王 勇，李必文，李夢(mèng)月

(湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002)

0 引言

多系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的同步一直是一個(gè)非常重要的研究課題。多系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)同步類(lèi)型有很多，例如全局同步[1]、滯后同步[2]、相位同步[3]、組合同步、H∞同步[4]、輸出同步、聚同步[5]等等。其中聚同步是一類(lèi)非常有意思的同步：同一網(wǎng)絡(luò)中的所有個(gè)體被分為幾個(gè)群體，屬于同一個(gè)群體的個(gè)體的動(dòng)態(tài)行為是完全同步的?，F(xiàn)實(shí)世界中的食物網(wǎng)、細(xì)胞代謝網(wǎng)絡(luò)、無(wú)人機(jī)編組、電力網(wǎng)絡(luò)、社交網(wǎng)絡(luò)等等，都是這種動(dòng)力學(xué)行為的重要體現(xiàn)。

近幾十年，有相當(dāng)多的學(xué)者對(duì)這一類(lèi)同步進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[6]中，Liu P等人研究了不僅適用于整數(shù)階，同時(shí)還適用于分?jǐn)?shù)階的分?jǐn)?shù)階時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步和固定時(shí)間同步。在文獻(xiàn)[7]中，Tang I等人研究了 Lur′e 網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間聚同步，將聚同步推廣到了特殊網(wǎng)絡(luò)中。自從Sontag E D[8]第一次用輸入到狀態(tài)穩(wěn)定性描述外生擾動(dòng)對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)的影響，輸入到狀態(tài)穩(wěn)定性受到了越來(lái)越多的關(guān)注[9-11]。輸入到狀態(tài)穩(wěn)定，簡(jiǎn)而言之，無(wú)論系統(tǒng)初始狀態(tài)如何，系統(tǒng)的狀態(tài)最終都能進(jìn)入到與輸入有關(guān)平衡點(diǎn)的一個(gè)鄰域。在文獻(xiàn)[12]中，Li X D等人研究了在基于觀測(cè)值的事件觸發(fā)脈沖控制下的非線(xiàn)性系統(tǒng)的輸入到狀態(tài)穩(wěn)定，并且得到了系統(tǒng)輸入到狀態(tài)穩(wěn)定的充分條件。

通常情況下為使系統(tǒng)達(dá)到需要的狀態(tài)，需要對(duì)其施加合適的控制。常見(jiàn)的控制有自適應(yīng)控制、PID控制、脈沖控制、H∞控制、事件觸發(fā)控制等。其中事件觸發(fā)控制僅在離散的事件觸發(fā)時(shí)刻對(duì)系統(tǒng)控制進(jìn)行更新，在實(shí)際應(yīng)用中可以大大節(jié)約通信資源[13-14]。

由于有限的信息傳輸速度和系統(tǒng)存在合理范圍內(nèi)的誤差等因素，使得我們?cè)谙到y(tǒng)的研究工作中必須考慮時(shí)滯。因此，在文獻(xiàn)[12]的基礎(chǔ)上，本文重點(diǎn)研究了基于觀測(cè)值的事件觸發(fā)脈沖控制器的時(shí)滯非線(xiàn)性耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入到狀態(tài)聚同步，本文的主要特點(diǎn)如下：

1)我們將系統(tǒng)的輸入到狀態(tài)穩(wěn)定問(wèn)題拓展到了輸入到狀態(tài)聚同步。

2)通過(guò)設(shè)計(jì)合適的基于觀測(cè)值的事件觸發(fā)脈沖控制器使得系統(tǒng)達(dá)到輸入到狀態(tài)聚同步。

3)相對(duì)于文獻(xiàn)[12]而言，本文中我們考慮了時(shí)滯因素，從而使系統(tǒng)更具有實(shí)際意義。

本文其余的部分組織如下：在第一節(jié)中給出了一些準(zhǔn)備知識(shí)和模型描述，并給出了兩個(gè)重要的引理，在第二節(jié)給出系統(tǒng)達(dá)到輸入到狀態(tài)聚同步的充分條件，并排除了控制器的Zeno行為，同時(shí)給出了控制器的設(shè)計(jì)方法，在第三節(jié)給出了一個(gè)例子證明本文理論結(jié)果的有效性，最后在第四節(jié)進(jìn)行了總結(jié)。

1 模型描述和準(zhǔn)備工作

其中Ck={lk-1+1，1k-1+2，…，lk}，表示第k個(gè)集群中所有節(jié)點(diǎn)的索引集，其中1

本文中，我們考慮一個(gè)由N個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組成的耦合系統(tǒng)，其中第i個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程表示為：

yi(t)=Eixi(t)

