彭笑雨，林成新，*，姚旗，楊東升，田昀

1. 大連海事大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，大連 116026 2. 北京衛(wèi)星制造廠有限公司，北京 100094

隨著航天技術(shù)的發(fā)展，對空間結(jié)構(gòu)的需求也朝著大型化、復(fù)雜化的方向發(fā)展。各種航天項目的機(jī)構(gòu)規(guī)模越來越大，以滿足不同需求的太空任務(wù)[1]。為了在復(fù)雜的空間環(huán)境中完成特定任務(wù)，人們設(shè)計了許多大型空間結(jié)構(gòu)[2-4]。由于發(fā)射空間有限，因此航天器上廣泛應(yīng)用可展開機(jī)構(gòu)[5]。由于其良好的應(yīng)用前景，可展開機(jī)構(gòu)已成為航空航天領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一[6-7]。20世紀(jì)80年代，蘭利研究中心提出一種四面體單元的空間概念組裝，隨后Slysh等提出了一種在軌組裝的方法[8]。隨著機(jī)械臂和3D打印的發(fā)展，目前已經(jīng)能利用3D打印技術(shù)制造微小桁架[9]，人們希望通過機(jī)械臂來實現(xiàn)在軌組裝[10]，或者利用一種爬蟲機(jī)器人和3D打印技術(shù)結(jié)合來實現(xiàn)桁架的組裝。在工程應(yīng)用方面，有美國AEC-Able公司開發(fā)的FAST和ADAM、TRW公司的太陽花展開天線[11]，以及浙江大學(xué)關(guān)富玲的扭簧驅(qū)動四面體天線[12]、燕山大學(xué)設(shè)計的構(gòu)架式天線[13]、中國空間技術(shù)研究院的環(huán)形桁架式天線[14]、西安空間無線電技術(shù)研究院的大型網(wǎng)狀天線[15]、上海交通大學(xué)陳務(wù)軍的扭簧驅(qū)動空間展開桁架結(jié)構(gòu)等[16]，而直接利用空間結(jié)構(gòu)單元來進(jìn)行組合較為少見。

因此，本文設(shè)計了一種五面體可展桁架單元并以此作為桁架基本結(jié)構(gòu)，通過在軌裝配的方式組裝成空間桁架結(jié)構(gòu)，用以搭建大型空間天線結(jié)構(gòu)、太空站等復(fù)雜的結(jié)構(gòu)等。

空間桁架廣泛應(yīng)用于支撐結(jié)構(gòu)，目前主要基于桁架桿和桁架接頭來進(jìn)行組裝。這種組裝方式雖然靈活度高，但是對于固定的成型面來說，這種方式使得組裝復(fù)雜。以五面體可展桁架單元作為桁架可展結(jié)構(gòu)的基本單元，具有多方面的優(yōu)點(diǎn)。相對于桁架桿和桁架接頭的組裝方式而言，以五面體可展桁架單元多為基礎(chǔ)，能減少組裝的復(fù)雜程度。并且該單元在存儲運(yùn)輸時，處于收攏狀態(tài)，能夠節(jié)省存儲空間，并且方便大批量運(yùn)輸；到達(dá)目標(biāo)位置后，通過一定條件使其展開成設(shè)計的形狀并保持穩(wěn)定。使用時，以展開后的五面體可展桁架單元為基礎(chǔ)，可以進(jìn)行大型空間桁架的拼接與組裝。

1 結(jié)構(gòu)及自由度分析

1.1結(jié)構(gòu)分析

所設(shè)計的五面體可展桁架單元展開過程中的結(jié)構(gòu)如圖1(a)所示，其完全展開后如圖1(b)所示。該五面體可展桁架單元的連接均為鉸鏈連接。

圖1 五面體可展桁架單元的展開形態(tài)Fig.1 The expanded form of pentahedral deployable truss unit

