嚴(yán)昊 吳建民

摘? 要： 本文針對基于6-UCU型Stewart平臺的并聯(lián)機(jī)床提出了一種軌跡時間優(yōu)化方法。建立該運(yùn)動平臺的運(yùn)動學(xué)逆解模型。通過三次多項式插值對上平臺的軌跡點進(jìn)行插值，通過反解模型求出各個驅(qū)動臂對應(yīng)的位移。建立時間優(yōu)化的模型，使用遺傳算法結(jié)合五次多項式插值對軌跡點之間的速度，加速度進(jìn)行求解。計算得出優(yōu)化后的運(yùn)行時間與未優(yōu)化前對比優(yōu)化了14.9%。最后將得到的加速度導(dǎo)入到ADMAS模型中進(jìn)行仿真驗證，結(jié)果表明該軌跡運(yùn)行平穩(wěn)，仿真測量的驅(qū)動臂位移與計算得出無明顯差別。

關(guān)鍵詞： Stewart平臺;遺傳算法;軌跡優(yōu)化

中圖分類號： TP249? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A? ? DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2020.09.030

本文著錄格式：嚴(yán)昊，吳建民. 基于6-UCU型平臺并聯(lián)機(jī)床的軌跡時間優(yōu)化[J]. 軟件，2020，41（09）：108111+118

【Abstract】： This paper proposes a trajectory time optimization method for parallel machine tools based on the 6-UCU Stewart platform. In this paper， the inverse kinematics model of the motion platform was established firstly. The trajectory points of the upper platform are interpolated by cubic polynomial interpolation， and the corresponding displacement of each driving arm is obtained by the inverse solution model. Establish a time-optimized model and use genetic algorithm combined with fifth-degree polynomial interpolation to solve the velocity and acceleration between trajectory points. It is calculated that the optimized running time is optimized by 14.9% compared with that before the optimization. Finally， the obtained acceleration was imported into the ADMAS model for simulation verification. The results show that the trajectory runs smoothly， and the measured displacement of the driving arm is not significantly different from the calculation.

【Key words】： Stewart platform; Genetic algorithm; Trajectory optimization

0? 引言

隨著機(jī)器人技術(shù)的進(jìn)步，各種各樣的機(jī)器人投入到了生產(chǎn)中取代人力進(jìn)行繁重、重復(fù)的人力勞動?；谶@種現(xiàn)狀，一些專家學(xué)者著手研究對機(jī)器人的運(yùn)行軌跡進(jìn)行時間的優(yōu)化，來進(jìn)一步提高生產(chǎn)效率。Geering[1]等人利用Pontryagin最小化原理，提出了一種機(jī)器人最優(yōu)時間的軌跡規(guī)劃方法。Cong M[2]提出了一種基于模糊遺傳算法，基于速度和加速度的約束條件下，對軌跡運(yùn)行時間進(jìn)行優(yōu)化。施祥玲等[3]以從時間、能耗、沖擊三方面考慮對串聯(lián)機(jī)械臂，建立五次非均勻有理B樣條模型，采用NSGA-II算法求解實現(xiàn)了有效的多目標(biāo)優(yōu)化。王宇[4]使用三次樣條插值對3R串聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行估計規(guī)劃，并提出了一種基于遺傳算法的時間優(yōu)化方法。

本文以6-UCU型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對象，針對其在并聯(lián)機(jī)床的應(yīng)用場景，在保證其平穩(wěn)運(yùn)行的前提下，對其運(yùn)行軌跡進(jìn)行時間上的優(yōu)化。

1? Stewart反解數(shù)學(xué)模型

使用SolidWorks建立六自由度并聯(lián)機(jī)床的三維模型如圖1所示，該并聯(lián)機(jī)床由伸縮桿、刀具、主軸和機(jī)架組成，機(jī)床上下平臺分為兩層，六根可變長桿件通過虎克鉸鏈與上下平臺相連。機(jī)架固定在地面，通過伺服電機(jī)驅(qū)動六根伸縮桿，實現(xiàn)動平臺在空間的移動和轉(zhuǎn)動，從而得到動平臺的不同位姿。主軸部件固定在動平臺上，帶動刀具旋轉(zhuǎn)，實現(xiàn)對工件切削的加工要求。

Stewart平臺的運(yùn)動學(xué)的位置分析包括正解和逆解，正解是已知關(guān)節(jié)變量求解刀具在空間坐標(biāo)系中的位置，逆解是已知刀具位置求解各關(guān)節(jié)的變量。對于機(jī)床操控中需要對動平臺的運(yùn)動軌跡進(jìn)行規(guī)劃，再利用運(yùn)動學(xué)位置反解求得各個驅(qū)動桿的位移變化，將驅(qū)動桿的位移變化輸入上位機(jī)完成工件的加工。

