廣西師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院 (541000) 張麗杰 周 瑩

問題驅(qū)動學習是以問題為核心設計教學內(nèi)容，尋找問題解決方法的一種過程性學科活動方式.它要求以學生的學習為中心，以學生的問題為線索，以學科的問題為載體，以教師的問題為引導，通過有層次、有內(nèi)在邏輯、可擴展、可遷移的問題系統(tǒng)來貫穿并優(yōu)化學習過程，幫助學生建構合理的知識體系，實現(xiàn)有效遷移學習，提升學生的能力及品格.[1]問題提問應建立在問題解決的迫切性或認知“短板”的基礎上進行“自然而然”的過渡.

所謂“六何”，可看成由對知識來龍去脈及總結反思的發(fā)問而構成的認知鏈，即“從何→是何→與何→如何→變何→有何”認識鏈.[2]值得注意的是，“六何”認知鏈并不是簡單的單向進行，而是多種開端，多種組織方式，可以根據(jù)實際教學情況，靈活運用.

以問題驅(qū)動，增強學生的問題意識，將教師的教轉化為引導，使學生成為課堂的主體，更好的促進學生的發(fā)展.讓學生通過問題驅(qū)動，經(jīng)歷知識“從何”、“是何”、“與何”、“如何”、“變何”、“有何”的變化過程，加強學生對數(shù)學概念本質(zhì)的理解.(如圖1所示)

圖1 “六何”認知鏈及知識的變化過程

一、基于問題驅(qū)動的“六何”認知鏈數(shù)學課堂探究

1.任務1：創(chuàng)設情境，感悟“從何”

問題1 天體運行的軌跡是橢圓，籃球在太陽下的投影(北師大版教科書中)也是橢圓，那么橢圓是如何被發(fā)現(xiàn)的呢？

設計意圖：首先，向?qū)W生展示常見的橢圓，通過感悟天體運行軌跡橢圓之美和生活中橢圓的存在，激發(fā)學生對“橢圓怎樣被發(fā)現(xiàn)？”的思考.借此，向?qū)W生滲透數(shù)學史和數(shù)學文化.在這個過程中，讓學生從感性層面認識橢圓.

2.任務2：實驗探究，體驗“是何”

首先提供畫圖工具：一根細繩、一支筆和一個圖釘，觀察學生通過這些工具可以畫出什么圖形，由于已經(jīng)學習過圓的畫圖過程，學生可以很容易利用這些工具畫出圓.

問題2 小組合作：利用這些工具，是否可以畫出橢圓？如果不能，是否可以通過改變實驗工具數(shù)量來畫出橢圓呢？

設計意圖：引導學生改變實驗條件，增加圖釘(定點)數(shù)量觀察是否可以畫出橢圓，通過探究發(fā)現(xiàn)用兩個圖釘(定點)、一根細繩(定長)和一支筆可以完成任務.

問題3 在畫橢圓的過程中，你能通過實驗工具的動與不動或變與不變發(fā)現(xiàn)什么？

設計意圖：讓學生通過直觀感受提出猜想，進而引導學生運用數(shù)學知識驗證猜想.發(fā)現(xiàn)：1.細繩動，圖釘不動，可以畫出橢圓；2.細繩的長度不變?yōu)槎ㄩL；3.兩定點與橢圓上的點(動點)三點的連線可以形成一個三角形或者線段.

問題4 通過發(fā)現(xiàn)你能不能嘗試給橢圓下一個定義？

設計意圖：結合發(fā)現(xiàn)1和發(fā)現(xiàn)2，引導學生得出橢圓的定義，即平面內(nèi)到兩個定點的距離之和等于常數(shù)的點的集合叫做橢圓(不含條件常數(shù)為2a且大于|F1F2|，下面要帶領學生探究)，把兩個定點F1,F2叫做橢圓的焦點，兩個焦點間的距離叫做橢圓的焦距.對于發(fā)現(xiàn)2，繼續(xù)引導學生思考：細繩是定長，代表了橢圓上的點到兩焦點的距離之和為定值.