五面體可展桁架單元完全展開后，該桁架單元必須能保持穩(wěn)定，這樣，以該五面體可展桁架單元組成的大型桁架才能保持穩(wěn)定。參考Maxwell幾何體系穩(wěn)定性必要判據(jù)[17]，對該五面體可展桁架單元進(jìn)行分析：

e≥αν-β

(1)

式中：e為邊數(shù)；v為頂點(diǎn)數(shù)；α為維數(shù)；β為自由度數(shù)。對于空間機(jī)構(gòu)，α=3，β=6。

五面體可展桁架單元展開后，e為9，v為5，等式左右均為9，滿足公式(1)條件，公式成立。因此，以該五面體可展桁架單元結(jié)構(gòu)作為基本桁架單元能保證基本單元結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定，是實現(xiàn)整體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的前提。

以五面體可展桁架單元作為基本單元，可以組合成多種類型的桁架結(jié)構(gòu)，如圖2所示。

圖2 五面體可展桁架單元組成空間結(jié)構(gòu)Fig.2 Spatial structures composed by pentahedral deployable truss units

在基本單元進(jìn)行連接時，如圖3所示，通過在該基本單元上設(shè)置預(yù)留的連接桿，利用接頭將兩個五面體可展桁架單元進(jìn)行連接。連接的接頭可以使用卡扣式的快速接頭，或者利用記憶合金接頭。在連接時，只需將五面體可展桁架單元上預(yù)留的連接桿插入連接的接頭，即可實現(xiàn)連接。對于不同的成型面，可通過改變接頭與兩個五面體可展桁架單元之間角度來實現(xiàn)。

圖3 連接桿Fig.3 Connecting rod

1.2 自由度分析

如圖4所示，以五面體可展桁架單元的錐點(diǎn)o為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。圖4中所有連接均為鉸鏈連接，點(diǎn)1～23處的轉(zhuǎn)動軸在坐標(biāo)系中的矢量分別為S1～S23，其中轉(zhuǎn)動軸方向矢量S1、S2、S17、S16垂直于平面xoz，轉(zhuǎn)動軸方向矢量S7、S6、S12、S11、S21、S22、S23垂直于平面yoz，S3、S4、S5、S20、S19、S18、S15、S14、S13、S10、S9、S8垂直于平面xoy。

圖4 五面體可展桁架單元的坐標(biāo)系Fig.4 The coordinate system of pentahedral deployable truss unit

則各處轉(zhuǎn)動副的旋量分別為：

(2)

式中：x1～x5、x8～x10、x13～x20為點(diǎn)1～5、8～10、13～20的x方向坐標(biāo)，y3～y15、y18～y23為點(diǎn)3～15、18～23的y方向坐標(biāo)，z2、z6、z11、z16、z21～z23為點(diǎn)2、6、11、16、21～23的z方向坐標(biāo)，且z2=z6=z11=z16，z21=z23。

對五面體可展桁架單元參考機(jī)構(gòu)的獨(dú)立閉環(huán)公式為：

L=p-n+1=5

(3)

式中：L為獨(dú)立閉環(huán)數(shù)；p為機(jī)構(gòu)的鉸鏈數(shù)；n為機(jī)構(gòu)的構(gòu)件數(shù)。

由于該五面體結(jié)構(gòu)擁有5個獨(dú)立閉環(huán)，因此，整個五面體可展桁架單元的閉環(huán)旋量約束方程為：

(4)

式中：ωi，i=1,2,…，23，為鉸鏈的旋量坐標(biāo)；0為6維列向量。

將式(4)寫成矩陣形式:

MN=0

(5)

將式(2)中各轉(zhuǎn)動副旋量值帶入矩陣M，則矩陣M的秩為：

R(M)=22

(6)

由式(6)可知，矩陣M的秩為22，而矩陣M的列數(shù)為23，矩陣零空間的維數(shù)為列數(shù)減去矩陣的秩，因此可以得到該五面體可展桁架單元的自由度數(shù)為1。