動平臺的位置和姿態(tài)可用定平臺的一個位置向量和一組歐拉角、、來表示。其中為回轉(zhuǎn)角，為俯仰角，為偏轉(zhuǎn)角。將動平臺坐標(biāo)系通過歐拉變換轉(zhuǎn)換到定坐標(biāo)系。采用齊次坐標(biāo)形式建立坐標(biāo)變換矩陣：

上平坐標(biāo)各個鉸鏈點的相對于定坐標(biāo)系的坐標(biāo)用矩陣和矩陣表示，上平臺各個鉸鏈點相對于定坐標(biāo)系的坐標(biāo)為。

2? 軌跡規(guī)劃

2.1? 軌跡方程

如圖3所示，工件上走刀銑削一個半徑為10 mm的圓錐孔，軌跡方程為：

2.2? 三次樣條插值

對上平臺的軌跡進(jìn)行三次樣條插值。三次樣條曲線是軌跡規(guī)劃常用的曲線，三次樣條插值產(chǎn)生的軌跡既能保證加速連續(xù)，加加速度無驟變又能避免高次曲線的震蕩、超調(diào)現(xiàn)象[5]。

經(jīng)過樣條插值后的軌跡點如圖4所示。

將密化后的軌跡點通過運(yùn)動學(xué)的逆解求對應(yīng)驅(qū)動臂的位移，將驅(qū)動臂的位移通過五次多項式插值規(guī)劃上平臺在一段軌跡內(nèi)運(yùn)行時，平臺各個驅(qū)動臂的速度和加速度。

2.3? 五次五多項式插值

多項式插值是直線插值的常用方法，多項式插值就是已知一個函數(shù)，如果給定在區(qū)間上的個點，已知在這些點的函數(shù)值，求得一個次數(shù)不超過的多項式函數(shù)的過程[5]。建立線性方程組：

由于路徑點已由運(yùn)動平臺工作路徑通過反解到，通過第二章所推導(dǎo)的運(yùn)動學(xué)逆解，一般取其速度和加速度都為0，也可以設(shè)立其他數(shù)值。由此可以得到6個已知條件。將已知條件帶入公式（15）中聯(lián)立求解得到：

3? 軌跡優(yōu)化

3.1? 構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)

給上平臺規(guī)劃一段軌跡，將該軌跡離散為若干個離散點，相鄰軌跡點形成最小軌跡。該軌跡的實際運(yùn)行時間是若干個最小軌跡的運(yùn)行時間的和。對軌跡運(yùn)行時間進(jìn)行優(yōu)化建立的目標(biāo)函數(shù)是讓所有軌跡運(yùn)行時間的總和最小，如式（18）所示：

3.2? 約束函數(shù)

約束條件主要有動力學(xué)約束條件、機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)約束條件和其他約束條件。在機(jī)器人運(yùn)動過程中，在保證運(yùn)行速度的同時還需要避免出現(xiàn)加速度驟變對結(jié)構(gòu)造成沖擊，以及速度和加速在整個系統(tǒng)的允許范圍內(nèi)。相鄰兩個軌跡點之間就是一段軌跡，共有段軌跡，6個驅(qū)動臂在不同軌跡區(qū)間所對應(yīng)的速度為、加速度為，約束方程如下所示：

已經(jīng)對五次多項式中各個節(jié)點區(qū)間的速度，加速度，加加速度進(jìn)行了推導(dǎo)，結(jié)合五次多項式插值計算可得到優(yōu)化目標(biāo)的約束函數(shù)為：

參考一些Stewart平臺已經(jīng)投入生產(chǎn)和使用的產(chǎn)品的參數(shù)和設(shè)計。驅(qū)動臂一般使用伺服電機(jī)驅(qū)動，考慮該機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，選取二級電機(jī)作為驅(qū)動電機(jī)。參照上海格吉電機(jī)科技有限公司生產(chǎn)的SEC75-R005型直角電動缸，采用英威特SV-ML06-0R4G-2-1A0伺服電機(jī)，其額定功率1.5 KW，額定電壓220 V，額定轉(zhuǎn)速3000 r/min，最大輸出力15 KN，速度83 mm/s。

從中提取的運(yùn)動學(xué)極限參數(shù)如表1所示。

對于軌跡進(jìn)行時間上優(yōu)化時，速度和加速是未知的。對于軌跡實際運(yùn)行時間由每段軌跡點所分配的速度和加速度共同決定。正常軌跡規(guī)劃時，出于軌跡平滑的考慮需要給機(jī)構(gòu)留有減速的冗余，往往速度和加速度不能達(dá)到既定的閾值，電機(jī)提速過快會造成程序報錯。出于實際應(yīng)用的考慮，將非優(yōu)化環(huán)節(jié)下速度和加速度限定在最大輸出速度和加速度的80%。將優(yōu)化有軌跡的運(yùn)行時間與全程在穩(wěn)定速度和加速度情況下軌跡的運(yùn)行時間進(jìn)行對比。