(1)

有時(shí)，由于物理限制或?qū)嵤┏杀?，系統(tǒng)的狀態(tài)可能無(wú)法完全訪(fǎng)問(wèn)[16]，這導(dǎo)致基于狀態(tài)反饋的控制器失效。因此，本文將構(gòu)造一個(gè)基于觀測(cè)值的控制器。假設(shè)觀測(cè)值系統(tǒng)給出如下：

(2)

分別為第i個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)估計(jì)值和這個(gè)估計(jì)值的輸出。

接下來(lái)給出關(guān)于(1)的幾個(gè)假設(shè)。

注記1 通過(guò)假設(shè)A1)可以發(fā)現(xiàn)同一集群中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有相同的矩陣參數(shù)。

A2)在本文中，假設(shè)(1)中的激活函數(shù)是Lipschitz連續(xù)的且滿(mǎn)足：

|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|，L≥0，特別的，我們規(guī)定f(0)=0.

A3)假設(shè)耦合矩陣G滿(mǎn)足

其中Gkk∈R(lk-lk-1)×(lk-lk-1)是一個(gè)具有非對(duì)角元非負(fù)的零行和矩陣，Gkr∈R(lk-lk-1)×(lk-lk-1)(k≠r)，k，r=1,2,…,M是零行和矩陣。

在本文中,用圖中的第i個(gè)節(jié)點(diǎn)代表系統(tǒng)中的第i個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

為了得到系統(tǒng)(1)的輸入到狀態(tài)聚同步，假設(shè)第k個(gè)(k=1,2,…,M)集群中所有節(jié)點(diǎn)的同步軌跡如下：

(3)

它有可能是第k個(gè)集群中的一個(gè)平衡點(diǎn)，周期軌道或者混沌吸引子。

結(jié)合A3)和(2)，可得到對(duì)于任意i∈Ck,k=1,2,…,M有：

(4)

(5)

其中i∈Ck,Fi(t)=f(xi(t))-f(rk(t))，F(xiàn)i(t-τ)=f(xi(t-τ))-f(rk(t-τ)).同樣，結(jié)合(2)(3)(4)和A1),可得到(5)式的觀測(cè)值。

(6)

(7)

(8)

基于上述觀測(cè)值，控制輸入ui1和ui2設(shè)計(jì)如下：

Pk是控制輸入ui2的控制增益，因此系統(tǒng)(5)可表述為：

(9)

(10)

令

vi(t)=(ei(t)T,ξi(t)T)T

從而可得到如下形式的增廣系統(tǒng)：

(11)

其中

(12)

其中

設(shè)計(jì)如下的事件觸發(fā)機(jī)制：

(13)

注記2 由于系統(tǒng)中的節(jié)點(diǎn)在不同的集群有不同的矩陣參數(shù)，從而他們有不同的控制增益矩陣，而且每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有各自的初始函數(shù)，因此每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有自己的觸發(fā)時(shí)間序列和事件觸發(fā)時(shí)間序列。我們注意到，如果所有的節(jié)點(diǎn)使用同一個(gè)觸發(fā)時(shí)間序列和事件觸發(fā)時(shí)間序列，那么有些觸發(fā)時(shí)刻對(duì)于某些節(jié)點(diǎn)可能是不必要的，因此每個(gè)節(jié)點(diǎn)有各自的時(shí)間序列和事件觸發(fā)時(shí)間序列可以更好地減少不必要的通信資源的浪費(fèi)。

引理1 對(duì)于任意的x,y∈Rn，則以下不等式

xTy+yTx≤xTSx+yTS-1y

成立，其中S是一個(gè)n×n的正定矩陣。

引理2 如果函數(shù)G∶[t0-τ,+∞)→[0,+∞)滿(mǎn)足：

(14)

其中α∈，β，τ均為正常數(shù)，且滿(mǎn)足-r+α+βe-rτ≤0則我們有：

G(t)≤G(t0)er(t-t0)t∈[t0-τ,+∞)

(15)

證：令

由(14)可得：

≤0

t∈[t0,+∞)，從而可得到：

也就意味著G(t)≤G(t0)er(t-t0)，其中t∈[t0,+∞).證明完成。

定義1 如果存在函數(shù)U1∈KL，U2∈K∞和可測(cè)的局部有界耦合項(xiàng)ωi(t)，對(duì)于增廣系統(tǒng)(11)，在任意初始條件(t0,υi 0)下，(11)的解υi(t)滿(mǎn)足