2 可展五面體桁架單元的 運(yùn)動學(xué)分析

2.1位置分析

以五面體桁架單元的錐點(diǎn)o點(diǎn)為頂點(diǎn)在結(jié)構(gòu)中建立空間直角坐標(biāo)系如圖5所示。以D點(diǎn)、

I點(diǎn)為例對五面體可展桁架單元進(jìn)行運(yùn)動學(xué)分析。五面體桁架單元展開時，在D點(diǎn)施加驅(qū)動，CD、DE桿繞著D點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)動。其中，D點(diǎn)的運(yùn)動可以視為繞著E點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)。I點(diǎn)的運(yùn)動可視為繞著H點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)。

圖5 五面體可展桁架單元Fig.5 Pentahedral developable truss unit

為了表達(dá)各桿件之間的相對位置和姿態(tài)，通常采用D-H方法[18]，其坐標(biāo)變換所需要的參數(shù)分別是繞x軸轉(zhuǎn)動的角度，沿x軸移動的距離，繞z軸轉(zhuǎn)動的角度，沿z軸移動的距離。則o點(diǎn)到E點(diǎn)的坐標(biāo)變換矩陣TE為：

將坐標(biāo)軸從o點(diǎn)變換到E點(diǎn)后，桿DE在以E點(diǎn)為原點(diǎn)的變換后的坐標(biāo)系中的位置如圖6所示。

通過坐標(biāo)變換得到D點(diǎn)相對于E點(diǎn)的變換矩陣TD為：

式中：l2為桿CD、DE的長度;∠EDC為2θ1。

圖6 以E點(diǎn)為原點(diǎn)的坐標(biāo)系中的桿DE的位置Fig.6 Location of rod DE in coordinate system with point E as origin

則在以o為原點(diǎn)的坐標(biāo)系中D(xD,yD,zD)點(diǎn)的坐標(biāo)為：

(7)

式中：MD為D點(diǎn)在以o點(diǎn)為原點(diǎn)的坐標(biāo)系下的坐標(biāo)矩陣。

由式(7)可得出D點(diǎn)的幅值位置方程sD為：

(8)

根據(jù)機(jī)構(gòu)各構(gòu)件所構(gòu)成的封閉矢量多邊形OABLCDEKFG，可得出:

(9)

將式(9)分別向x、y、z三個軸投影，最終可以得到D點(diǎn)位置約束方程：

(10)

又因為在D點(diǎn)的驅(qū)動已知，結(jié)合D點(diǎn)位置方程(7)、D點(diǎn)幅值位置方程(8)和D點(diǎn)位置約束方程(10)，可以描繪出D點(diǎn)的位置幅值變化關(guān)系。

同理，I(xI,yI,zI)點(diǎn)的坐標(biāo)矩陣MI為：

(11)

式中：l3為桿HI、IJ的長度;b4為H點(diǎn)到F點(diǎn)的距離;∠HIJ為2θ2。

根據(jù)式(11)可得出I點(diǎn)的幅值位置方程sI為：

(12)

根據(jù)機(jī)構(gòu)各構(gòu)件所構(gòu)成的封閉矢量多邊形OGFHIJNP，可得出：

(13)

將式(13)分別向x、y、z三個軸投影，最終可以得到I點(diǎn)的位置約束方程為：

b1+l1sinβ=l3sinθ2

(14)

在驅(qū)動已知的條件下，結(jié)合方程I點(diǎn)的位置方程(11)、I點(diǎn)的幅值方程(12)和I點(diǎn)的位置約束方程(14)，可以得出I點(diǎn)的位置幅值變化關(guān)系。

2.2 速度分析

對D點(diǎn)進(jìn)行速度分析，將D點(diǎn)位置方程(7)中的坐標(biāo)對時間求導(dǎo)，可以得到D點(diǎn)的速度方程為：

(15)

其中：

將D點(diǎn)的位置約束方程(10)對時間求導(dǎo)，可得D點(diǎn)的速度約束方程為：

(16)

根據(jù)式(15)可得D點(diǎn)的速度幅值方程vD為：

(17)

