■安徽省宿州應(yīng)用技術(shù)學(xué)校 張 剛

高考數(shù)學(xué)計(jì)數(shù)問(wèn)題是每年高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，題型多樣，方法多變，但無(wú)外乎涉及的就是“元素”和“位置”的關(guān)系問(wèn)題，或是兩者綜合起來(lái)一起考慮，這是計(jì)數(shù)問(wèn)題處理策略與方法的關(guān)鍵所在。只要我們掌握處理此類問(wèn)題最基本、最常見的方法，就能夠以不變應(yīng)萬(wàn)變有效破解這類問(wèn)題。

一、優(yōu)先法

例 1（2020年湖南師大附中高三月考理14）安排A、B、C、D、E、F，共6名義工照顧甲、乙、丙3位老人，每2位義工照顧1位老人，考慮到義工與老人住址距離問(wèn)題，義工A不安排照顧老人甲，義工B不安排照顧老人乙，則安排方法共有____種。

解析：6名義工照顧3位老人，每2位義工照顧1位老人，所以共有其中，優(yōu)先考慮義工A照顧老人甲的情況有優(yōu)先考慮義工B照顧老人乙的情況有再考慮義工A照顧老人甲同時(shí)義工B照顧老人乙的重復(fù)情況有所以符合題意的安排方法共有90-30-30+12=42（種）。

評(píng)注：位置分析法和元素分析法是解決排列組合問(wèn)題最常用的基本方法，若以元素分析為主，需要安排特殊元素，再處理其他元素。若以位置分析為主，需要優(yōu)先滿足特殊位置的要求，再處理其他位置。若有多個(gè)約束條件，往往是考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)還要兼顧其他條件。“特殊元素，優(yōu)先考慮”或“特殊位置，優(yōu)先排列”。

二、捆綁法

例 2（2020年鄭州市高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量預(yù)測(cè)理9）第十一屆全國(guó)少數(shù)民族傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)會(huì)在河南鄭州舉行，某項(xiàng)目比賽期間需要安排3名志愿者完成5項(xiàng)工作，每人至少完成一項(xiàng)，每項(xiàng)工作由一人完成，則不同的安排方式共有____種。

解析：分兩步進(jìn)行分析：第一步，先整體考慮，將5項(xiàng)工作分成1、1、3三組，其中最后一組3份捆綁一起作為大元素計(jì)算有=10（種），若分成1、2、2三組，其中最后兩組每2份捆綁一起作為大元素計(jì)算有15（種），則將5項(xiàng)工作分成3組，共有10+15=25（種）。第二步，考慮大元素內(nèi)部元素的排列問(wèn)題，將分好的三組再進(jìn)行全排列，對(duì)應(yīng)3名志愿者，有=6（種）情況，則共有25×6=150（種）不同的分組方法。

評(píng)注：在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的問(wèn)題時(shí)，先整體考慮，將相鄰元素視作一個(gè)大元素進(jìn)行排列，然后再考慮大元素內(nèi)部元素間順序的解題策略就是捆綁法。運(yùn)用捆綁法解決排列組合問(wèn)題時(shí)，一定要注意“捆綁”起來(lái)的大元素內(nèi)部的順序問(wèn)題。

三、隔板法

例 3（2020年全國(guó)高考Ⅱ卷理14）4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法有____種。

解析：由題意，可以考慮用4個(gè)隔板間的空隙代表3個(gè)小區(qū)，而用*表示學(xué)生人數(shù)。如|**|*|*|，表示第一、二、三個(gè)小區(qū)分別有2、1、1個(gè)學(xué)生。若把每個(gè)“*”與每個(gè)“|”都視為一個(gè)位置，由于左右兩端必須是“|”，故不同的分配方法相當(dāng)于4+2=6（個(gè)）位置（兩端不在內(nèi)）被2個(gè)“|”占領(lǐng)的一種“占位法”。而“每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)”相當(dāng)于在4個(gè)“*”空隙中選出2個(gè)空隙插入“|”的全排列問(wèn)題，即36，所以不同的安排方法共有36種。

評(píng)注：n個(gè)同學(xué)分配到m個(gè)小區(qū)（m≤n），要求每個(gè)小區(qū)至少分配一名同學(xué)的安排方法等價(jià)于n個(gè)同學(xué)站成一排從空隙里插入m-1個(gè)隔板，再進(jìn)行全排列的問(wèn)題，即種方法。需要注意的是：①學(xué)生不用區(qū)分，但有編號(hào)；②每個(gè)小區(qū)至少分配一名同學(xué)，因此每次隔離時(shí)不能踩空，即兩個(gè)隔板不能同時(shí)插入一個(gè)空隙中。

四、窮舉法

例 4（2020年合肥市高三第二次教學(xué)質(zhì)量預(yù)測(cè)理8）為了實(shí)施“科技下鄉(xiāng)，精準(zhǔn)扶貧”戰(zhàn)略，某縣科技特派員帶著A、B、C三個(gè)農(nóng)業(yè)扶貧項(xiàng)目進(jìn)駐某村，對(duì)該村僅有的甲、乙、丙、丁四個(gè)貧困戶進(jìn)行產(chǎn)業(yè)幫扶。經(jīng)過(guò)前期實(shí)際調(diào)研得知，這四個(gè)貧困戶選擇A、B、C三個(gè)扶貧項(xiàng)目的意向如表1：

