線間的距離，本文不再贅述.