結(jié)合D點(diǎn)的速度方程(15)、D點(diǎn)的速度約束方程(16)、D點(diǎn)的速度幅值方程(17)，可求出D點(diǎn)的速度幅值變化關(guān)系。

同理，將式(11)中的坐標(biāo)對時間求導(dǎo)，可得I點(diǎn)的速度方程為：

(18)

將式(14)對時間求導(dǎo)，得到I點(diǎn)的速度約束方程為：

l1cosβ·ωβ=l3cosθ2·ωθ2

(19)

根據(jù)式(18)可得到I點(diǎn)的速度幅值方程vI為：

(20)

結(jié)合I點(diǎn)的速度方程(18)、I點(diǎn)的速度約束方程(19)、I點(diǎn)的速度幅值方程(20)，可求出I點(diǎn)的速度幅值變化關(guān)系。

2.3 加速度分析

將D點(diǎn)的速度方程(15)對時間求導(dǎo)，可得D點(diǎn)的加速度方程為：

(21)

其中：

將D點(diǎn)的速度約束方程(16)對時間求導(dǎo)，可得D點(diǎn)的加速度約束方程為：

(22)

根據(jù)式(21)可得到D點(diǎn)的加速度幅值方程aD為：

(23)

結(jié)合D點(diǎn)加速度方程(21)、D點(diǎn)加速度約束方程(22)和D點(diǎn)加速度幅值方程(23)，可求出D點(diǎn)的加速度幅值變化關(guān)系。

同理，將式(18)對時間求導(dǎo)，可得I點(diǎn)的加速度方程為：

(24)

其中：

將式(19)對時間求導(dǎo)可得I點(diǎn)的加速度約束方程為：

(25)

根據(jù)式(24),可得I點(diǎn)的加速度幅值方程aI為：

(26)

結(jié)合I點(diǎn)的加速度方程(24)、I點(diǎn)的加速度約束方程(25)和I點(diǎn)的加速度幅值方程(26)，可求出I點(diǎn)的加速度幅值變化關(guān)系。

3 扭簧驅(qū)動可展五面體桁架單元 動力學(xué)分析

3.1系統(tǒng)動能的求解

根據(jù)之前對五面體可展桁架單元做的自由度和運(yùn)動學(xué)分析可知，五面體可展單元的運(yùn)動位置、速度、加速度以及角度β、θ2都與角度θ1有關(guān)，因此取廣義坐標(biāo)為θ1。只要確定了θ1、ωθ1、αθ1，就能確定機(jī)構(gòu)整體的運(yùn)動情況。五面體可展桁架單元系統(tǒng)的總動能為14根連桿Ti與4個連接塊的動能Tj之和。關(guān)于連接塊的動能求解，可直接將連接塊的質(zhì)量等效于連接節(jié)點(diǎn)上。而連桿的運(yùn)動為空間運(yùn)動，求解會相對復(fù)雜。如圖7所示在五面體可展桁架單元中以o為原點(diǎn)建立全局坐標(biāo)系，在R、V、D、Q處添加扭簧約束，以ED桿為例求解連桿的動能。在E點(diǎn)建立局部坐標(biāo)系E-xEyEzE如圖7所示。

圖7 整體坐標(biāo)系中建立局部坐標(biāo)系Fig.7 Establishing local coordinate system in the whole coordinate system

則連桿ED上任意位置的一點(diǎn)S在全局坐標(biāo)系o-xyz可以用公式表示為：

rs=RE+AEuS

(27)

式中：rs為S點(diǎn)在全局坐標(biāo)系中的坐標(biāo);RE為E點(diǎn)在全局坐標(biāo)系中的坐標(biāo)矩陣;AE為E點(diǎn)的局部坐標(biāo)系相對于全局坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣;us為S點(diǎn)在局部坐標(biāo)系E-xEyEzE的空間坐標(biāo)。

us在局部坐標(biāo)系E-xEyEzE的空間坐標(biāo)可以通過uE和uD來表示：

(28)