則系統(tǒng)(1)在事件觸發(fā)控制策略(13)下是輸入到狀態(tài)聚同步的。

注記3 增廣系統(tǒng)(11)由系統(tǒng)(1)的誤差系統(tǒng)和跟蹤誤差系統(tǒng)組成，如果想證明系統(tǒng)(1)是輸入到狀態(tài)聚同步的，則由文獻(xiàn)[7]中關(guān)于輸入到狀態(tài)穩(wěn)定的定義，只需要證明增廣系統(tǒng)(11)的輸入到狀態(tài)穩(wěn)定即可。

2 理論結(jié)果

在本節(jié)中，我們將推導(dǎo)出系統(tǒng)(1)輸入到狀態(tài)聚同步所需的條件，首先給出系統(tǒng)(11)輸入到狀態(tài)穩(wěn)定所需的充分條件和詳細(xì)推理過(guò)程。

定理1 假設(shè)控制增益矩陣Ki 1，Ki 2∈Rs×m，Pk∈Rs×n，事件觸發(fā)參數(shù)β∈(0,0.5)，ζ>0，π>0是給定的，存在正定矩陣P∈R2m×2m，Qi∈R2n×2n，i=1,2,3,4，和兩個(gè)正常數(shù)μ,d使得：

(16)

(17)

(18)

同時(shí)存在常數(shù)r使得：

d-rπ≥0

(19)

其中：

則系統(tǒng)(1)在事件觸發(fā)機(jī)制(13)下是輸入到狀態(tài)聚同步的。

證 假設(shè)υi(t)=υi(t,t0,υi 0)是系統(tǒng)(12)在初值(t0,υi 0)下的解?？紤]Lyapunov函數(shù)

(20)

由(A2)可得：

從而有：

(21)

類(lèi)似的，也可得：

(22)

(23)

(24)

(25)

從而有

結(jié)合(25)式，則有：

其中

(26)

V(t)=ψi(t)TPψi(t)

≤e-dV(t-)

(27)

(28)

由(27)式可得出：

那么也就意味著：

(29)

那么將兩種情況結(jié)合，可得出：

由(27)，則有：

也就意味著：

同時(shí)根據(jù)條件(19)d-rπ>0，則重復(fù)類(lèi)似的步驟有：

那么用同樣的方法，最終可得到在t∈[t0,∞)上

則增廣系統(tǒng)(11)是輸入到狀態(tài)穩(wěn)定的，也就是說(shuō)系統(tǒng)(1)是輸入到狀態(tài)聚同步的。證明完畢。

接下來(lái)需要證明系統(tǒng)(11)在控制機(jī)制(13)下無(wú)Zeno行為。

定理2 在控制機(jī)制(13)的情況下，系統(tǒng)無(wú)Zeno行為。

證 為了排除Zeno行為，從以下三個(gè)情況考慮：

(30)

其中

(31)

(32)

也就意味著：

也就是說(shuō)在情況(a)下沒(méi)有Zeno行為。

綜上所述，系統(tǒng)(11)在事件觸發(fā)機(jī)制(13)下無(wú)Zeno行為，證明完畢。

接下來(lái)將設(shè)計(jì)控制增益矩陣Ki1，Ki2，Pk和事件觸發(fā)參數(shù)β，ζ，π,為此需要以下假設(shè)。

定理3 如果對(duì)于給定的常數(shù)α，?，λ1，λ2，λ3和λ4，存在正定矩陣H1，H2，M1，M2∈Rn×n和常數(shù)矩陣Z1，Z2∈Rn×m，Y1，Y2∈Rs×n使得

(33)

(34)

其中

則系統(tǒng)(11)在事件觸發(fā)機(jī)制(13)下是輸入到狀態(tài)穩(wěn)定的。

此外，控制增益矩陣Ki1，Ki2，Pk和事件觸發(fā)參數(shù)β，ζ，π由以下方式設(shè)計(jì)

(35)

3 數(shù)值例子

在本節(jié)中，將給出一個(gè)數(shù)值例子來(lái)驗(yàn)證理論結(jié)果的有效性。

考慮(1)式的第i層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為一個(gè)雙神經(jīng)元的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

yi(t)=Eixi(t)

狀態(tài)觀測(cè)值

其中f(x)=(f1(x),f2(x))T=(tanh(x),tanh(x))T,τ=1,M=3

假設(shè)系統(tǒng)(1)由7個(gè)耦合的時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組成，并給定耦合矩陣

同時(shí)將系統(tǒng)(1)分成3個(gè)集群分別為C1={1,2,3}，C2={4,5},C3={6,7}.

