■內(nèi)蒙古通遼實(shí)驗(yàn)中學(xué) 姬恩澤

作為《新課程標(biāo)準(zhǔn)》增加的新內(nèi)容，算法走進(jìn)了中學(xué)數(shù)學(xué)。在中學(xué)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)中，除了要讓同學(xué)們了解算法的基本含義和學(xué)習(xí)基本算法語(yǔ)句，更重要的是讓同學(xué)們體會(huì)和應(yīng)用算法思想。新課標(biāo)不但要求同學(xué)們要掌握算法的基本知識(shí)，而且要求將算法思想貫穿到高中數(shù)學(xué)的始終。然而，在具體學(xué)習(xí)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)同學(xué)們對(duì)“算法”的學(xué)習(xí)重視不夠，對(duì)算法概念的認(rèn)識(shí)不夠全面，對(duì)簡(jiǎn)單的算法問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)各類錯(cuò)誤，下面就舉例辨析在算法初步中常見的易錯(cuò)點(diǎn)。

一、秦九韶算法

要點(diǎn)闡述：把一個(gè)n次多項(xiàng)式f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0改寫成如下形式：f（x）=（…（（anx+an-1）x+an-2）x+…+a1）x+a0，求多項(xiàng)式的值時(shí)，首先計(jì)算最內(nèi)層括號(hào)內(nèi)一次多項(xiàng)式的值，即v0=an，然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值，即：

v1=v0x+an-1；

v2=v1x+an-2；

v3=v2x+an-3；

……

vn=vn-1x+a0。

這樣，求n次多項(xiàng)式f（x）的值就轉(zhuǎn)化為求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值。

解題技巧：利用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式的值，關(guān)鍵是能正確地將所給多項(xiàng)式改寫，然后由內(nèi)到外逐次計(jì)算，由于后項(xiàng)計(jì)算需用到前項(xiàng)的結(jié)果，故應(yīng)認(rèn)真、細(xì)心，確保中間結(jié)果的正確性。

典型例題1用秦九韶算法求f（x）=x5-5x4+x3-1當(dāng)x=2時(shí)的值。

易錯(cuò)點(diǎn)辨析：當(dāng)n次多項(xiàng)式中出現(xiàn)空項(xiàng)時(shí)，要把系數(shù)為零的相應(yīng)項(xiàng)補(bǔ)齊，否則，在處理問(wèn)題時(shí)，多項(xiàng)式的運(yùn)算次數(shù)會(huì)達(dá)不到對(duì)應(yīng)的次數(shù)，從而得出錯(cuò)誤的結(jié)果。

正解：將f（x）改寫為f（x）=x5-5x4+x3+0×x2+0×x-1=（（（（x-5）x+1）x+0）x+0）x-1，由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式當(dāng)x=2時(shí)的值，有：

v0=1；

v1=1×2-5=-3；

v2=（-3）×2+1=-5；

v3=（-5）×2+0=-10；

v4=（-10）×2+0=-20；

v5=（-20）×2-1=-41。

所以f（2）=-41。

二、輾轉(zhuǎn)相除法

要點(diǎn)闡述：輾轉(zhuǎn)相除法，又叫歐幾里得算法，是一種求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的古老而有效的算法。而我國(guó)古代的更相減損術(shù)與輾轉(zhuǎn)相除法在本質(zhì)上是有區(qū)別的。

算法步驟：第一步，給定兩個(gè)正整數(shù)m，n（m＞n）。

第二步，計(jì)算m除以n所得的余數(shù)r。

第三步，m=n，n=r。

第四步，若r=0，則m，n的最大公約數(shù)等于m；否則，返回第二步。

典型例題2用輾轉(zhuǎn)相除法求288與123的最大公約數(shù)。

易錯(cuò)點(diǎn)辨析：輾轉(zhuǎn)相除法的最后一步中的除數(shù)是題目所給兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)。輾轉(zhuǎn)相除法通過(guò)逐次輾轉(zhuǎn)相除，剩下的兩數(shù)越來(lái)越小，但并沒有改變它們的最大公約數(shù)。到最后的兩數(shù)，大數(shù)能被小數(shù)整除，說(shuō)明小數(shù)就是原來(lái)兩數(shù)的最大公約數(shù)。