式中：uE、uD為E點(diǎn)、D點(diǎn)在局部坐標(biāo)系E-xEyEzE的空間坐標(biāo);c為S點(diǎn)到E點(diǎn)的距離;l2為桿ED的長度。

將式(27)對時間求一階導(dǎo)，并將式(28)帶入可得到S點(diǎn)速度方程為：

(29)

式中：JS為雅克比矩陣。

由于在五面體可展桁架單元中所采用的局部坐標(biāo)系相對于全局坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣均與廣義坐標(biāo)無關(guān)，因此可得：

(30)

將式(29)對時間求導(dǎo)，并將式(30)帶入，可得到S點(diǎn)加速度方程為：

(31)

則連桿ED的動能TED表達(dá)式為：

(32)

式中：ρ為連桿ED的線密度;m2為連桿ED的質(zhì)量。

運(yùn)動學(xué)分析時已經(jīng)給出了角度β與θ1之間的關(guān)系，旋轉(zhuǎn)矩陣和各個點(diǎn)在全局坐標(biāo)系中的坐標(biāo)都可用前面運(yùn)動學(xué)的分析方法求出，因此由以上條件可以求出連桿ED的動能。同理，可以求出其他連桿的動能。

連接塊L與連桿AB連接，因此可直接將連接塊L的質(zhì)量等效于連接節(jié)點(diǎn)B點(diǎn)上。所以，連接塊L以A點(diǎn)為原點(diǎn)建立局部坐標(biāo)，連接塊L的動能為：

(33)

式中：m4為連接塊L的質(zhì)量；AA為A點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣；RA為A點(diǎn)的全局坐標(biāo)；uB為B點(diǎn)在以A為原點(diǎn)的局部坐標(biāo)系下的空間坐標(biāo)。

結(jié)合以上條件，可以求出連接塊L的動能。同理，其他連接塊的動能可依次求出。結(jié)合式(32)(33)，求出所有連桿動能和連接塊動能后，五面體可展桁架單元系統(tǒng)的總動能T為：

(34)

式中：

這里，桿長為l1的桿質(zhì)量為m1、桿長為l2的桿質(zhì)量為m2，桿長為l3的桿質(zhì)量為m3，連接塊質(zhì)量為m4，β、θ2與θ1之間的關(guān)系可通過式(10)(14)得出。

3.2 系統(tǒng)勢能的求解

D點(diǎn)的扭簧的布置示意如圖8所示，其中∠EDC為2θ1。

圖8 驅(qū)動扭簧布置示意Fig.8 Layout of driving torsion spring

由于五面體可展桁架單元主要考慮無重力環(huán)境的應(yīng)用，因此該單元的系統(tǒng)勢能只來自扭簧提供的彈性勢能。整個五面體可展桁架單元中，扭簧被布置在D、Q、R、V四個點(diǎn)處。扭簧的初始扭矩為M，剛度系數(shù)為k。則扭簧在展開過程中的彈性勢能為：

(35)

3.3 動力學(xué)方程建立

采用拉格朗日函數(shù)，取廣義坐標(biāo)為θ1，結(jié)合式(34)(35)，對于單個五面體可展桁架單元而言，摩擦力產(chǎn)生的影響很小，可以忽略，所以系統(tǒng)受到的廣義力為0。因此建立動力學(xué)微分方程為：

(36)

將式(34)(35)帶入方程(36)，化簡可得扭簧驅(qū)動五面體可展桁架單元的動力學(xué)方程為：

(37)

4 仿真驗證

4.1運(yùn)動學(xué)仿真驗證

將五面體可展機(jī)構(gòu)模型導(dǎo)入Adams仿真軟件中。在該模型中，設(shè)定OA、OG的長度b1為20 mm，AB、GF的長度l1為515.1 mm，CD、DE長度l2為270 mm，F(xiàn)點(diǎn)到K點(diǎn)的x方向距離b2為40 mm，z方向距離b3為5 mm，H點(diǎn)到F點(diǎn)的距離b4為10 mm，K點(diǎn)到E點(diǎn)的距離b5為30 mm，HI、IJ的長度l3為384.3 mm。在D點(diǎn)處施加一個勻速轉(zhuǎn)動的驅(qū)動M，其角速度為30(°)/s。初始時，五面體可展機(jī)構(gòu)的角度∠EDC=30°。設(shè)置仿真時間為5 s，步長為500。仿真后，分別從Adams中導(dǎo)出D點(diǎn)、I點(diǎn)的位置、速度和加速度的幅值曲線，將得出的仿真結(jié)果與理論推導(dǎo)計算的結(jié)果進(jìn)行對比，其對比結(jié)果如圖9所示。