問題5 如何利用數(shù)學知識驗證橢圓上的點到兩焦點的距離之和為定值？

問題6 定值為多少？

設計意圖：滲透透過現(xiàn)象看本質(zhì)的思想；引導學生探索定長2a的來源，對知識刨根問底.對于問題5的探索，在北師大版教科書第61頁中已經(jīng)給出，以任務1中引入的籃球在陽光下的投影為例，通過太陽光建立圓柱面，以兩球與投影面相切點為焦點，得出橢圓上的點到兩焦點的距離之和為兩球心的距離即為定值.(這里對發(fā)現(xiàn)3先不做論述，在任務3中引導學生探究)

任務2帶領學生得到了橢圓的定義(不含條件常數(shù)為2a且大于|F1F2|)以及證明了橢圓上的點到兩焦點的距離之和為定值.下面將引導學生探究該定值為多少(即問題6)以及如何推導出橢圓的標準方程.

3.任務3：建坐標系，聯(lián)接“與何”

在前面的敘述中，已經(jīng)體會了橢圓之“形”，下面將帶領學生體驗“形”與“數(shù)”的結合.首先，建立平面直角坐標系，以橢圓兩對稱軸所在直線為坐標軸，即以直線F1F2為x軸，以線段F1F2的中垂線為y軸，如圖4所示.對于問題6，設|OA1|=|OF2|=a，那么當點p與點A2重合時，橢圓上的點到兩焦點的距離之和即|F1A2|+|F2A2|=2a，又由于所用實驗繩長為定值，故橢圓上任意一點到兩個焦點的距離之和為常數(shù)2a，在△PF1F2中，根據(jù)三角形性質(zhì)兩邊之和大于第三邊，故2a>2c,即a>c.(這里要引導學生運用發(fā)現(xiàn)3，同時對任務2中給出的橢圓定義作出補充，即平面內(nèi)到兩個定點的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的集合叫做橢圓.)

圖4 圖5

問題7 若常數(shù)不大于|F1F2|，動點的軌跡是什么？

設計意圖：讓學習明晰定長2a的來源，為推導橢圓標準方程奠定基礎.(這里先不進行探討，留下懸念，在任務4中與問題8結合分析.)

設計意圖：橢圓標準方程的推導是學習橢圓過程中的重難點，有利于培養(yǎng)學生數(shù)學能力，在教學中不可一帶而過.

任務3促進了知識間的融匯貫通.通過建立直角坐標系，將橢圓之“形”與方程(“數(shù)”)結合，通過探索三角形與橢圓的關系，利用三角形的性質(zhì)突破橢圓標準方程推導過程中的難點.

4.任務4：變換條件，探究“變何”

這部分任務繼續(xù)任務2中的實驗，改變橢圓的參量，探究結果的變化.

問題8 當橢圓定義中的常數(shù)2a不變時，焦距的變化對橢圓有什么影響？

設計意圖：通過改變實驗條件，激發(fā)學生再次探究意識，促進知識的延伸，增強學生的實驗精神.問題8與問題7相呼應，分別從幾何與代數(shù)兩個角度探討不同情況下點的軌跡的變化情況，可以結合幾何畫板或者皓駿等軟件展示動態(tài)變化效果.

問題9 根據(jù)已有橢圓知識，你能否嘗試畫出空間中的“橢圓”？

設計意圖：根據(jù)已有知識，進行思維拓展，探究空間中的“橢圓”(橢球)，培養(yǎng)學生的空間想象能力.

5.任務5：數(shù)學應用，把握“如何”

學生學習了橢圓及其標準方程后，應當學以致用，檢驗學習效果，應向?qū)W生提出問題：

問題10 已知兩個焦點的坐標和橢圓上的一點，能否求出橢圓的標準方程？你有幾種解法？

問題11 如果結合實際問題，是否可以抽象出數(shù)學知識？(可結合具體題目)

設計意圖：在學習了橢圓的來源和橢圓的定義及其標準方程后，要通過實際題目來檢驗是否真正掌握知識內(nèi)容，以增強學生的應用意識.

6.任務6：反思提升，歸納“有何”

問題12 通過本節(jié)課的學習，你學到了哪些知識？你掌握了哪些數(shù)學思想？還有哪些困惑？

設計意圖：通過節(jié)后反思，增強學生的自我評價意識，根據(jù)自己的實際情況，查漏補缺，梳理知識結構.