正解：由輾轉(zhuǎn)相除法得：

288=123×2+42；

123=42×2+39；

42=39×1+3；

39=3×13。

故288與123的最大公約數(shù)是3。

歸納總結(jié)：由除法的性質(zhì)知，對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù)，上述除法步驟總可以在有限步之后完成，從而總可以用輾轉(zhuǎn)相除法求出它們的最大公約數(shù)。

三、更相減損術(shù)

要點(diǎn)闡述：《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著，其中的“更相減損術(shù)”也可以用來(lái)求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也。以等數(shù)約之”。最重要一點(diǎn)是若所給的整數(shù)都是偶數(shù)，除以若干個(gè)2后，最后結(jié)果要乘以相同多個(gè)2。

解題步驟：第一步，任意給定兩個(gè)正整數(shù)，判斷它們是否都是偶數(shù)。若都是偶數(shù)，用2約簡(jiǎn)；若不是，執(zhí)行第二步。

第二步，以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)，繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的減數(shù)和差相等為止，則第一步中約掉的若干個(gè)2與第二步中等數(shù)的乘積就是所求的最大公約數(shù)。

典型例題3用更相減損術(shù)求兩個(gè)整數(shù)84與72的最大公約數(shù)。

易錯(cuò)點(diǎn)辨析：本題所給的兩個(gè)整數(shù)84與72都是偶數(shù)，除以4后，最后的結(jié)果要乘以4才是原題給的兩個(gè)整數(shù)的最大公約數(shù)。

正解：因?yàn)?4=21×4，72=18×4，

所以21-18=3；

18-3=15；

15-3=12；

12-3=9；

9-3=6；

6-3=3。

所以21和18的最大公約數(shù)等于3。

所以84和72的最大公約數(shù)等于12。

四、程序框圖

要點(diǎn)闡述：對(duì)于程序框圖的客觀題，首先要理清所要實(shí)現(xiàn)的算法的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及流程規(guī)則，對(duì)于包含條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，要確定循環(huán)結(jié)構(gòu)的條件或找出循環(huán)次數(shù)，然后確定是否能取得“=”。

規(guī)律方法：要注意循環(huán)條件、變量初值、循環(huán)體各語(yǔ)句之間的影響。

（1）注意各個(gè)語(yǔ)句順序不同對(duì)結(jié)果的影響；

（2）注意各個(gè)變量初始值不同對(duì)結(jié)果的影響；

（3）要對(duì)循環(huán)開始和結(jié)束的變量及結(jié)束時(shí)變量的值認(rèn)真檢驗(yàn)，以免出現(xiàn)多循環(huán)或漏循環(huán)。

典型例題4（河北省衡水中學(xué)2020屆高三衛(wèi)冕聯(lián)考理科數(shù)學(xué)8）執(zhí)行如圖1所示的程序框圖，則輸出S的結(jié)果為（ ）。

圖1

易錯(cuò)點(diǎn)辨析：對(duì)于包含條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，當(dāng)循環(huán)次數(shù)過(guò)多時(shí)，尤其注意執(zhí)行最后一次循環(huán)語(yǔ)句時(shí)，要對(duì)循環(huán)結(jié)束時(shí)變量的值認(rèn)真檢驗(yàn)，以免出現(xiàn)多循環(huán)或漏循環(huán)。本題當(dāng)n=2019時(shí)執(zhí)行最后一次循環(huán)，進(jìn)入循環(huán)體后，應(yīng)先執(zhí)行語(yǔ)句n=n+1，計(jì)算出n=2020，然后計(jì)算出，所以S=S+a=S+。

正解：當(dāng)n=2019時(shí)執(zhí)行最后一次循環(huán)，進(jìn)入循環(huán)體，應(yīng)先執(zhí)行語(yǔ)句n=n+1，得n=2020，所以故選C。