本文的優(yōu)化考慮到驅(qū)動臂所做的為直線運(yùn)動，驅(qū)動臂所要考慮的減速區(qū)域為驅(qū)動臂做往復(fù)運(yùn)動時的軌跡段，在此軌跡段將速度和加速度設(shè)定為平穩(wěn)運(yùn)行狀態(tài)，將做單一變化時的驅(qū)動臂的速度和加速度設(shè)為極限狀態(tài)?？紤]到驅(qū)動臂的協(xié)同性，每個驅(qū)動臂在同一軌跡時間運(yùn)行的時間應(yīng)該相等，所以應(yīng)該選取每段軌跡區(qū)間內(nèi)最長的那個機(jī)械臂的運(yùn)行時間作為該段軌跡的運(yùn)行時間。綜合考慮這兩種因素選取在該軌跡段運(yùn)行時間最長的驅(qū)動臂的運(yùn)行時間作為該軌跡段的最終運(yùn)行時間，其他驅(qū)動臂的速度、加速度按照該軌跡段的運(yùn)行時間進(jìn)行計算求解，即：

3.3? 模型求解

該模型是一個非線性規(guī)劃問題求解問題，非線性目標(biāo)求解在已搭建的數(shù)學(xué)模型中速度、加速度、加加速度的限制作為制約函數(shù)，在求解非線性方程組的算法中遺傳算法具有良好的全局搜索能力，可以快速地將解空間中的全體解搜索出，而不會陷入局部最優(yōu)解的快速下降陷阱[6]。并且利用它的內(nèi)在并行性，可以方便地進(jìn)行分布式計算，加快求解速度。求解流程圖如圖5所示。

已經(jīng)計算得出該螺旋軌跡優(yōu)化前的運(yùn)行時間為，經(jīng)過后優(yōu)化后的運(yùn)行時間為2.708309 s，未優(yōu)化的運(yùn)行時間為3.186159 s，優(yōu)化了大約14.9%。

以其中一條驅(qū)動臂的速度和加速度為例，螺旋軌跡運(yùn)行時其圓弧的半徑是逐漸收斂的，所以驅(qū)動臂運(yùn)行到軌跡末尾的時候運(yùn)動的幅度更小，但往復(fù)的更加頻繁。如圖6所示，優(yōu)化前的軌跡為了避免這樣的狀態(tài)采用較為穩(wěn)定的恒定輸出，但即便是這樣當(dāng)軌跡更加收斂的時候還是會有加速度較大的突變。優(yōu)化后的軌跡對于驅(qū)動臂運(yùn)行幅度較小、但往復(fù)頻繁的軌跡段表現(xiàn)良好。

未優(yōu)化的軌跡加速度峰值和谷值相差較大，最大的加速度將近3000 mm/s2，而優(yōu)化的后的軌跡加速度穩(wěn)定在2000 mm/s2以內(nèi)，峰值和谷值的差距并不懸殊。

如圖7所示，在軌跡單向直線運(yùn)動時軌跡是在極限速度附近的，在驅(qū)動臂做往復(fù)運(yùn)動時軌跡有明顯減速和再加速到極限速度的過程，且這個過程在軌跡運(yùn)行的總時間所占的比率較大，說明在往復(fù)階段驅(qū)動臂的運(yùn)行是較為平穩(wěn)的。

4? 仿真驗證

使用ADAMS搭建平臺的動力學(xué)模型，將優(yōu)化得到的加速度樣條導(dǎo)入到模型中[7]，在模型中建立測量，將測量采集到的位移運(yùn)行數(shù)據(jù)與軌跡規(guī)劃的運(yùn)行數(shù)據(jù)對比。

如圖8所示各個驅(qū)動臂的位移變化圖和軌跡規(guī)劃得到的驅(qū)動桿的位移變化量一致，優(yōu)化是從時間上進(jìn)行優(yōu)化，在驅(qū)動臂做小位移往復(fù)運(yùn)動時，驅(qū)動臂依舊能保持高速運(yùn)動。

5? 結(jié)論

本文結(jié)合實際生產(chǎn)對Stewart平臺的運(yùn)動軌跡進(jìn)行了優(yōu)化。首先對上平臺的運(yùn)動軌跡進(jìn)行了規(guī)劃通過三次樣條插值對軌跡點進(jìn)行密化，保證軌跡的平滑性，通過運(yùn)動學(xué)反解模型對軌跡點求解對應(yīng)的關(guān)節(jié)位置。

建立優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，通過遺傳算法與五次多項式插值相結(jié)合解析出了時間最優(yōu)時各軌跡段的速度和加速度，時間優(yōu)化后軌跡運(yùn)行平穩(wěn)。最后通過仿真驗證了該優(yōu)化結(jié)果。

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