江西省瑞金第一中學(xué) (342500) 謝小平

原題呈現(xiàn)

已知函數(shù)f(x)=alnx+2x，若不等式f(x+1)

A.[-2,+∞)B.[-4,+∞)

C.(-4,+∞)D.(-∞,-2)

這是某聯(lián)考的題目及其提供的解答.作為壓軸選擇題，有難度.本題若采用常規(guī)方法，即研究g(x)=2ex+ax-f(x+1)=2ex+ax-2(x+1)-aln(x+1)的最值，而當(dāng)a<0時(shí)，是一個(gè)分析的難點(diǎn).本題的思維難點(diǎn)就是觀察式子的結(jié)構(gòu)，分析到兩邊是同構(gòu)，又ex>x+1恒成立，進(jìn)而反推出函數(shù)f(x)的單調(diào)性快速解題.我當(dāng)時(shí)的疑問就是，由f(x+1)1?x+1>2,ex>e，進(jìn)而推出f(x)在(2,+∞)恒為遞增函數(shù)是等價(jià)的嗎？因?yàn)閑x>e且函數(shù)y=ex比函數(shù)y=x+1越到后面增長的快很多，故只須保證f(2)≤f(e)且f(x)在(e,+∞)恒為遞增函數(shù)即可，帶著這個(gè)疑問，我先用幾何畫板畫了a=-4.2時(shí)的圖像，如圖1：

圖1

從圖像易知，此時(shí)g(x)>0在(1，+∞)上是恒成立的，所以答案提供的解法是有問題的.

錯(cuò)因分析：單調(diào)性的定義是對(duì)任意的x1,x2∈D，且x1f(x2))成立，則函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增(減).而本題當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，確有ex>x+1>2，但ex>e，顯然是不滿足單調(diào)性定義中對(duì)自變量要求——任意性，從而導(dǎo)致出錯(cuò).所以答案提供的是g(x)>0的一個(gè)充分條件，而非等價(jià)條件.同時(shí)這對(duì)我們教學(xué)也有啟示，在概念教學(xué)時(shí)，一定要講清講透.

那么這個(gè)同構(gòu)好題，能不能對(duì)答案的解法進(jìn)行修補(bǔ)呢？

當(dāng)a≥0時(shí)，易得g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，顯然符合題設(shè)；

修補(bǔ)題目：已知函數(shù)f(x)=alnx+2x，若不等式f(x+1)

點(diǎn)評(píng)：我們只需讓ex≥x+1的等號(hào)能取到就行,因?yàn)閷?shí)數(shù)有稠密性.