二、對教學設計的思考

1.知識與技能：明確任務，透析本質(zhì)

任務1以天體運行帶領學生發(fā)現(xiàn)橢圓；任務2得出橢圓的定義(不含條件常數(shù)為2a且大于|F1F2|)，并拋出問題6；任務3對任務2中拋出的問題進行了探索，對橢圓的定義進行了完善，并推導出橢圓的標準方程，之后拋出問題7；任務4對任務3中拋出的問題進行了分析；任務5帶領學生運用學習內(nèi)容；任務6總結提升.知識是聯(lián)系的、發(fā)展的，不能將其作為單獨的、孤立的內(nèi)容來講授，要注重數(shù)學與其他學科的融合，另外在教學過程中，還要不斷引導學生學會透過數(shù)學現(xiàn)象揭示本質(zhì).

2.過程與方法：把握重點，突破難點

在重點掌握方面，學生學習了橢圓的定義及其兩個標準方程；在難點突破方面，橢圓教學難點在于：1.橢圓定點數(shù)量的確定；2.橢圓上的點到兩焦點的距離之和定值2a的來源；3.定義中常數(shù)大于|F1F2|如何得來；4.b2=a2-c2的原理.對于難點1的突破是把圓的相關知識當做邏輯生長點，通過引導學生增加定點數(shù)量畫成橢圓；對于難點2的突破是利用繩長為定值并結合坐標系將其特殊化；對于難點3和4的突破是利用三角形和直角三角形的性質(zhì)解決.

3.情感態(tài)度與價值觀：提升能力，訓練思維

高層次數(shù)學思維體現(xiàn)出聯(lián)系與轉化、抽象與擴展和批判與監(jiān)控三個基本特征.[4]本節(jié)課從生活中常見的橢圓入手，根據(jù)圓的知識，通過坐標系進行數(shù)形結合，進而利用新知識解決新問題，將圓與橢圓建立聯(lián)系，把幾何轉化為代數(shù)知識形成橢圓的標準方程；通過實驗啟迪學生發(fā)現(xiàn)，從幾何圖形中抽象出數(shù)學一般模型，并引導學生嘗試解決實際問題；以小組合作探究方式幫助學生及時調(diào)整自己的認知，了解他人想法.既增強了學生知識遷移能力，又加深了特殊化、類比、數(shù)形結合和應用意識，從而促進學生數(shù)學思維的培養(yǎng).

三、感悟與啟示

馬克思主義哲學中提到，任何事物都是普遍聯(lián)系的，反對孤立片面的觀點，“六何”認知鏈正蘊含了這樣的哲學思想，將課堂教學完整地呈現(xiàn)出來，以整體視角把握知識結構，通過問題驅(qū)動，調(diào)動學生興趣，將數(shù)學課堂變成充滿思考的探究“實驗室”.

1.依托“12個問題、六個任務”，明晰教學設計環(huán)節(jié)

整個過程，通過提出分析解決問題，讓學生經(jīng)歷從感性到理性的思考，體會知識從實踐中來還要到實踐中去，以“從何”、“是何”、“與何”、“變何”、“如何”和“有何”的脈絡把握住知識的學習歷程，任務與任務之間環(huán)環(huán)相扣，步驟清晰.

2.注重“動手操作，實驗探究”，積累探究性活動經(jīng)驗

通過動手操作，深化學習過程，拓展學生思路，而數(shù)學實驗作為一種新的數(shù)學學習方式，推動著教與學方式的變革，學生主動地參與到數(shù)學學習活動中來，在實踐、交流、反思中將數(shù)學學習從表層走向深層.[5]

3.堅持“直觀想象、數(shù)學運算”素養(yǎng)導向，形成數(shù)學思維培養(yǎng)的基本模式

在橢圓學習的過程中，學生經(jīng)歷了知識的生成過程，將知識置于“桌面”上，由二維平面推廣到三維空間，體驗了想象的思維過程，通過橢圓標準方程的推導極大提升了學生的數(shù)學運算、邏輯推理素養(yǎng)，引導學生將“前概念”(圓的形成過程等)和“科學概念”(橢圓的形成等)之間的關系，找出發(fā)現(xiàn)并驗證猜想，實現(xiàn)了核心素養(yǎng)下能力的發(fā)展，形成培養(yǎng)數(shù)學思維的基本模式.