初始值設(shè)定為：

rk(t)=(0.8,8)T，t∈[-1,0]，k=1,2,3.

x1(t)=x4(t)=x6(t)=(4,7)T,t∈[-1,0]

事件觸發(fā)機(jī)制的參數(shù)范圍為：0<β1<0.0910×103,0<β2<0.2254×103,0<β3<0.3033×103,ζi>0,0<π1=π2=π3<0.5556，從而可實(shí)現(xiàn)輸入到狀態(tài)聚同步的控制性能。

為了更好地模擬，選擇事件觸發(fā)參數(shù)為

β1=0.0728×10-3β2=0.1803×10-3β3=0.2426×10-3

ζ1=ζ2=ζ3=0.1，π1=π2=π3=0.4444

從而事件觸發(fā)機(jī)制(13)設(shè)計(jì)為

則，當(dāng)i∈C1時(shí)，

當(dāng)i∈C2時(shí)，

當(dāng)i∈C3時(shí)，

9.7775≤r1≤11.2511,9.8734≤r2≤11.2511,10.4254≤r3≤11.2511

令r1=r2=r3=10.5，則定理1的條件均滿(mǎn)足，因此可以得到系統(tǒng)(1)的所有節(jié)點(diǎn)是輸入到狀態(tài)聚同步的。

通過(guò)圖 1、2、3，可以看出在集群C1，C2，C3中的節(jié)點(diǎn)分別在控制器ui1,ui2,ui3,i∈{1,2,…,7}的控制下達(dá)到了輸入到狀態(tài)聚同步。圖4則顯示了所有節(jié)點(diǎn)的跟蹤誤差的狀態(tài)，通過(guò)圖4可以發(fā)現(xiàn)在一定時(shí)間之后系統(tǒng)的跟蹤誤差為0，也就是說(shuō)在系統(tǒng)達(dá)到輸入到狀態(tài)聚同步之后，系統(tǒng)的觀測(cè)值與真實(shí)值幾乎相等。圖5顯示了這7個(gè)節(jié)點(diǎn)的觸發(fā)時(shí)刻，通過(guò)圖可以發(fā)現(xiàn)，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都沒(méi)有出現(xiàn)Zeno行為，而且每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有自己的時(shí)間觸發(fā)序列。圖6和圖7則顯示了每個(gè)節(jié)點(diǎn)的事件觸發(fā)控制輸入ui1，ui2，ui3，i∈{1,2,…,7}的狀態(tài)。

圖1 誤差系統(tǒng)e1,e2,e3的狀態(tài)圖

圖2 誤差系統(tǒng)e4,e5的狀態(tài)圖

圖3 誤差系統(tǒng)e6,e7的狀態(tài)圖

圖4 跟蹤誤差系統(tǒng)狀態(tài)

圖5 第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的觸發(fā)時(shí)間序列

圖6 節(jié)點(diǎn)1，2，3，4的控制輸入u1(t)、u2(t)和u3(t)的狀態(tài)

圖7 節(jié)點(diǎn)5，6，7的控制輸入u1(t)、u2(t)和u3(t)的狀態(tài)

4 總結(jié)

本文研究了一類(lèi)具有時(shí)滯的非線(xiàn)性耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入到狀態(tài)聚同步問(wèn)題。首先根據(jù)不同集群中的節(jié)點(diǎn)構(gòu)造了相應(yīng)的誤差系統(tǒng)，然后再由誤差系統(tǒng)和跟蹤誤差系統(tǒng)構(gòu)造了相應(yīng)的增廣系統(tǒng)，通過(guò)證明增廣系統(tǒng)的輸入到狀態(tài)穩(wěn)定，從而得到了原系統(tǒng)輸入到狀態(tài)的聚同步。通過(guò)本文中構(gòu)造的基于觀測(cè)值的事件觸發(fā)脈沖控制，得到了原系統(tǒng)輸入到狀態(tài)聚同步的充分條件，同樣排除了系統(tǒng)的Zeno行為。在本文中，系統(tǒng)的連接拓?fù)涫遣蛔兊模窃趯?shí)際中也有許多系統(tǒng)是可變拓?fù)?，例如順序連接拓?fù)洌?lián)合連接拓?fù)涞鹊?，因此在同樣的情況下研究可變拓?fù)涞南到y(tǒng)是十分有意義的，這也是在將來(lái)的工作中我們所要考慮的。