表1

若每個(gè)貧困戶只能從自己已登記的選擇意向項(xiàng)目中隨機(jī)選取一項(xiàng)，且每個(gè)項(xiàng)目至多有兩個(gè)貧困戶選擇，則不同的選法種數(shù)有（ ）。

A.24種 B.16種

C.10種 D.8種

解析：（1）當(dāng)甲選A項(xiàng)目，乙也選A項(xiàng)目時(shí)，丁只能選C項(xiàng)目，丙可選B或C項(xiàng)目，此時(shí)選法有2種。（2）當(dāng)甲選A項(xiàng)目，乙選B項(xiàng)目時(shí)，丁可能選A或C項(xiàng)目。當(dāng)丁選A項(xiàng)目時(shí)，丙可能選B或C項(xiàng)目；當(dāng)丁選C項(xiàng)目時(shí)，丙可選A或B或C項(xiàng)目，此時(shí)選法有2+3=5（種）。（3）當(dāng)甲選B項(xiàng)目，乙選A項(xiàng)目時(shí)，丁可能選A或C項(xiàng)目。當(dāng)丁選A項(xiàng)目時(shí)，丙可選B或C項(xiàng)目；當(dāng)丁選C項(xiàng)目時(shí)，丙可選A或B或C項(xiàng)目，此時(shí)選法有2+3=5（種）。（4）當(dāng)甲選B項(xiàng)目，乙也選B項(xiàng)目時(shí)，丁可能選A或C項(xiàng)目。當(dāng)丁選A項(xiàng)目時(shí)，丙可選A或C項(xiàng)目，當(dāng)丁選C項(xiàng)目時(shí)，丙可選A或C項(xiàng)目，此時(shí)選法有2+2=4（種）。所以不同的選法共有2+5+5+4=16（種）。

評(píng)注：所謂窮舉法就是將所有可能的情況進(jìn)行分類討論依次逐一排出，然后再把所有可能的種類依次累加即可。這種方法思路清晰，但有時(shí)比較煩瑣，需要仔細(xì)認(rèn)真。

五、排除法

例 5（2020年全國(guó)高考名校名師原創(chuàng)卷理10）天干地支，簡(jiǎn)稱干支，源自中國(guó)遠(yuǎn)古時(shí)代對(duì)天象的觀測(cè)，“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”稱為十大天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”稱為十二地支。十大天干和十二地支按順序依次相配（天干在前，地支在后，天干由甲起，地支由子起，第一個(gè)組成甲子，第十個(gè)組成癸酉，然后天干再?gòu)念^開始，第十一個(gè)組成甲戌，從第十三個(gè)起，地支再?gòu)念^開始，以次類推），組成六十個(gè)基本單位（簡(jiǎn)稱干支），用來(lái)計(jì)時(shí)，稱為干支紀(jì)元法。在這六十干支中，從含“甲”或“子”的干支中任取3個(gè)，則“甲子”不被取到或“丙子”不被取到的取法種數(shù)為（ ）。

A.72 B.112

C.420 D.1520

解析：含有“甲”的干支有6個(gè)，含有“子”的干支有5個(gè)，含有“甲”或“子”的干支個(gè)數(shù)為6+5-1=10（個(gè)），其中“甲子”“丙子”各有1個(gè)，所以“甲子”不被取到或“丙子”不被取到的取法種數(shù)為。

評(píng)注：在計(jì)數(shù)時(shí)，必須注意無(wú)一重復(fù)，無(wú)一遺漏。為了使重疊部分不被重復(fù)計(jì)算，人們研究一種新的計(jì)數(shù)方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對(duì)象的數(shù)目先計(jì)算出來(lái)，然后再把計(jì)數(shù)時(shí)重復(fù)計(jì)算的數(shù)目排斥出去，使得計(jì)算的結(jié)果既無(wú)遺漏又無(wú)重復(fù)，這種計(jì)數(shù)的方法稱為容斥原理。本題若從正面考慮，需要分類討論，但是若從問(wèn)題的反面考慮，即“甲子”或“丙子”都被取到的取法種數(shù)為=8（種），那么問(wèn)題就是直接從含“甲”或“子”的干支中任取3個(gè)的問(wèn)題，因此，只需要直接從總體中剔除這種情形即可。

總之，高考數(shù)學(xué)計(jì)數(shù)問(wèn)題往往都是以實(shí)際問(wèn)題為背景，考查分步、分類計(jì)數(shù)原理，同時(shí)運(yùn)用排列組合數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算。而解決問(wèn)題的關(guān)鍵是要明確分類還是分步，是考慮元素還是考慮位置，都要靈活處理。同學(xué)們平時(shí)多留心、總結(jié)，就可以綜合運(yùn)用以上各種方法解決問(wèn)題。“世上無(wú)難事，只要肯登攀！”只要堅(jiān)持一步一個(gè)腳印，成功很快就會(huì)到來(lái)。