圖9 理論計算與Adams仿真對比曲線Fig.9 Comparison between theoretical calculation and Adams simulation

從Adams的仿真結(jié)果可以看出，D點(diǎn)和I點(diǎn)在位移曲線和速度曲線中，理論分析結(jié)果與仿真結(jié)果幾乎完全吻合，而在加速度仿真中，由于仿真軟件分析時將模型視為純剛性物體，現(xiàn)實中純剛性的物體是不存在的，因此模擬中出現(xiàn)震動和沖擊，導(dǎo)致個別值與理論計算的結(jié)果差異較大。但總體上，理論推導(dǎo)的運(yùn)動學(xué)方程與仿真結(jié)果基本擬合。因此，該理論分析可以很好地描述空間五面體單元的運(yùn)動學(xué)展開過程。

4.2 不同扭簧剛度下動力學(xué)仿真分析

圖10 不同剛度下D點(diǎn)加速度曲線Fig.10 Acceleration curve of point D under different stiffness

由圖10可知，扭簧剛度系數(shù)的增大，對五面體可展桁架單元展開的運(yùn)動參數(shù)的變化趨勢沒有明顯影響。當(dāng)扭簧剛度從1增加到2時，時間減少了約0.27 s，展開造成的沖擊增大1倍。結(jié)合圖10和式(30)可以看出，節(jié)點(diǎn)的加速度不僅與扭簧的驅(qū)動力有關(guān)，還和節(jié)點(diǎn)位置和速度有關(guān)。在展開后期，節(jié)點(diǎn)位置和節(jié)點(diǎn)速度對節(jié)點(diǎn)加速度的影響比較明顯。

5 結(jié)束語

通過對五面體可展桁架單元進(jìn)行了分析，得出了以下結(jié)論：

1)設(shè)計了一種可展的五面體可展桁架單元，并通過Maxwell幾何體系穩(wěn)定性必要判據(jù)得出以該模型作為基本桁架單元能保證基本單元結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定，是實現(xiàn)整體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的前提。

2)基于螺旋理論對機(jī)構(gòu)進(jìn)行了分析，并利用旋量約束來分析機(jī)構(gòu)的自由度，得出結(jié)構(gòu)的自由度為1。

3)該五面體可展桁架單元的展開過程進(jìn)行了建模和運(yùn)動學(xué)分析，并推導(dǎo)了展開過程的運(yùn)動學(xué)方程，其與Adams仿真軟件的仿真結(jié)果高度吻合。表明推導(dǎo)的該運(yùn)動學(xué)方程能準(zhǔn)確描述模型的展開過程。

4)對扭簧驅(qū)動五面體可展桁架單元進(jìn)行了動力學(xué)分析。分析結(jié)果表明，當(dāng)扭簧剛度系數(shù)從1增加到2時，展開所用時間縮短約0.27s，并且沖擊增大一倍。節(jié)點(diǎn)的加速度不僅受扭簧的驅(qū)動力影響，還和節(jié)點(diǎn)位置和速度有關(guān)。在展開后期，節(jié)點(diǎn)位置和節(jié)點(diǎn)速度對節(jié)點(diǎn)加速度的影響比較明顯。

空間的大型桁架的搭建，下一步的重點(diǎn)是實現(xiàn)五面體可展桁架單元的在軌組裝，設(shè)計一種合適、方便、快捷的在軌組裝機(jī)構(gòu)是未來的一個研究方向。